星考慕舉；
（!
）当口和6分别等于100和150吋，用逆推归纳法很容易
找出•该博弈的子博弈宝実纳什均衡为：
博弈方1在笫一酚段选择R.在第三阶段逸择S；博弈方2在第二阶段选择
（2）不可能•因为U-N-T给博弈方1带来的得益50明显小于他（或她）在第一阶段选R带来的得益300,因此该烙径对应的籬略组合在鹫个博弈中就不构成纳什均衡，所以无论。
和b的数值是什么丄一N-T都不可能成为该博弈的子博弈完美纳什均衡路径。
（3）第⑵小跑的答案已经说明L-N-T不可能是本博弈的子博笄完笑纳什均衡■因此幡弈方2不可能通过该路径实现300单位得益，博奔方2惟一有可能实现300单位或以上得益的路径是l.-N—S。
要使I”一N—S戒为子博弈完美纳什均衡路径而且傅弈方2能得到300$位或以上得益，必须甘＞3皿、仃上300。
20、
5.为什么梢我密備好去大商店买东西而不太信辅走街穿巷的小]**?
事号蓉案：
大鹿店与消费者群体之间有上一题博弈模型描述的重复博弈
关系口抿据上-题分析结论可知、虽然个别消费者不一定能对商店以往苗出商品的质博作出反应，但消费者群体肯定可以作岀反应•因此大截店保持高质星符合自己的长期利益.…般会自觉保证质常•从而消费者也比较可以信任大荷店的商品。
对于走街穿巷的小商贩，无论是个别消费者还妊消费者群体.与他们的博弈可能都是一次性而非重复的，因此消费者无法对他们吿出商品的质輦作出反应■从而也就缺乏保证小商版商品质量的机制，消费者当然不太可能信衽走街穿巷小商贩的商品质畳，除非是常年在同一地方推销的小商販。
4.各种市场（家庭装修、餐饮尊｝中相似商品和服务铃船格和质
■*期中是会JB同还是会分化？
为什么？
隹
现实经济的各种竞争性市场中相似的血品和服务的价格和质联，应该有趋同的趋势，不仅是会趋向相互比较接近的水平，而且还会共同趋向与价值和霜求相适应的合理水平二
竞争性市场价格和质疑的趋同是进化力量作用的结果心因为
即使市场中的多数经营者和消费者都只有有限理性•经营能力、精阴程度和倩息拥冇都有整肚闪此开始时商品和服务的价格和质鼻会冇较大差异，但一方面经营者和消赛者都会相互学习和模仿,另一方面价高质差的经营者常券首先被消费者抛弃，因此经过一段时间后相似底品和眼务的价恪和质規必然会趋同•而且将向由价值等因素决定的合理水平回归*
22、
乩如果一种商品的质■很难在购买时正确判断■出善这种商品的卖方又可以4*書岀商品‘概不何这种商品的市场最终会越向子怎样的悄况？
集考雾案：
从短朗市场均窗的角度■如果消费者对商品质■統乏判斷能力，而昼厂產又不提供任何质虽保证，那么消费者是否会购买取决于购买的期望利益。
如果商品对消费者来说并不是必需品.市场上劣质晶比例很高•而R杲到劣质品损失很大，从而购买的期望利
益、效用很小"还不如不买.那么煙期均衡中消费者就不会选舉购买。
这时市场短期中就会崩溃。
长期中只有厂商的经管策略和市场情况改蕃以后才可能車新恢圮和发展。
如果反过来商品对洎费者来足必需的‘泊费效用比较大，买到劣慣商品的损失也不泉很天，或者市场上劣痕晶的比例不大”从而购其的期望利益、效用比较大■那么消费者在短期均衡中会选择购买，軒场能够存在。
但能够短期存在不等于能够长期维持和发展。
爭实上，除非该商品市场是消费需求严蛍缺乏弹性，市场结构又质于完全垄斷的极端情况.否则始终不对涓费者作出质星承诺的厂商和市场肯定杲不能长期维持的级必然会走向泊亡■被其他商品’其他厂商所替代。
23、
I.静态贝叶斯博弈中博弈方的策酪有什么特点？
为什么？
够态贝叶斯博弈中馬弈方的一个策略就址他们针对自己各种可能的类型如何作相应选择的完整计划*或者换句话说，辭态贝叶斯博弈中博弈方的策略就是类型空间到行为空间的-个函数，可以是线性函数•也可以是非线性函数，当博弈方的类型只有有限几种时是离敢函数•当博弈方的类型空间是連续区问或空间时则是连续函数&只有一种类型的博奔方的策略仍然捷一种行为选择，但我们同样可以认为是其类型的函数"
静态贝叶斯博弈中博弈方的策咯之所以必须是针对自己所有可能类型的函数，原因星博弈方相互会认为其他博弈方可能陨于毎种类型，因此会考虑其他博弈方所有各种可能类型卞的行为选择，并以此作为自己行为选择的根据°因此各个博弈方必须设定自己在所有各种可能英型F的最优行为，而不仅仅只考虑针对真实类型的存为选择“
9.说明下图扩展形所示博弈无纯策略完类贝叶斯均衡，找出它的混合策略完类贝叶斯均衡。
参考答案：
妥说明本博弈没冇纯策略完美贝叶斯均衡其实很容易，因为从博弈方2的角度•构成纯第盹均衡•包括纯策略完美贝叶斯均術，只有两种可能性•一种是采用仁另一种是采用b。
但是，当博弈方2肯定采用｛时，博弈方1会选择J而反过来博弈方1选择I.时博弈方2肯定是不愿意选择f的，因此博弈方2采用f不可能构成纳什均衡，当然更不可能是完美贝叶斯均衝；当博弈方2肯定
来用bR、J•冒弈方1应该选择"・而反过来博弈方1选择M时博弈方2也不会愿意选择b,囚此博弈方2采用b也不可能构成纳什均衡和完美贝叶斯均衡。
这就说明本博弈经不可能有纯策賂完美贝叶斯均衡的=
现在我们来找本博弈的混合第略完美贝叶斯均衡。
皆先考虑博弈方1没有采用R的情况。
当博弈方1的均衡策路不是采用R时这是均衡路径上的选择，如果姆弈方1的均衡策略是R,这就是不在均衡路径上的选择。
当博弈方1在第一阶段没有采用R时•他（或她）和下一阶段博弈方2之间的博弈实际上相当于他（或她）选择L和M,博弈方2选择f和b的静态博弈。
这个静态博弈惟一的纳什均衡是，博弈方1和博弈方2各以1/2的相同概率分布，在各自的两个策略中随机选择的混合策絡纳什均衝。
这个混合策賂纳什均衡下两个
博弈方的期望得盐分別为5利J
由于在上述混合策略纳什均饥中博弈方1只能得到t5单位的期躍得益.因此博弈方】在该博弈中的合理选择是R而不是上述混合養略。
综合上述分析可以得到结论，该博弈的惟一的完美贝叶斯均衡«：
（1）博弈方】选择R;
（2）万一博郛方1第一阶段没有采用E那么搀弈方2判断博弈方1选择L和M的概率各1/2；（3）博弈方2第二阶段以1/2的概率分布在f和b中随机选择。
乐一个工人给一个老板干活，工资标准glOO元。
工人可以选择是否偷幔”老板则选择是否克扣工资。
假设工人不倫懺有相当于50元的负效用■老扳想克扣工资则总育借口扣掉60元工资■工人不倫懺老板有150元产出，而H人偷懂时老扳只有抽元产出，但老板在支付工资之前无法知道实际产出，这些情况暹取方都知道的“谓问
（O如果老板完全能够看出工人是否偷魁，博奔属于哪种类型？
用得益矩阵或扩展形表示该博弈并作简单分析a
（2）如果老板无法看出工人罐否備懒，博弈属于那种类型？
用得益矩阵或扩展形衰示井简单分析。
（1）
（100,-20）（-10.H0）（50,50）
由于老板在决定是否克扣工资前可以完全消楚工人是否偷ML因此这是一个动态博弈、而口是一个完全信息的动态博弈。
此外，由于双方都有关于得益的充分信息・因此这是一个完全且完美倩息的动态博笄二该博弈用扩展形衷示如下：
（40.40）
根据上述得益悄况可以看出，在该博弈中摘懒对工人总是有利的，克扣对老板也总是有利的，因此在双方都只考虑自己的利益最大化的情况下，该博弈的通常结果应该是工人tfj懺和老板克扣。
（2〉由于老板在决定是否克扣工资之前无进清楚工人是否偷懒•因此该博弈可以看作静态博弈。
由于双方仍然都有关于得益的充分信息，因此足•个完全信息的肿态博弈口该博弈用得益矩阵表示如下：
老
克扣不克扣
工備障
40.40
100.-20
人芥愉懺
-10J1O
50.50
其实•根据该得益矩阵不瓏嚮到与上述动态博弈同样的结论,仍然是工人会选择嵋懒和老板会选择克扣。
这个博弈实际上与囚徒的困境是相似的。
lh两个厂商生产一种完全同质的商品，该蘆品的市场II求函数为Q=100-P■设厂商丄和厂商2都没有囲定成本"若它ff］在相互知at对方边际成本的情况下■同时作出的产■决策是分别生产20单位和30单位。
问这两个厂商的边际成本各暹多坐？
各自的利润是多少？
參#莠1h
根抿问题的假设我们知道，两个厂商分别生产20和30单位产量*一定是孩静态产鼠博弈的纳什均衡产施。
我们设两个厂商的边际成本分别为门和灼，生产的产応分别为②和幻，那么这两个厂商的利润函数分别为
JTt=（100—Qi—q—门$1
氐~（100—th—q：
）q$—“e
将两个厂商的利润函数分别对各自的产H求偏异数并令備导数为X可得两厂商的反应函数为匕
100—2（ii一Qt—C：
~0
100—2屮一如一c=0
把⑷=20和g?
=30代入上述两个反应函数*可解得两个厂商的边际成本分别为巧=30和“=20c
再把上述产St和边际成本代入衲个厂商的利润函数"可得它们的利润分别为：
JT）=（100-20-30）20-30X20=400
jt；=（100-20-30）30一20X30=900
14,菓人正在打一场富司「不情算师肯定会输，请律哺后的结累与律师的努力程度有关*假设当律师努力工作（100小时卜时有50%的概宰離乩律师不努力工作（10小时）则只有15%的播率能如果诉讼获胜可福到250万元赔偿，失败则没有赔
偿。
因为委托方无法监督律飾的工作，因此双方约定根据结果付费，N官司律师可获赔偿金额的10%,失败则律师一分钱也
得不到。
如果律师的效用函数为m-0.05“其中加是报
是努力小时数，且律师有机会成本5万元。
求这个博弈的均術。
參考答案*
这是••个努力成果不确定且不町监習的委托人-代理人博弈间題。
但由于本博弈中在律师接受委托后，将按照预先约定的比例根据结果付费,因此委托人的选择比较简单，只需要选择是否提出委托。
引进表示随机性的博弈方0,并计算出不同情况下双方的效用和利益，可以得到本博弈的扩展形如下（其中博弈方1是委托人，博弈方2是律师）：
由于博弈方0足随机选择，因此我们宜接用逆推归纳法从律师选择接受委托后浪否努力工作的第三阶段开始分析。
根据努力和不努力两种情况下庶和输的概率•容易算岀律师努力的期望效用是O・5X2O+O.5X（-5）=17・5,不努力的期望效用是0.15X24,54-0.85X（-0.5）=3.25°因此在接受委托以
后，律师的惟一选择是努力二
回到第二阶段律疯对姑否接受委托的选择。
由于接受并努力工作的期吨效用】工5大干不樓受委托的利益，也就是接受委托的机会成本5万元’因此律师肯定接受委托心
再回到第一阶段委托人的选择"由于委托入可以判断一旦自己提出委征，律师一定会遗择接受并努力工作，囚此自己提出委任的期望利益是0.5X225+0,5X0=^H2.5万元◎不提岀委托利益为％提岀委托是必然的选择"
根据上述分析得到杓结论是，打官用的某人提出姿托，律师接受委托并努力工作”罡本博弈的子博弈宪美纳什均岗"
28、
机如累两个厂商的价格博潯中，都采用蜚斷价格（合件）各自得到垄斷利润的一半，一个厂商单独略橄IW价JM可独得全都羞断利润，懸性盍争（价格一■降到边际成本）则利润都拘0。
问
（1）如果它们进行的是无限次殖复博郛，双方合作的条件是什么？
（2）这种无限次够复价格博弈的子博弈完灵纳仆均衡杲不提惟一的？
赫答捷示’
该轉的关键也是找课证双方音作赴子博弈完美纳什均恢的贴现IS子農先构适触发策務，然后确定才的范围。
（L）我们先驹造如下双方对称的包含合作的触发董略：
在第一阶段采用垄鬣价格;在第『阶段’如果前f—1阶段双方都址垄新价格■则繼续采用垄断价格，否则永远进行恶性竞争。
只需分斬两个厂商中任一个的选择°假设另-个厂商采用了上述第略,那么这时候考察厂商坚持该鑰略町长期得到垄商利润的一半心/诲如果老族厂商偏离上述第笔，单垃降价，当期可获得全部堇断利润扰十以唇各期则因为恶性竞争而利润为％如果祜现因子为乩那么只要
■y・（1+念+护+…）耳略
也就是^>1/2,考察厂商坚持合作，始共采用垄斷价格是正确的选择。
由于两个厂商是对称的，因此当5>1/2时*双方采用上述触发策齬构成这个垂复博奔的一个子博弈完美纳什均衡“器1/2就悬两厂商在无限次重騷博弈中合作的条件。
（2）其实当"2时、两个厂商可以在边际成本到垄断价格之间的任何价格水平上实现合作。
因为我们不难以这些价格为基础构造同样的触发JE略■而且证明扌孑1/2吋足子博弈完芙纳什均衡。
因此这种亟复博弈的子博郵完美纳什均衡显然不是惟一的。
不过•由干在非垄撕价格上合作的双方利润小于在垄斷价格上合作的利润，因此其他均衡的意义并不大“
29、
5
■B
S
0
申
3
3
1
0
3
li
3
额
7.找出如下髓龐博弃（教材圈2.35J的ESS。
这是一个2X2对称博弈。
根据复制动态进化博弈分析的一殻方法，设群体成员采用鹿策略的比例是，采用兔子滚略的比例「-宀再假设选择鹿茨路的期逻得益是殆，群体成员平均期莖得益为那么复制动态方程为；
篇=工［咚〜u］=—*r）（5x—3）
该复制动态方律冇三介诅定状态才=0、」八=］和*=3/5,其中h=0和h=iHESSo初始<3/5时复制动态会收敛到T=0.即所有期弈方都采用策略从初始』A3/5时复制动态将收敛到h=1•即所有悔奔方都采用策略A。
X著你正在考念收购一累公司的1万方的开价暹2元/股。
根经营情况的好坏，该公司股|｛的价值对于你来说有I元/股和5元/股两种网能，怛只有窦方対道经营的H实1W况•你所知的只是两种悄况各占so%的可能性。
如JR在公司经营悄况不好时，卖方做到使你无法识别具实悄况的•包装”费用是气万元，问你是否会接旻卖方的价格宴下这家公司的1万股股鼎？
如果上述“包装”费用只有5000元•你会怎样选择？
泰考4MU
如果该公司把经营情况不好伪装成经背情况好的*包装“费用，也就是成本是5万元*我肯定会买下这些股票。
因为这时候经营不好的公司的伪装咸本高于卖出股票的收益2万元.经营不好的公司不可能先把公司伪装过再出售，公司的表面情况与冥际情况肯定是一致的。
如果**包装■'费用只有5000元，我仍然会选择购买。
因为虽然由于伪装成本低于出舊公司的收益•因此经苛情况不好的公司
冇伪装成经营艮好后出書的动机•但由于在所有出色的公司中好坏各占一半，所以购买公司的期望得益0.5X140.5X5^2=1万元*比不购买的利益0要大，因此我仍然会选择购买I我的风险偏好杲中性的）“
3两專头古诺产■竞争樓型中厂商i的利润函数为禺=务仏一
2O若h=1媳两个厂商的共周知识■而幻则是厂商2的就人佶息■厂商1只知道-=3“或4/5,fih取这两个值的擦車相尊。
若两个厂商伺时选择产■，请找出谏博弃的纯第略贝叶斯均衡。
参考礬案；
假设厂商1的产虽是厂商2在珀=3/4和&=5/4时盹产羅分别是讷卸/*则厂商2在两种情况下的得益函数分别为「
和
劝=©（〒一岔_g‘）
厂薛1的期妥得益函数为:
Sr】
=知•（1—4/1_毎）+*91*G—尙一於）
用反应函数法，将上述得益和期望得益函数分别对@、於和
G求一阶偽导并令为0■解得反应函数后再联立可解得：
3也=寿―召
这就是该博弈的纯熒略贝叶斯纳什均衡。
7・设买方和卖方对交易商品的估价分别为巧和人■但只有卖方有能力独立购成估价，买方没有独立老成估价的能力，买方的怙价取决于卖方的估价%=加,，其中k>1是双方的共同知识。
假设卖方的估价几标准分布于［0,1］区间，11实債况只有卖方自己包道（从而也知道*）,实方既不知道勺，也不知at心，只知道V,的分布。
如果由买方出一个价
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