1．方程（x－a）2＋（y－b）2＝m2一定表示圆．（ × ）
2．确定一个圆的几何要素是圆心和半径．（ √ ）
3．圆（x＋1）2＋（y＋2）2＝4的圆心坐标是（1,2），半径是4.（ × ）
4．（0,0）在圆（x－1）2＋（y－2）2＝1上．（ × ）
一、求圆的标准方程
例1
（1）与y轴相切，且圆心坐标为（－5，－3）的圆的标准方程为________________．
答案 （x＋5）2＋（y＋3）2＝25
解析 ∵圆心坐标为（－5，－3），又与y轴相切，
∴该圆的半径为5，
∴该圆的标准方程为（x＋5）2＋（y＋3）2＝25.
（2）以两点A（－3，－1）和B（5,5）为直径端点的圆的标准方程是__________________．
答案 （x－1）2＋（y－2）2＝25
解析 ∵AB为直径，
∴AB的中点（1,2）为圆心，
|AB|＝＝5为半径，
∴该圆的标准方程为（x－1）2＋（y－2）2＝25.
反思感悟 直接法求圆的标准方程的策略
确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等．
跟踪训练1 求满足下列条件的圆的标准方程：
（1）圆心是（4,0），且过点（2,2）；
（2）圆心在y轴上，半径为5，且过点（3，－4）．
解
（1）r2＝（2－4）2＋（2－0）2＝8，
∴圆的标准方程为（x－4）2＋y2＝8.
（2）设圆心为C（0，b），
则（3－0）2＋（－4－b）2＝52，
∴b＝0或b＝－8，
∴圆心为（0,0）或（0，－8），
又r＝5，
∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋（y＋8）2＝25.
二、点与圆的位置关系
例2
（1）点P（m2,5）与圆x2＋y2＝24的位置关系是（ ）
A．点P在圆内B．点P在圆外
C．点P在圆上D．不确定
答案 B
解析 由（m2）2＋52＝m4＋25>24，
得点P在圆外．
（2）已知点M（5＋1，）在圆（x－1）2＋y2＝26的内部，则a的取值范围为________________．
答案 [0,1）
解析 由题意知
即解得0≤a<1.
反思感悟 判断点与圆位置关系的两种方法
（1）几何法：
主要利用点到圆心的距离与半径比较大小．
（2）代数法：
把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断．
跟踪训练2 已知点A（1,2）和圆C：
（x－a）2＋（y＋a）2＝2a2，试分别求满足下列条件的实数a的取值范围：
（1）点A在圆的内部；
（2）点A在圆上；
（3）点A在圆的外部．
解
（1）因为点A在圆的内部，
所以（1－a）2＋（2＋a）2<2a2，
且a不为0，解得a<－2.5.
（2）因为点A在圆上，所以（1－a）2＋（2＋a）2＝2a2，
解得a＝－2.5.
（3）因为点A在圆的外部，所以（1－a）2＋（2＋a）2>2a2，
且a不为0，解得a>－2.5且a≠0.
待定系数法与几何法求圆的标准方程
典例 求经过点P（1,1）和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程．
解 方法一 （待定系数法）
设圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，
则有解得
∴圆的标准方程是（x－4）2＋（y＋3）2＝25.
方法二 （几何法）
由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0.
∵弦的垂直平分线过圆心，
∴由得
即圆心坐标为（4，－3），
半径为r＝＝5.
∴圆的标准方程是（x－4）2＋（y＋3）2＝25.
[素养提升]
（1）待定系数法求圆的标准方程的一般步骤
（2）几何法即是利用平面几何知识，求出圆心和半径，然后写出圆的标准方程．
（3）像本例，理解运算对象，探究运算思路，求得运算结果．充分体现数学运算的数学核心素养．
1．若某圆的标准方程为（x－1）2＋（y＋5）2＝3，则此圆的圆心和半径长分别为（ ）
A．（－1,5），B．（1，－5），
C．（－1,5），3D．（1，－5），3
答案 B
2．圆心为（1，－2），半径为3的圆的方程是（ ）
A．（x＋1）2＋（y－2）2＝9
B．（x－1）2＋（y＋2）2＝3
C．（x＋1）2＋（y－2）2＝3
D．（x－1）2＋（y＋2）2＝9
答案 D
解析 由圆的标准方程得（x－1）2＋（y＋2）2＝9.
3．点P（1,3）与圆x2＋y2＝24的位置关系是（ ）
A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定
答案 B
4．圆心在y轴上，半径为1，且过点（1,2）的圆的标准方程是（ ）
A．x2＋（y－2）2＝1B．x2＋（y＋2）2＝1
C．（x－1）2＋（y－3）2＝1D．x2＋（y－3）2＝1
答案 A
解析 方法一 （直接法）
设圆的圆心为C（0，b），则＝1，
∴b＝2，∴圆的标准方程是x2＋（y－2）2＝1.
方法二 （数形结合法）
作图（如图），根据点（1,2）到圆心的距离为1易知，圆心为（0,2），
故圆的标准方程是x2＋（y－2）2＝1.
5．若点P（5a＋1,12a）在圆（x－1）2＋y2＝1的外部，则a的取值范围为__________．
答案 a>或a<－
解析 ∵P在圆外，∴（5a＋1－1）2＋（12a）2>1，
169a2>1，a2>，∴a>或a＜－.
1．知识清单：
（1）圆的标准方程．
（2）点和圆的位置关系．
2．方法归纳：
直接法、几何法、待定系数法．
3．常见误区：
几何法求圆的方程出现漏解情况．
1．圆心为（3,1），半径为5的圆的标准方程是（ ）
A．（x＋3）2＋（y＋1）2＝5
B．（x＋3）2＋（y＋1）2＝25
C．（x－3）2＋（y－1）2＝5
D．（x－3）2＋（y－1）2＝25
答案 D
2．圆（x－3）2＋（y＋2）2＝13的周长是（ ）
A.πB．2πC．2πD．2π
答案 B
解析 由圆的标准方程可知，其半径为，周长为2π.
3．已知点A（3，－2），B（－5,4），以线段AB为直径的圆的标准方程是（ ）
A．（x－1）2＋（y＋1）2＝25
B．（x＋1）2＋（y－1）2＝25
C．（x－1）2＋（y＋1）2＝100
D．（x＋1）2＋（y－1）2＝100
答案 B
解析 由题意得圆心坐标为（－1,1），半径r＝|AB|＝＝5，
所以圆的标准方程是（x＋1）2＋（y－1）2＝25.故选B.
4．若点A（a＋1,3）在圆C：
（x－a）2＋（y－1）2＝m外，则实数m的取值范围是（ ）
A．（0，＋∞）B．（－∞，5）
C．（0,5）D．[0,5]
答案 C
解析 由题意，得（a＋1－a）2＋（3－1）2>m，即m<5，又易知m>0，所以05．已知一圆的圆心为点A（2，－3），一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的标准方程为（ ）
A．（x＋2）2＋（y－3）2＝13
B．（x－2）2＋（y＋3）2＝13
C．（x－2）2＋（y＋3）2＝52
D．（x＋2）2＋（y－3）2＝52
答案 B
解析 如图，结合圆的性质可知，原点在圆上，
圆的半径为r＝＝.
故所求圆的标准方程为
（x－2）2＋（y＋3）2＝13.
6．若点P（－1，）在圆x2＋y2＝m2上，则实数m＝________.
答案 ±2
解析 ∵P点在圆x2＋y2＝m2上，
∴（－1）2＋（）2＝4＝m2，
∴m＝±2.
7．圆（x－3）2＋（y＋1）2＝1关于直线x＋y－3＝0对称的圆的标准方程是________________．
答案 （x－4）2＋y2＝1
解析 设圆心A（3，－1）关于直线x＋y－3＝0对称的点B的坐标为（a，b），
则
解得
故所求圆的标准方程为（x－4）2＋y2＝1.
8．当a为任意实数时，直线（a－1）x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以点C为圆心，为半径的圆的标准方程是________________．
答案 （x＋1）2＋（y－2）2＝5
解析 将直线方程整理为（x＋1）a－（x＋y－1）＝0，
可知直线恒过点（－1,2），
从而所求圆的标准方程为（x＋1）2＋（y－2）2＝5.
9．已知圆C过点A（3,1），B（5,3），圆心在直线y＝x上，求圆C的标准方程．
解 设圆心C（a，a），半径为r，则
解得
∴圆C的标准方程为（x－3）2＋（y－3）2＝4.
10．已知点A（－1,2）和B（3,4）．求：
（1）线段AB的垂直平分线l的方程；
（2）以线段AB为直径的圆的标准方程．
解 由题意得线段AB的中点C的坐标为（1,3）．
（1）∵A（－1,2），B（3,4），
∴直线AB的斜率kAB＝＝.
∵直线l垂直于直线AB，
∴直线l的斜率kl＝－＝－2，
∴直线l的方程为y－3＝－2（x－1），
即2x＋y－5＝0.
（2）∵A（－1,2），B（3,4），
∴|AB|＝＝＝2，
∴以线段AB为直径的圆的半径r＝|AB|＝.
又圆心为C（1,3），
∴所求圆的标准方程为（x－1）2＋（y－3）2＝5.
11．已知圆心在x轴上的圆C经过A（3,1），B（1,5）两点，则C的标准方程为（ ）
A．（x＋4）2＋y2＝50B．（x＋4）2＋y2＝25
C．（x－4）2＋y2＝50D．（x－4）2＋y2＝25
答案 A
解析 根据题意，设圆的圆心C的坐标为（m，0），
若圆C经过A（3,1），B（1,5）两点，则有（3－m）2＋1＝（m－1）2＋25，
解得m＝－4，即圆心C为（－4,0），则圆的半径r＝|CA|＝＝，
则圆C的标准方程为（x＋4）2＋y2＝50，故选A.
12．已知直线l过圆x2＋（y－3）2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程为（ ）
A．x＋y－2＝0B．x－y＋2＝0
C．x＋y－3＝0D．x－y＋3＝0
答案 D
解析 圆x2＋（y－3）2＝4的圆心坐标为（0,3）．
因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率k＝1.
由点斜式得直线l的方程是y－3＝x－0，
化简得x－y＋3＝0.
13．已知直线（3＋2λ）x＋（3λ－2）y＋5－λ＝0恒过定点P，则与圆C：
（x－2）2＋（y＋3）2＝16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为（ ）
A．（x－2）2＋（y＋3）2＝36
B．（x－2）2＋（y＋3）2＝25
C．（x－2）2＋（y＋3）2＝18
D．（x－2）2＋（y＋3）2＝9
答案 B
解析 由（3＋2λ）x＋（3λ－2）y＋5－λ＝0，
得（2x＋3y－1）λ＋（3x－2y＋5）＝0，
则解得即P（－1,1）．
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