历届全国大学生高等数学竞赛真题及问题详解非数学类Word格式.docx

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与

平行，因此，由

知

即

，又

，于是曲面

处的切平面方程是

，即曲面

的切平面方程是

4．设函数

由方程

确定，其中

具有二阶导数，且

________________.

方程

的两边对

求导，得

因

，即

，因此

二、（5分）求极限

，其中

是给定的正整数.

解:

故

三、（15分）设函数

连续，

，且

为常数，求

并讨论

处的连续性.

由

和函数

连续知，

因此，当

时，

当

这表明

处连续.

四、（15分）已知平面区域

为

的正向边界，试证：

（1）

；

（2）

.

证:

因被积函数的偏导数连续在

上连续，故由格林公式知

而

关于

和

是对称的，即知

（2）因

由

即

五、（10分）已知

是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.

解设

是二阶常系数线性非齐次微分方程

的三个解，则

都是二阶常系数线性齐次微分方程

的解，因此

的特征多项式是

，而

因此二阶常系数线性齐次微分方程为

，由

知，

二阶常系数线性非齐次微分方程为

六、（10分）设抛物线

过原点.当

时,

又已知该抛物线与

轴及直线

所围图形的面积为

.试确定

使此图形绕

轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.

解因抛物线

过原点，故

，于是

而此图形绕

轴旋转一周而成的旋转体的体积

得

七、（15分）已知

满足

且

求函数项级数

之和.

解

由一阶线性非齐次微分方程公式知

于是

下面求级数的和：

则

，得

，因此级数

的和

八、（10分）求

时,与

等价的无穷大量.

解令

，则因当

上严格单调减。

又

所以，当

等价的无穷大量是

2010年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、（25分，每小题5分）

（1）设

其中

求

（2）求

（3）设

，求

（4）设函数

有二阶连续导数，

（5）求直线

与直线

的距离。

解：

=

（2）

令x=1/t,则

原式=

（3）

二、（15分）设函数

上具有二阶导数，并且

且存在一点

，使得

证明：

方程

恰有两个实根。

二阶导数为正，则一阶导数单增，f（x）先减后增，因为f（x）有小于0的值，所以只需在两边找两大于0的值。

将f（x）二阶泰勒展开：

因为二阶倒数大于0，所以

证明完成。

由参数方程

所确定，其中

具有二阶导数，曲线

出相切，求函数

（这儿少了一个条件

）由

出相切得

=。

上式可以得到一个微分方程，求解即可。

四、（15分）设

（1）当

时，级数

收敛；

（2）当

且

发散。

>

0,

单调递增

收敛时，

收敛，所以

发散时，

所以，

，收敛于k。

收敛。

所以

发散，所以存在

于是，

依此类推，可得存在

使得

成立，所以

，所以

发散

五、（15分）设

是过原点、方向为

，（其中

的直线，均匀椭球

，其中（

密度为1）绕

旋转。

（1）求其转动惯量；

（2）求其转动惯量关于方向

的最大值和最小值。

（1）椭球上一点P（x,y,z）到直线的距离

由轮换对称性，

六、（15分）设函数

具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线

上，曲线积分

的值为常数。

为正向闭曲线

证明

（2）求函数

是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求

（1）L不绕原点，在L上取两点A，B，将L分为两段

，再从A，B作一曲线

，使之包围原点。

则有

（2）令

由

（1）知

，代入可得

上式将两边看做y的多项式，整理得

由此可得

解得：

（3）取

，方向为顺时针

2011年第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一．计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分）

（1）.求

（用两个重要极限）：

（2）.求

（用欧拉公式）令

其中，

表示

时的无穷小量，

（3）已知

二．（本题10分）求方程

的通解。

设

是一个全微分方程，设

该曲线积分与路径无关

三．（本题15分）设函数f（x）在x=0的某邻域具有二阶连续导数，且

均不为0，证明：

存在唯一一组实数

由极限的存在性：

①

由洛比达法则得

由极限的存在性得

②

再次使用洛比达法则得

③

由①②③得

是齐次线性方程组

的解

增广矩阵

所以，方程

有唯一解，即存在唯一一组实数

满足题意，

四．（本题17分）设

的交线，求椭球面

上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。

上任一点

，令

椭球面

上点M处的法向量为：

在点M处的切平面为

：

原点到平面

的距离为

则

现在求

在条件

下的条件极值，

则由拉格朗日乘数法得：

或

对应此时的

此时的

又因为

所以，椭球面

上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值分别为：

五．（本题16分）已知S是空间曲线

绕y轴旋转形成的椭球面的上半部分（

）取上侧，

是S在

点处的切平面，

是原点到切平面

的距离，

表示S的正法向的方向余弦。

计算：

（1）由题意得：

椭球面S的方程为

切平面

的方程为

原点到切平面

的距离

将一型曲面积分转化为二重积分得：

记

（2）方法一：

六．（本题12分）设f（x）是在

的可微函数，且

，任取实数

，定义

绝对收敛。

由拉格朗日中值定理得：

介于

之间，使得

级数

收敛，

收敛，即

七．（本题15分）是否存在区间

上的连续可微函数f（x），满足

？

请说明理由。

假设存在，当

时，由拉格朗日中值定理得：

介于0，x之间，使得

同理，当

介于x，2之间，使得

显然，

，又由题意得

不存在，又因为f（x）是在区间

上的连续可微函数，即

存在，矛盾，故，原假设不成立，所以，不存在满足题意的函数f（x）。