《数值分析简明教程》第二版王能超 编著课后习题答案高等教育出版社Word文件下载.docx

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在区间[0,1]内有唯一实根.

由二分法的误差估计式

，即至少需二分7次.求解过程见下表。

0.5

0.2误差

1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值

，x2=2.71，

各有几位有效数字？

并给出它们的相对误差限。

【解】有效数字：

因为

，所以

有两位有效数字；

亦有两位有效数字；

有四位有效数字；

；

评　

（1）经四舍五入得到的近似数，其所有数字均为有效数字；

（2）近似数的所有数字并非都是有效数字.

2．（p.12，题9）设

均为经过四舍五入得出的近似值，试指明它们的绝对误差（限）与相对误差（限）。

【解】

评　经四舍五入得到的近似数，其绝对误差限为其末位数字所在位的半个单位.

3．（p.12，题10）已知

的绝对误差限均为

，问它们各有几位有效数字？

【解】由绝对误差限均为

知有效数字应从小数点后两位算起，故

，有三位；

有一位；

而

，也是有一位。

1.1泰勒插值和拉格朗日插值

1、（p.54，习题1）求作

在节点

的5次泰勒插值多项式

，并计算

和估计插值误差，最后将

有效数值与精确解进行比较。

【解】由

，求得

插值误差：

，若

，而

，精度到小数点后5位，

故取

，与精确值

相比较，在插值误差的精度内完全吻合！

2、（p.55，题12）给定节点

，试分别对下列函数导出拉格朗日余项：

（1）

（2）

【解】依题意，

，拉格朗日余项公式为

→

（2）因为

，所以

3、（p.55，题13）依据下列数据表，试用线性插值和抛物线插值分别计算

的近似值并估计误差。

0.32

0.34

0.36

0.314567

0.333487

0.352274

（1）线性插值

因为

和

之间，先估计误差

须保留到小数点后4为，计算过程多余两位。

（2）抛物线插值

抛物线插值公式为：

经四舍五入后得：

，与

精确值相比较，在插值误差范围内完全吻合！

1.3分段插值与样条函数

1、（p.56，习题33）设分段多项式

是以0,1,2为节点的三次样条函数，试确定系数b，c的值.

【解】依题意，要求S（x）在x=1节点

函数值连续：

即：

一阶导数连续：

解方程组

（1）和

（2），得

由于

，所以S（x）在x=1节点的二阶导数亦连续。

2、已知函数

的一组数据，

，

（1）求其分段线性插值函数；

（2）计算

的近似值，并根据余项表达式估计误差。

【解】

（1）依题意，将x分为[0,1]和[1,2]两段，对应的插值函数为

，利用拉格朗日线性插值公式，求得

，而

，实际误差为：

由

可知

，则余项表达式

1.4曲线拟合

1、（p.57，习题35）用最小二乘法解下列超定方程组：

【解】构造残差平方和函数如下：

分别就Q对x和y求偏导数，并令其为零：

：

2、（p.57，习题37）用最小二乘法求形如

的多项式，使之与下列数据相拟合。

【解】令

为线性拟合，根据公式（p.39,公式43），取m=2，a1=0，N=5，求得

依据上式中的求和项，列出下表

xi

yi

Xi（=xi2）

Xi2（=xi4）

Xiyi（=xi2yi）

19

361

130321

6859

25

32.3

625

390625

20187.5

31

49

961

923521

47089

38

73.3

1444

2085136

105845.2

44

97.8

1936

3748096

189340.8

∑

157

271.4

5327

7277699

369321.5

将所求得的系数代入方程组

（1）和

（2），得

2.1机械求积和插值求积

1、（p.94，习题3）确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度：

【解】

（1）令

时等式精确成立，可列出如下方程组：

解得：

，即：

，可以验证，对

公式亦成立，而对

不成立，故公式

（1）具有3次代数精度。

（2）令

解得：

不成立，故公式

（2）具有3次代数精度。

（3）令

时等式精确成立，可解得：

不成立，故公式（3）具有2次代数精度。

2、（p.95，习题6）给定求积节点

试构造计算积分

的插值型求积公式，并指明该求积公式的代数精度。

【解】依题意，先求插值求积系数：

插值求积公式：

当

，左边=

右边=

左=右；

左≠右；

故该插值求积公式具有一次代数精度。

2.2梯形公式和Simpson公式

1、（p.95，习题9）设已给出

的数据表，

x

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

f（x）

1.00000

1.65534

1.55152

1.06666

0.72159

分别用复化梯形法与复化辛普生法求积分

的近似值。

【解】

（1）用复化梯形法：

（2）用复化辛普生法：

2、（p.95，习题10）设用复化梯形法计算积分

，为使截断误差不超过

，问应当划分区间【0,1】为多少等分？

如果改用复化辛普生法呢？

（1）用复化梯形法，

，设需划分n等分，则其截断误差表达式为：

依题意，要求

，可取

（2）用复化辛普生法，

，截断误差表达式为：

，划分8等分。

2.3数值微分

1、（p.96，习题24）导出三点公式（51）、（52）和（53）的余项表达式

【解】如果只求节点上的导数值，利用插值型求导公式得到的余项表达式为

由三点公式（51）、（52）和（53）可知，

2、（p.96，习题25）设已给出

1.0

1.1

1.2

0.2500

0.2268

0.2066

试用三点公式计算

的值，并估计误差。

【解】已知

，用三点公式计算微商：

用余项表达式计算误差

3、（p.96，习题26）设

，分别取步长

，用中点公式（52）计算

的值，令中间数据保留小数点后第6位。

【解】中心差商公式：

，截断误差：

可见步长h越小，截断误差亦越小。

（1）

则

（2）

（3）

而精确值

，可见当

时得到的误差最小。

在

时反而误差增大的原因是

与

很接近，直接相减会造成有效数字的严重损失。

因此，从舍入误差的角度看，步长不宜太小。

3.1Euler格式

1、（p.124，题1）列出求解下列初值问题的欧拉格式

，取

【解】

（1）

（2）

2、（p.124，题2）取

，用欧拉方法求解初值问题

【解】欧拉格式：

化简后，

，计算结果见下表。

n

xn

0.0

0.2

0.4

0.6

yn

0.8

0.6144

0.4613

3、（p.124，题3）取

并与精确解

比较计算结果。

1、（p.124，题7）用改进的欧拉方法求解上述题2，并比较计算结果。

【解】因为

，且

，则改进的欧拉公式：

计算结果见下表。

yp

0.6730

0.5147

0.3941

yc

0.76

0.7092

0.5564

0.4319

0.88

0.6911

0.5356

0.413

与原结果比较见下表

yn（改进）

3.3龙格-库塔方法

1、（p.124，题11）用四阶经典的龙格-库塔方法求解初值问题

，试取步长

计算

的近似值，要求小数点后保留4位数字。

【解】四阶经典的龙格-库塔方法公式：

列表求得

如下：

2.000

2.3004

2.4654

4.1迭代法及收敛定理

1、（p.153，题1）试取

，用迭代公式

，求方程

的根，要求准确到

【解】迭代计算结果列于下表

k

xk

|xk-xk-1|

<

0.001

1.53846

0.53846

N

1.36593

0.00937

1.29502

0.24344

1.37009

0.00416

1.40182

0.10680

1.36824

0.00185