《数值分析简明教程》第二版王能超 编著课后习题答案高等教育出版社Word文件下载.docx

1、在区间0,1内有唯一实根.由二分法的误差估计式，即至少需二分7次.求解过程见下表。0.50.2误差1（p.12，题8）已知e=2.71828，试问其近似值，x2=2.71，各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。【解】有效数字： 因为，所以有两位有效数字；亦有两位有效数字；有四位有效数字；评（1）经四舍五入得到的近似数，其所有数字均为有效数字；（2）近似数的所有数字并非都是有效数字.2（p.12，题9）设均为经过四舍五入得出的近似值，试指明它们的绝对误差（限）与相对误差（限）。【解】 评经四舍五入得到的近似数，其绝对误差限为其末位数字所在位的半个单位.3（p.12，题10）已知的绝对误差限均

2、为，问它们各有几位有效数字？【解】 由绝对误差限均为知有效数字应从小数点后两位算起，故，有三位；有一位；而，也是有一位。1.1泰勒插值和拉格朗日插值1、（p.54，习题1）求作在节点的5次泰勒插值多项式，并计算和估计插值误差，最后将有效数值与精确解进行比较。【解】由，求得插值误差：，若，而，精度到小数点后5位，故取，与精确值相比较，在插值误差的精度内完全吻合！2、（p.55，题12）给定节点，试分别对下列函数导出拉格朗日余项：（1）（2）【解】依题意，拉格朗日余项公式为 （2）因为，所以 3、（p.55，题13）依据下列数据表，试用线性插值和抛物线插值分别计算的近似值并估计误差。0.320.3

3、40.360.3145670.3334870.352274（1） 线性插值因为和之间，先估计误差须保留到小数点后4为，计算过程多余两位。（2） 抛物线插值抛物线插值公式为： 经四舍五入后得：，与精确值相比较，在插值误差范围内完全吻合！1.3分段插值与样条函数1、（p.56，习题33）设分段多项式 是以0,1,2为节点的三次样条函数，试确定系数b，c的值.【解】依题意，要求S（x）在x=1节点函数值连续：即： 一阶导数连续： 解方程组（1）和（2），得 由于，所以S（x） 在x=1节点的二阶导数亦连续。2、 已知函数 的一组数据，（1）求其分段线性插值函数；（2）计算的近似值，并根据余项表达式估

4、计误差。【解】（1）依题意，将x分为0,1和1,2两段，对应的插值函数为，利用拉格朗日线性插值公式，求得 ，而 ，实际误差为：由,可知，则余项表达式1.4 曲线拟合1、（p.57，习题35）用最小二乘法解下列超定方程组：【解】 构造残差平方和函数如下： 分别就Q对x和y求偏导数，并令其为零： ：2、（p.57，习题37）用最小二乘法求形如 的多项式，使之与下列数据相拟合。【解】令为线性拟合，根据公式（p.39,公式43），取m=2，a1=0，N=5，求得 依据上式中的求和项，列出下表xiyiXi （=xi2）Xi2（=xi4）Xi yi （=xi2yi）1936113032168592532.

5、362539062520187.53149961923521470893873.314442085136105845.24497.819363748096189340.8157271.453277277699369321.5 将所求得的系数代入方程组（1）和（2），得2.1 机械求积和插值求积1、（p.94，习题3）确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度：【解】 （1）令时等式精确成立，可列出如下方程组： 解得：，即：，可以验证，对公式亦成立，而对不成立，故公式（1）具有3次代数精度。（2）令解得：不成立，故公式（2）具有3次代数精度。（3）令时等式精

6、确成立，可解得：不成立，故公式（3）具有2次代数精度。2、（p.95，习题6）给定求积节点 试构造计算积分的插值型求积公式，并指明该求积公式的代数精度。【解】依题意，先求插值求积系数：插值求积公式：当，左边=右边=左=右；左右； 故该插值求积公式具有一次代数精度。2.2 梯形公式和Simpson公式1、（p.95，习题9）设已给出的数据表，x0.000.250.500.751.00f（x）1.000 001.655 341.551 521.066 660.721 59分别用复化梯形法与复化辛普生法求积分的近似值。【解】 （1）用复化梯形法： （2）用复化辛普生法：2、（p.95，习题10）设用

7、复化梯形法计算积分，为使截断误差不超过，问应当划分区间【0,1】为多少等分？如果改用复化辛普生法呢？（1）用复化梯形法， ，设需划分n等分，则其截断误差表达式为：依题意，要求，可取（2）用复化辛普生法， ，截断误差表达式为：，划分8等分。2.3 数值微分1、（p.96，习题24）导出三点公式（51）、（52）和（53）的余项表达式【解】如果只求节点上的导数值，利用插值型求导公式得到的余项表达式为由三点公式（51）、（52）和（53）可知，2、（p.96，习题25）设已给出1.01.11.20.25000.22680.2066试用三点公式计算的值，并估计误差。【解】已知，用三点公式计算微商：用余

8、项表达式计算误差3、（p.96，习题26）设，分别取步长，用中点公式（52）计算的值，令中间数据保留小数点后第6位。【解】中心差商公式：，截断误差：可见步长h越小，截断误差亦越小。（1） ,则（2） （3） 而精确值，可见当时得到的误差最小。在时反而误差增大的原因是与很接近，直接相减会造成有效数字的严重损失。因此，从舍入误差的角度看，步长不宜太小。3.1 Euler格式1、（p.124，题1）列出求解下列初值问题的欧拉格式，取【解】 （1） （2）2、（p.124，题2）取，用欧拉方法求解初值问题【解】欧拉格式：化简后，计算结果见下表。nxn0.00.20.40.6yn0.80.61440.4

9、6133、（p.124，题3）取并与精确解比较计算结果。1、（p.124，题7）用改进的欧拉方法求解上述题2，并比较计算结果。【解】 因为，且，则改进的欧拉公式：计算结果见下表。yp0.67300.51470.3941yc0.760.70920.55640.43190.880.69110.53560.413与原结果比较见下表 yn（改进）3.3 龙格-库塔方法1、（p.124，题11）用四阶经典的龙格-库塔方法求解初值问题，试取步长计算的近似值，要求小数点后保留4位数字。【解】 四阶经典的龙格-库塔方法公式：列表求得如下：2.0002.30042.46544.1 迭代法及收敛定理1、（p.153，题1）试取，用迭代公式，求方程的根，要求准确到【解】 迭代计算结果列于下表kxk|xk-xk-1|0.0011.538460.53846N1.365930.009371.295020.243441.370090.004161.401820.106801.368240.00185