最短路径TSP遗传算法_精品文档Word格式.doc
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4.1.2遗传编码
采用下标子集T的二进制编码方案是常用的遗传编码方法。
串T的长度等于n（问题规模），Ti（1≤i≤n）＝1表示该物件装入背包，Ti＝0表示不装入背包。
基于背包问题有近似求解知识，以及考虑到遗传算法的特点（适合短定义距的、低阶的、高适应度的模式构成的积木块结构类问题），通常将Pi，Si按Pi/Si值的大小依次排列，即P1/S1≥P2/S2≥…≥Pn/Sn。
4.1.3适应度函数
在上述编码情况下，背包问题的目标函数和约束条件可表示如下。
目标函数：
约束条件：
按照利用惩罚函数处理约束条件的方法，我们可构造背包问题的适应度函数f（T）如下式：
f（T）=J（T）+g（T）
式中g（T）为对T超越约束条件的惩罚函数，惩罚函数可构造如下:
式中Em为Pi/S（1≤i≤n）i的最大值，β为合适的惩罚系数。
4.2货郎担问题（TravelingSalesmanProblem——TSP）
在遗传其法研究中，TSP问题已被广泛地用于评价不同的遗传操作及选择机制的性能。
之所以如此，主要有以下几个方面的原因：
（1）TSP问题是一个典型的、易于描述却难以处理的NP完全（NP-complete）问题。
有效地解决TSP问题在可计算理论上有着重要的理论价值。
（2）TSP问题是诸多领域内出现的多种复杂问题的集中概括和简化形式。
因此，快速、有效地解决TSP问题有着极高的实际应用价值。
（3）TSP问题因其典型性已成为各种启发式的搜索、优化算法的间接比较标准，而遗传算法就其本质来说，主要是处理复杂问题的一种鲁棒性强的启发式随机搜索算法。
因此遗传算法在TSP问题求解方面的应用研究，对于构造合适的遗传算法框架、建立有效的遗传操作以及有效地解决TSP问题等有着多方面的重要意义。
问题描述：
寻找一条最短的遍历n个城市的路径，或者说搜索整数子集X＝{1，2，…，n}（X的元素表示对n个城市的编号）的一个排列π（X）={v1，v2，…，vn}，使
取最小值。
式中的d（vi,vi+1）表示城市vi到城市vi+1的距离。
4.2.1编码与适应度函数
编码
1．以遍历城市的次序排列进行编码。
如码串12345678表示自城市l开始，依次经城市2，3，4，5，6，7，8，最后返回城市1的遍历路径。
显然，这是一种针对TSP问题的最自然的编码方式。
这一编码方案的主要缺陷在于引起了交叉操作的困难。
2．采用“边”的组合方式进行编码。
例如码串24536871的第1个码2表示城市1到城市2的路径在TSP圈中，第2个码4表示城市2到城市4的路径在TSP圈中，以此类推，第8个码1表示城市7到城市1的路径在TSP圈中。
3．间接“节点”编码方式。
以消除“一点交叉”策略（或多点交叉策略）引起的非法路径问题。
码串长度仍为n，定义各等位基因的取值范围为（n–i+1），i为基因序号，解码时，根据相应基因位的取值，从城市号集合中不回放地取一个城市号，直至所有城市号被取完。
由于这种编码方式特征遗传性较差，因此现行的研究中很少采用。
适应度函数
适应度函数常取路径长度Td的倒数，即
f＝1/Td
若结合TSP的约束条件（每个城市经过且只经过一次），则适应度函数可表示为：
f＝1/（Td+α*Nt），
其中Nt是对TSP路径不合法的度量（如取付Nt为未遍历的城市的个数），α为惩罚系数，常取城市间最长距离的两倍多一点（如2.05*dmax）。
4.2.2交叉策略
问题：
基于TSP问题的顺序编码（其它编码如以边的组合状态进行编码也呈现相似特性），若采取简单的一点交叉或多点交叉策略，必然以极大的概率导致未能完全遍历所有城市的非法路径。
如8城市的TSP问题的两个父路径为
1234|5678
8765|4321
若采取一点交叉，且交叉点随机选为4，则交叉后产生的两个后代为
87655678
12344321
显然，这两个子路径均未能遍历所有8个城市，都违反TSP问题的约束条件。
可以采取上述构造惩罚函数的方法，但试验效果不佳。
可能的解释：
这一方法将本已十分复杂的TSP问题更加复杂化了。
因为满足TSP问题约束条件的可行解空间规模为n!
；
而按构造惩罚函数的方法，其搜索空间规模变为nn；
随着n的增大n!
与nn之间的差距是极其惊人的。
解决这一约束问题的另一种处理方法是对交叉、变异等遗传操作做适当的修正，使其自动满足TSP的约束条件。
常用的几种交叉方法：
1．部分匹配交叉（PMX，PartiallyMatchedCrossover）法
PMX操作是由Goldberg和Lingle于1985年提出的。
在PMX操作中，先依据均匀随机分布产生两个位串交叉点，定义这两点之间的区域为一匹配区域，并使用位置交换操作交换两个父串的匹配区域。
实例：
如两父串及匹配区域为
A＝984|567|1320
B＝871|230|9546
首先交换A和B的两个匹配区域，得到
A’＝984|230|l320
B’＝871|567|9546
对于A’、B’两子串中匹配区域以外出现的遍历重复，依据匹配区域内的位置映射关系，逐一进行交换。
对于A’有2到5，3到6，0到7的位置符号映射，对A’的匹配区以外的2，3，0分别以5，6，7替换，则得
A”＝984|230|1657
同理可得：
B”＝801|567|9243
这样，每个子串的次序部分地由其父串确定。
2．顺序交叉法（OX，OrderCrossover）法
与PMX法相似，Davis（1985）等人提出了一种OX法，此方法开始也是选择一个匹配区域：
并根据匹配区域的映射关系，在其区域外的相应位置标记H，得到
A’＝984|567|1HHH
B’＝8H1|230|9H4H
再移动匹配区至起点位置，且在其后预留相等于匹配区域的空间（H数目），然后将其余的码按其相对次序排列在预留区后面，得到
A”＝567HHH1984
B”＝230HHH9481
最后将父串A，B的匹配区域相互交换，并放置到A”，B”的预留区内，即可得到两个子代：
A”’＝567|230|1984
B”’＝230|567|9481
虽然，PMX法与OX法非常相似，但它们处理相似特性的手段却不同。
PMX法趋向于所期望的绝对城市位置，而OX法却趋向于期望的相对城市位置。
3．循环交叉（CX，cyclecrossover）法
Smith等人提出的CX方法与PMX方法和OX方法有不同之处。
循环交叉的执行是以父串的特征作为参考，使每个城市在约束条件下进行重组。
假设两个个体：
A＝123456789
B＝412876935
进行交叉。
以后代A’为例说明生成后代的过程：
（1）从A中取第一个元素填人A’的第一个位置：
A’＝1########
（2）B的第一个元素为“4”，则在A中查找“4”的位置，并将它填入A’相应的位置中：
A’＝1##4#####
（3）B的第四个元素为“8”，则在A中查找“8”的位置，并将它填入A’相应的位置中：
A’＝1##4###8#
（4）B的第八个元素为“3”，则在A中查找“3”的位置，并将它填入A’相应的位置中：
A’＝1#34###8#
（5）B的第三个元素为“2”，则在A中查找“2”的位置，并将它填人A’相应的位置中:
A’＝1234###8#
（6）B的第二个元素为“1”，而“1”在A’中已经出现，这样就构成了一个循环。
此时将剩下的位置填入B中对应位置的值：
A’＝123476985
同理，若以A为参照，可以得到B’。
最后交叉所得的后代为：
B’＝412856739
循环交叉算子的特点是保留了父代个体中序列的绝对位置。
4．基于知识的交叉方法
这种方法是一种启发式的交叉方法，按以下规划构造后代：
（1）随机地选取一个城市作为子代圈的开始城市。
（2）比较父串中与开始城市邻接的边，选取最小的边添加到圈的路径中。
（3）重复第
（2）步，如果发现按最小边选取的规划产生非法路径（重复经过同一城市），则按随机法产生一合法的边，如此反复，直至形成一完整的TSP圈。
使用这一方法，可获得较好的结果。
不过，这一方法使用了基于问题的一些知识，损失了遗传算法的通用性和鲁棒性。
关于TSP问题的遗传交叉方法还有各种各样的变形方法，一般来说，交叉方法应能使父串的待征遗传给子串，子串应能部分或全部地继承父串的结构特征和有效基因。
4.2.3变异技术
从遗传算法的观点来看，解的进化主要靠选择机制和交叉策略来完成，变异只是为选择、交叉过程中可能丢失的某些遗传基因进行修复和补充，变异在遗传算法的全局意义上只是一个背景操作。
针对TSP问题，主要的变异技术如下：
1．位点变异
变异仅以一定的概率（通常较小）对串的某些位作值的变异。
2．逆转变异
在串中随机选择两点，再将这两点内的子串按反序插入到原位置中，如串A的逆转点为3，6，则经逆转后，变为A’
A＝123|456|7890
A’＝123|654|7890
3．对换变异
随机选择串中的两点，交换其值（码）。
对于串A
若对换点为4，7，则经对换后，A’为
A’＝123756489
4．插人变异
从串中随机选择1个码，将此码插入随机选择的插入点中间，对于上述A而言．若取插入码为5，选取插入点为2~3之间．则
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