导函数--极值与最值_精品文档Word文档格式.docx
《导函数--极值与最值_精品文档Word文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《导函数--极值与最值_精品文档Word文档格式.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
【变式演练5】设函数有两个不同的极值点，，且对不等式恒成立，则实数的取值范围是．
因为,故得不等式,即,
由于,令得方程,因,故，代入前面不等式,并化简得,解不等式得或，因此,当或时,不等式成立,故答案为.
1、利用导数研究函数的极值点；
2、韦达定理及高次不等式的解法.
【变式演练6】已知函数的极大值点和极小值点都在区间内,则实数的取值范围是．
导数与极值．
类型二求函数在闭区间上的最值
使用情景：
一般函数类型
解题模板：
第一步求出函数在开区间内所有极值点；
第二步计算函数在极值点和端点的函数值；
第三步比较其大小关系，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
例2若函数，在点处的斜率为．
（1）求实数的值；
（2）求函数在区间上的最大值．
（1）；
（2）.
（1）由解之即可；
（2）为递增函数且,所以在区间上存在使，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，求之即可.
试题解析：
（1），∴，即，解得；
实数的值为1；
（2）为递增函数，∴，
存在，使得，所以，
，∴
1.导数的几何意义；
2.导数与函数的单调性、最值.
【名师点睛】本题考查导数的几何意义、导数与函数的单调性、最值等问题，属中档题；
导数的几何意义是拇年高考的必考内容，考查题型有选择题、填空题，也常出现在解答题的第
（1）问中，难度偏小，属中低档题，常有以下几个命题角度：
已知切点求切线方程、已知切线方程（或斜率）求切点或曲线方程、已知曲线求切线倾斜角的范围.
【变式演练7】已知.
（1）求函数最值；
（2）若，求证：
.
（1）取最大值，无最小值；
（2）详见解析.
（1）对求导可得，
令得x=0.
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
当x=0时，取最大值，无最小值.
（2）不妨设，由
（1）得
若，则，
1.导数与函数的最值；
2.导数与不等式的证明.
【变式演练7】已知函数，.
（Ⅰ）求函数在上的最小值；
（Ⅱ）若函数有两个不同的极值点且，求实数的取值范围.
（Ⅰ）；
（Ⅱ）.
（Ⅰ）由，得极值点为，分情况讨论及时，函数的最小值；
（Ⅱ）当函数有两个不同的极值点，即有两个不同的实根，问题等价于直线与函数的图象有两个不同的交点，由单调性结合函数图象可知当时，存在，且的值随着的增大而增大，而当时，由题意，代入上述方程可得，此时实数的取值范围为.
（Ⅰ）由，可得，
①时，函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在上的最小值为，
②当时，在上单调递增，
，
；
两式相减可得
代入上述方程可得，
此时，
所以，实数的取值范围为；
导数的应用．
【变式演练8】设函数.
（1）已知函数,求的极值；
（2）已知函数,若存在实数,使得当时,函数的最大值为,求实数的取值范围.
（1）极大值为，极小值为；
随的变化如下表:
当时,函数取得极大值;
当时,函数取得极小值.
③当,即时,函数在和上单调递增,在上单调递减,要存在实数,使得当时,函数的最大值为,则,代入化简得.令,因恒成立,故恒有时,式恒成立;
综上，实数的取值范围是.
函数导数与不等式．
【高考再现】
1.【2016高考新课标1卷】
（本小题满分12分）已知函数有两个零点.
（I）求a的取值范围；
（II）设x1,x2是的两个零点,证明：
试题解析;
（Ⅰ）．
（i）设,则,只有一个零点．
（ii）设,则当时,；
当时,．所以在上单调递减,在上单调递增．
又,,取满足且,则
故存在两个零点．
（iii）设,由得或．
若,则,故当时,,因此在上单调递增．又当时,,所以不存在两个零点．
若,则,故当时,；
当时,．因此在单调递减,在单调递增．又当时,,所以不存在两个零点．
综上,的取值范围为．
（Ⅱ）不妨设,由（Ⅰ）知,,在上单调递减,所以等价于,即．
由于,而,所以
．
设,则．
所以当时,,而,故当时,．
从而,故．
导数及其应用
2.【2016高考山东理数】
（本小题满分13分）
已知.
（I）讨论的单调性；
（II）当时，证明对于任意的成立.
（Ⅰ）见解析；
（Ⅱ）见解析
（Ⅰ）求的导函数，对a进行分类讨论，求的单调性；
（Ⅱ）要证对于任意的成立，即证，根据单调性求解.
（1），，
当或时，，单调递增；
当时，，单调递减；
（2）时，，在内，，单调递增；
（3）时，，
当时，，单调递减.
综上所述，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，时，
，，
令，.
则，
由可得，当且仅当时取得等号.
又，
设，则在单调递减，
1.应用导数研究函数的单调性、极值；
2.分类讨论思想.
【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.
3.【2016高考江苏卷】
（本小题满分16分）
已知函数.设.
（1）求方程的根;
（2）若对任意,不等式恒成立，求实数的最大值；
（3）若，函数有且只有1个零点，求的值。
（1）①0②4
（2）1
（1）因为，所以.
①方程，即，亦即，
所以，于是，解得.
②由条件知.
因为对于恒成立，且，
所以对于恒成立.
而，且，
所以，故实数的最大值为4.
（2）因为函数只有1个零点，而，
所以0是函数的唯一零点.
因为，又由知，
所以有唯一解.
令，则，
从而对任意，，所以是上的单调增函数，
于是当，；
当时，.
因而函数在上是单调减函数，在上是单调增函数.
下证.
若，则，于是，
又，且函数在以和为端点的闭区间上的图象不间断，所以在和之间存在的零点，记为.因为，所以，又，所以与“0是函数的唯一零点”矛盾.
若，同理可得，在和之间存在的非0的零点，矛盾.
因此，.
于是，故，所以.
指数函数、基本不等式、利用导数研究函数单调性及零点
【名师点睛】对于函数零点个数问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；
从图象的对称性，分析函数的奇偶性；
从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．但需注意探求与论证之间区别，论证是充要关系，要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数.
4.【2016高考天津理数】
（本小题满分14分）
设函数,，其中
（I）求的单调区间；
（II）若存在极值点，且，其中，求证：
（Ⅲ）设，函数，求证：
在区间上的最大值不小于.
（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）详见解析
（Ⅰ）先求函数的导数：
，再根据导函数零点是否存在情况，分类讨论：
①当时，有恒成立，所以的单调增区间为.②当时，存在三个单调区间
（Ⅰ）解：
由，可得.
下面分两种情况讨论：
（1）当时，有恒成立，所以的单调递增区间为.
（2）当时，令，解得，或.
当变化时，，的变化情况如下表：
＋
－
单调递增
极大值
单调递减
极小值
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，.
（Ⅲ）证明：
设在区间上的最大值为，表示两数的最大值.下面分三种情况同理：
（1）当时，，由（Ⅰ）知，在区间上单调递减，所以在区间上的取值范围为，因此
，所以.
（2）当时，，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，，，
所以在区间上的取值范围为，
因此
导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式
【名师点睛】1.求可导函数单调区间的一般步骤
（1）确定函数f（x）的定义域（定义域优先）；
（2）求导函数f′（x）；
（3）在函数f（x）的定义域内求不等式f′（x）＞0或f′（x）＜0的解集．
（4）由f′（x）＞0（f′（x）＜0）的解集确定函数f（x）的单调增（减）区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．
2．由函数f（x）在（a，b）上的单调性，求参数范围问题，可转化为f′（x）≥0（或f′（x）≤0）恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．
5.【2016高考新课标3理数】设函数，其中，记的最大值为．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求；
（Ⅲ）证明．
（Ⅱ）；
（Ⅲ）见解析．
（Ⅱ）当时，
因此，．………4分
当时，将变形为．
令，则是在上的最大值，，，且当时，取得极小值，极小值为．
令，解得（舍去），．
（Ⅲ）由（Ⅰ）得.
当时，，所以.
1、三角恒等变换；
2、导数的计算；
3、三角函数的有界性．
【归纳总结】求三角函数的最值通常分为两步：
（1）利用两角和与差的三角公式、二倍角公式、诱导公式将解析式化为形如的形式；
（2）结合自变量的取值范围，结合正弦曲线与余弦曲线进行求解．
6.【2016高考浙江理数】
（本小题15分）已知，函数F（x）=min{2|x−1|，x2−2ax+4a−2}，
其中min{p，q}=
（I）求使得等式F（x）=x2−2ax+4a−2成立的x的取值范围；
（II）（i）求F（x）的最小值m（a）；
（ii）求F（x）在区间[0,6]上的最大值M（a）.
（I）；
（II）（i）；
（ii）．
（I）分别对和两种情况讨论，进而可得使得等式成立的的取值范围；
（II）（i）先求函数，的最小值，再根据的定义可得的最小值；
（ii）分别对和两种情况讨论的最大值，进而可得在区间上的
升级会员 