高三数学课时复习基础训练13Word文档下载推荐.docx

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3．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为（　　）

A．－B．－2

C．－2或－D．2或－

[解析]　选A　由题意知，f′（x）＝3x2＋2ax＋b，f′

（1）＝0，f

（1）＝10，即解得或经检验满足题意，故＝－，选A.

[答案]　A

4．设函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c∈R）．若x＝－1为函数f（x）ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f（x）图象的是（　　）

[解析]　选D　因为[f（x）ex]′＝f′（x）ex＋f（x）（ex）′＝[f（x）＋f′（x）]ex，且x＝－1为函数f（x）ex的一个极值点，所以f（－1）＋f′（－1）＝0；

选项D中，f（－1）＞0，f′（－1）＞0，不满足f′（－1）＋f（－1）＝0.

[答案]　D

5．设函数y＝f（x）在（0，＋∞）内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK（x）＝取函数f（x）＝，恒有fK（x）＝f（x），则（　　）

A．K的最大值为　　　B．K的最小值为

C．K的最大值为2D．K的最小值为2

[解析]　由f（x）＝，

令f′（x）＝＝＝0，

得x＝1.当x∈（0,1）时，f′（x）>

0；

当x∈（1，＋∞）时，f′（x）<

0，

即f（x）＝在x＝1时取得最大值，

而f（x）≤K恒成立，所以≤K，故K的最小值为，选B.

6．函数f（x）＝x2－lnx的最小值为________．

[解析]　由得x>

1.

得0<

x<

1，

∴f（x）在x＝1时，取得最小值f

（1）＝－ln1＝.

[答案]　

7．（2016·

东北八校月考）已知函数y＝f（x）＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则f（x）的极大值与极小值之差为________．

[解析]　∵f′（x）＝3x2＋6ax＋3b，

∴⇒

∴f′（x）＝3x2－6x，令3x2－6x＝0，得x＝0或x＝2，

∴f（x）极大值－f（x）极大值＝f（0）－f

（2）＝4.

[答案]　4

8．函数f（x）＝x3－3ax＋b（a＞0）的极大值为6，极小值为2，则f（x）的单调递减区间是________．

[解析]　令f′（x）＝3x2－3a＝0，得x＝±

，

则f（x），f′（x）随x的变化情况如下表：

x

（－∞，－）

－

（－，）

（，＋∞）

f′（x）

＋

f（x）

极大值

极小值

从而解得

所以f（x）的单调递减区间是（－1,1）．

[答案]　（－1,1）

9．已知函数f（x）＝x－1＋（a∈R，e为自然对数的底数）．

（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线平行于x轴，求a的值；

（2）求函数f（x）的极值．

[解]　

（1）由f（x）＝x－1＋，得f′（x）＝1－.

又曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线平行于x轴，

得f′

（1）＝0，即1－＝0，解得a＝e.

（2）f′（x）＝1－，

①当a≤0时，f′（x）>

0，f（x）为（－∞，＋∞）上的增函数，所以函数f（x）无极值．

②当a>

时，令f′（x）＝0，得ex＝a，即x＝lna.

x∈（－∞，lna）时，f′（x）<

x∈（lna，＋∞）时，f′（x）>

所以f（x）在（－∞，lna）上单调递减，在（lna，＋∞）上单调递增，

故f（x）在x＝lna处取得极小值，

且极小值为f（lna）＝lna，无极大值．

综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；

当a>

0时，f（x）在x＝lna处取得极小值lna，无极大值．

10．（2016·

芜湖模拟）已知函数f（x）＝lnx＋.

（1）求f（x）的最小值；

（2）若函数F（x）＝f（x）＋ax在区间[2，＋∞）上是单调函数，求实数a的取值范围．

[解]　

（1）由题意可知x＞0，且f′（x）＝，

当0＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，

故f（x）min＝f

（1）＝1.

（2）由F′（x）＝－＋a＝，

当a＝0时，F′（x）＝＞0，

F（x）在区间[2，＋∞）上单调递增，符合题意，

当a＜0时，令g（x）＝ax2＋x－1，此时F（x）在[2，＋∞）上只能是单调递减，

故F′（x）≤0，即≤0，解得a≤－.

当a＞0时，F（x）在[2，＋∞）上只能是单调递增，

故F′（x）≥0，即≥0，得a≥－，故a＞0.

综上a∈∪（0，＋∞）．

[能力提升组]

11．（2016·

福州质检）若函数f（x）＝－x2＋x＋1在区间上有极值点，则实数a的取值范围是（　　）

A.B.

C.D.

[解析]　f′（x）＝x2－ax＋1，取a＝2，则f′（x）＝（x－1）2，∴当x∈时，f′（x）≥0，∴f（x）在上无极值点，故排除B、D.取a＝3，则f′（x）＝x2－3x＋1，令f′（x）＝0，则x＝或x＝（舍去），∴当x∈时，f′（x）＜0；

当x∈时，f′（x）＞0，∴x＝为f（x）的极小值点，∴排除A.故选C.

[答案]　C

12．（2016·

厦门质检）若函数f（x）＝x3－3x在（a,6－a2）上有最小值，则实数a的取值范围是（　　）

A．（－，1）B．[－，1）

C．[－2,1）D．（－，－2]

[解析]　f′（x）＝3x2－3＝0，

得x＝±

1，且x＝1为函数的极小值点，x＝－1为函数的极大值点．

函数f（x）在区间（a,6－a2）上，

则函数f（x）极小值点必在区间（a,6－a2）内，

即实数a满足a＜1＜6－a2

且f（a）＝a3－3a≥f

（1）＝－2.

解a＜1＜6－a2得，－＜a＜1，

不等式a3－3a≥f

（1）＝－2，即a3－3a＋2≥0，

即a3－1－3（a－1）≥0，即（a－1）（a2＋a－2）≥0，

即（a－1）2（a＋2）≥0，即a≥－2.

故实数a的取值范围是[－2,1）．故选C.

13．（2016·

日照月考）如果函数y＝f（x）的导函数的图象如图所示，给出下列判断：

①函数y＝f（x）在区间内单调递增；

②函数y＝f（x）在区间内单调递减；

③函数y＝f（x）在区间（4,5）内单调递增；

④当x＝2时，函数y＝f（x）有极小值；

⑤当x＝－时，函数y＝f（x）有极大值．

则上述判断中正确的是（　　）

A．①②B．②③

C．③④⑤D．③

[解析]　选D　当x∈（－3，－2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，①错；

当x∈时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（2,3）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，②错；

当x＝2时，函数y＝f（x）有极大值，④错；

当x＝时，函数y＝f（x）无极值，⑤错．故选D.

14．已知f（x）＝x3－6x2＋9x－abc，a＜b＜c，且f（a）＝f（b）＝f（c）＝0.现给出如下结论：

①f（0）f

（1）＞0；

　②f（0）f

（1）＜0；

③f（0）f（3）＞0；

　④f（0）f（3）＜0.

其中正确结论的序号是________．

[解析]　∵f′（x）＝3x2－12x＋9＝3（x－1）（x－3），

由f′（x）＜0，得1＜x＜3，由f′（x）＞0，得x＜1或x＞3，

∴f（x）在区间（1,3）上是减函数，在区间（－∞，1），（3，＋∞）上是增函数．

又a＜b＜c，f（a）＝f（b）＝f（c）＝0，

∴y极大值＝f

（1）＝4－abc＞0，y极小值＝f（3）＝－abc＜0.

∴0＜abc＜4.

∴a，b，c均大于零，或者a＜0，b＜0，c＞0.又x＝1，x＝3为函数f（x）的极值点，后一种情况不可能成立，如图．

∴f（0）＜0.∴f（0）f

（1）＜0，f（0）f（3）＞0.

∴正确结论的序号是②③.

[答案]　②③

15．已知函数f（x）＝（a＞0）的导函数y＝f′（x）的两个零点为－3和0.

（1）求f（x）的单调区间；

（2）若f（x）的极小值为－e3，求f（x）在区间[－5，＋∞）上的最大值．

[解]　

（1）f′（x）＝

＝，

令g（x）＝－ax2＋（2a－b）x＋b－c，

因为ex＞0，所以y＝f′（x）的零点就是g（x）＝－ax2＋（2a－b）x＋b－c的零点，且f′（x）与g（x）符号相同．

又因为a＞0，所以－3＜x＜0时，g（x）＞0，即f′（x）＞0，

当x＜－3或x＞0时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，

所以f（x）的单调增区间是（－3,0），单调减区间是（－∞，－3），（0，＋∞）．

（2）由

（1）知，x＝－3是f（x）的极小值点，所以有

解得a＝1，b＝5，c＝5，所以f（x）＝.

因为f（x）的单调增区间是（－3,0），单调减区间是（－∞，－3），（0，＋∞），

所以f（0）＝5为函数f（x）的极大值，

故f（x）在区间[－5，＋∞）上的最大值取f（－5）和f（0）中的最大者．

而f（－5）＝＝5e5＞5＝f（0），

所以函数f（x）在区间[－5，＋∞）上的最大值是5e5.