第6节 圆锥曲线的综合问题Word文件下载.docx
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焦点（3,0）到y=±
x的距离d=
.
故选A.
3.椭圆
+
=1（a>
b>
0）的左顶点为A,左、右焦点分别为F1、F2,D是它短轴上的一个端点,若3
=
+2
则该椭圆的离心率为（ D ）
（B）
（C）
（D）
设D（0,b）,则
=（-c,-b）,
=（-a,-b）,
=（c,-b）,
由3
得-3c=-a+2c,
即a=5c,
∴e=
4.（2015海口调研）抛物线y2=-12x的准线与双曲线
=1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于（ A ）
（A）3
（B）2
（C）2（D）
y2=-12x的准线方程为x=3,
双曲线
=1的渐近线为y=±
x.
设抛物线的准线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A、B,
由
求得A（3,
）,同理B（3,-
）,
所以|AB|=2
而O到直线AB的距离d=3,
故所求三角形的面积S=
|AB|×
d=
×
2
3=3
5.（2014河南省中原名校模拟）设双曲线
0,b>
0）,离心率e=
右焦点F（c,0）,方程ax2-bx-c=0的两个实数根分别为x1,x2,则点P（x1,x2）与圆x2+y2=8的位置关系（ C ）
（A）在圆内（B）在圆上
（C）在圆外（D）不确定
由e=
得a=b,故c=
a,
所以方程ax2-bx-c=0化为ax2-ax-
a=0,
即x2-x-
=0,
故x1+x2=1,x1·
x2=-
=（x1+x2）2-2x1x2=12-2×
（-
）=1+2
显然（1+2
）2=9+4
>
8,
所以点P（x1,x2）在圆外.
6.椭圆ax2+by2=1与直线y=1-x交于A、B两点,过原点与线段AB中点的直线的斜率为
则
的值为（ A ）
设A（x1,y1）,B（x2,y2）,
中点为M（x0,y0）,
将y=1-x代入ax2+by2=1,
得（a+b）x2-2bx+b-1=0,
故x1+x2=
x0=
∴y1+y2=2-
y0=
∴kOM=
二、填空题
7.设椭圆C1的离心率为
焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为 .
对于椭圆C1,a=13,c=5,曲线C2为双曲线,c=5,a=4,b=3,则标准方程为
=1.
答案:
=1
8.（2014哈师大附中模拟）双曲线C:
0）的右焦点为F（c,0）,以原点为圆心,c为半径的圆与双曲线在第二象限的交点为A,若此圆在A点处切线的斜率为
则双曲线C的离心率为 .
如图,由题知∠ABO=30°
所以∠AOB=60°
OA=c,
设A（x0,y0）,
则x0=-c·
cos60°
=-
y0=csin60°
c,
由双曲线定义知
2a=
=（
-1）c,
+1.
+1
9.（2014太原五中模拟）直线l过椭圆
+y2=1的左焦点F,且与椭圆相交于P、Q两点,M为PQ的中点,O为原点.若△FMO是以OF为底边的等腰三角形,则直线l的方程为 .
法一 由椭圆方程得a=
b=c=1,则F（-1,0）.
在△FMO中,|MF|=|MO|,
所以M在线段OF的中垂线上,
即xM=-
设直线l的斜率为k,则其方程为y=k（x+1）,
得x2+2k2（x+1）2-2=0,
即（2k2+1）x2+4k2x+2（k2-1）=0,
∴xP+xQ=
而M为PQ的中点,
故xM=
（xP+xQ）=
∴k2=
解得k=±
故直线l的方程为y=±
（x+1）,
即x±
y+1=0.
法二 设P（x1,y1）,Q（x2,y2）,M（x0,y0）,
由题意知kPQ=-kOM,
由P、Q在椭圆上知
两式相减整理得kPQ=
而kOM=
故
即
=2
所以kPQ=±
直线PQ的方程为y=±
x±
y+1=0
10.（2014高考山东卷）已知双曲线
0）的焦距为2c,右顶点为A,抛物线x2=2py（p>
0）的焦点为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,且|FA|=c,则双曲线的渐近线方程为 .
抛物线x2=2py的准线方程为y=-
与双曲线的方程联立得x2=a2（1+
根据已知得a2（1+
）=c2,①
由|FA|=c,得
+a2=c2,②
由①②可得a2=b2,即a=b,所以所求双曲线的渐近线方程是y=±
y=±
x
三、解答题
11.如图,等边三角形OAB的边长为8
且其三个顶点均在抛物线E:
x2=2py（p>
0）上.
（1）求抛物线E的方程;
（2）设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y=-1相交于点Q,证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点.
（1）解:
依题意,|OB|=8
∠BOy=30°
设B（x,y）,则x=|OB|sin30°
=4
y=|OB|cos30°
=12.
因为点B（4
12）在x2=2py上,
所以（4
）2=2p×
12,解得p=2.
故抛物线E的方程为x2=4y.
（2）证明:
由
（1）知y=
x2,y′=
设P（x0,y0）,则x0≠0,y0=
且l的方程为
y-y0=
x0（x-x0）,即y=
x0x-
得
所以Q为
设M（0,y1）,令
·
=0对满足y0=
（x0≠0）的x0,y0恒成立.
由于
=（x0,y0-y1）,
-y0-y0y1+y1+
即（
+y1-2）+（1-y1）y0=0.（*）
由于（*）式对满足y0=
（x0≠0）的y0恒成立,
所以
解得y1=1.
故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M（0,1）.
12.（2014长葛三模）已知圆C1的圆心的坐标原点O,且恰好与直线l1:
x-2y+3
=0相切,点A为圆上一动点,AM⊥x轴于点M,且动点N满足
+（1-
）
设动点N的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程;
（2）直线l与直线l1垂直且与曲线C交于B、D两点,求△OBD面积的最大值.
解:
（1）设动点N（x,y）,A（x0,y0）,
因为AM⊥x轴于M,
所以M（x0,0）,
设圆C1的方程为x2+y2=r2,
由题意得r=
=3,
所以圆C1的方程为x2+y2=9.
由题意,
所以（x,y）=
（x0,y0）+（1-
）（x0,0）,
将A（x,
y）代入x2+y2=9,
得动点N的轨迹方程为
（2）由题意可设直线l:
2x+y+m=0,
设直线l与椭圆
=1交于B（x1,y1）,D（x2,y2）,
联立方程
得13x2+12mx+3m2-9=0,
Δ=144m2-13×
4（3m2-9）>
0,
解得m2<
39.
又∵点O到直线l的距离d=
BD=
|x1-x2|=
∴S△OBD=
≤
（当且仅当m2=39-m2,即m2=
时取到最大值）.
∴△OBD面积的最大值为
能力提升
13.（2014高考辽宁卷）已知点A（-2,3）在抛物线C:
y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为（ D ）
∵A（-2,3）在抛物线y2=2px的准线上,
∴-
=-2,
∴p=4,
∴y2=8x,
设直线AB的方程为x=k（y-3）-2,①
将①与y2=8x联立,
得y2-8ky+24k+16=0,②
则Δ=（-8k）2-4（24k+16）=0,
即2k2-3k-2=0,
解得k=2或k=-
（舍去）,
将k=2代入①②解得
即B（8,8）,
又F（2,0）,
∴kBF=
故选D.
14.过双曲线
0）的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线,切点为T,延长FT交双曲线右支于点P,若T为线段FP的中点,则该双曲线的渐近线方程为 .
如图所示,设双曲线的另一个焦点为F′,连接OT、PF′.
∵FT为圆的切线,
∴FT⊥OT,且|OT|=a,
又∵T、O分别为FP、FF′的中点,
∴OT∥PF′且|OT|=
|PF′|,
∴|PF′|=2a,
且PF′⊥PF.
又|PF|-|PF′|=2a,
∴|PF|=4a.
在Rt△PFF′中,|PF|2+|PF′|2=|FF′|2,
即16a2+4a2=4c2,∴
=5.
∴
-1=4,∴
=2,
即渐近线方程为y=±
2x,
即2x±
y=0.
2x±
y=0
15.（2014保定二模）设椭圆E:
0）的离心率为e=
且过点（-1,-
）.
（1）求椭圆E的方程;
（2）设椭圆E的左顶点是A,若直线l:
x-my-t=0与椭圆E相交于不同的两点M、N（M、N与A均不重合）,若以MN为直径的圆过点A,试判定直线l是否过定点,若过定点,求出该定点的坐标.
（1）由e2=
可得a2=2b2,
则椭圆E的方程为
0）,
代入点（-1,-
）可得b2=2,a2=4,
故椭圆E的方程为
（2）由x-my-t=0得x=my+t,把它代入E的方程得
（m2+2）y2+2mty+t2-4=0,
设M（x1,y1）,N（x2,y2）,
y1+y2=-
y1y2=
x1+x2=m（y1+y2）+2t=
x1x2=（my1+t）（my2+t）
=m2y1y2+tm（y1+y2）+t2
因为以MN为直径的圆过点A,
所以AM⊥AN,
所
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