一维波动方程的傅氏解Word文档格式.docx
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数学物理方程（泛定方程）加上相应的定解条件
一起构成了定解问题。
根据定解条件的不同，又可以把定解问题分为三类：
初值问题：
定解条件仅有初值条件；
边值问题：
定解条件仅有边值条件；
混合问题：
定界条件有初值条件也有边值条件。
4．分离变量法：
（1）分离变量法的基本思想：
将偏微分方程的问题转化为常微分方程的问题，先从中求出一些满足边界条件的特解，然后利用叠加原理，作出这些解的线性组合，令其满足余下的初始条件，从而得到定解问题的解。
（2）分离变量法的特点：
把偏微分方程化为常微分方程,从而使问题的求解得
以简化。
（3）分离变量法的适用范围：
适用于波动问题，输运问题和稳定场问题。
（4）分离变量法处理问题的步骤：
1对方程和边界条件分离变量，如果边界条件是非齐次的，还要对边界条件进
行处理。
2求解常微分方程的本征值问题。
3构造变量分离形式的特解。
4叠加特解，利用初始条件确定叠加系数。
5．确定弦的运动方程:
（1）要研究的物理量是什么弦沿垂直方向的位移u（x,t）；
（2）被研究的物理量遵循的物理定律:
牛顿第二定律；
（3）按物理定律写出方程。
6．弦的自由振动：
f0,utta2uxx0；
弦的受迫振动：
f0，
utta2uxxfx,t．
（1）有界弦的自由振动（泛定方程和边界条件都是齐次的情形），一条两端固定的弦的自由振动，其定解问题为：
2
UttaUxx,0xl,t0
U（X,t）xoO,u（x,t）xi0u（x,t）to（x）,*to（x）
通过分离变量法可解得:
u（x,t）
CnCOs^l
n1l
Dnsinnat
nxsin
l
2ln
Cn（x）sin—
nl0l
x
—dx，
Dn
nx
（x）sindx.
解的物理意义:
nnaUnAncos「t
Bnsin
tsin—ll
干tn.Nn=,A^Bn2,tan
Bn
An
这样，该定解问题的解可以看作一系列（频率、振幅、位相各异的）驻波波函数的叠加。
所以分离变量法又称为驻波法。
各驻波
的振幅、相位由初始条件决定；
频率则和初始条件无关，称为弦的本征频率。
这种解又称为付氏解。
（2）有界弦的受迫振动：
UttaUxxfx,t,x0,l,t0,
u0,t0,ul,t0,t0
ux,0x,utx,0x.x0,l
其付氏解为:
ux,t
Tntsin
n1
Tnt
nat
cos—
1.nat
nSin_n
7.本征值问题：
X'
'
X0
X00,Xl0通过讨论我们知道，仅当入
>
0,且为某些特定值时该方程有非平庸解。
这些值称为方程在相应边界条件下的本征值；
方程相应于不同入值的非零解称为本征函函数。
求解本征值和本征函数的问题称为本征值问题。
8.非齐次边界条件的处理：
解Utta2uxx0,
uxogt,uxiht,
Ut0x，utt0
边界条件的齐次化：
为了采用分离变量法，我们需要把边界条件齐次化。
引入新的未知函数vx,t和辅助函数wx,t,令ux,tvx,twx,t如果可以找到一个函数wx,t,具备如下性质：
wx0gt,wxlht则新的未知函数VX,t满足齐次边界条件：
Vx00,vX|0。
辅助函数的选取：
我们的任务转化为寻找一个辅助函数wx,t,使它通过O,g（t）,l,h（t）两点.满足要求的最简单的函数即：
wxtM—xgt这样一来，原来的定解问题便
，l
22
vttavxxwttaWxx
转化为关于vx,t的定解问题：
vx0vxl0.
vt0xwx,0,vtt0xwtx,0..
、习题
1•求定解问题:
u社auxx0x,t0
⑴u（O,t）O,u（l,t）Asint.
u（x,O）O,ut（x,O）0
UttaUxx，Oxl,tO
⑵uxxoO,uX|O,tO.
Utox,UttoO,Oxl
uttauxxf（x）sint0xl,t0
3u（O,t）O,u（l,t）0
UttaUxxbsinhx0xl,t0
4U（O,t）O,U（l,t）0
U（x,O）O,Ut（x,O）0
u社aUxxA0xl,t0
⑸U（O,t）O,U（l,t）B
2.将下列方程分离变量:
（2）
u
-2
biy
U
—a2x
y
b2y
sinu
coshcos
1
sincoshcos
3.求解下列各本征值问题。
xXx0
00,X'
l0
X'
x
Xx
⑵
Xa
0,Xb
xXx
⑶
X00,Xl
2X'
l
xXx0⑷
1X01X'
（0）0,2Xl
4•求上端固定，下端自由的弹簧，在自重作用下的纵向振动解。
5•求处于一维无限深势阱中的粒子状态：
ih
t
x,t
h2
x2
a,t
x,0
sin—a
6•长为I的均匀杆，两端受压从而长度缩为1（12），放手后自由振动，求解杆的这一振动。
7•把定解问题:
Utta2uxx0xl,t
u（0,t）
bUx（0,t）
g（t）
u（l,t）
bUx（l,t）
h（t）
u（x,0）
x,Ut（x,0）
转化为带有齐次边界条件的定解问
题。
8•设有一均匀细弦，其线密度为.若x0端为自由端，xl端固定.初始速
度和初始位移分别为零，并受到垂直于弦线的外力作用，其单位长度所受外力为sint.求此弦的振动。
9•设两端固定的轻弦，在初始时刻在弦的xc点处，轻轻拨开位移h高度，然后让其自振动，试求其解的形式。
10.已知一条两端固定的弦长10（m），弦上各点初速度为零，初位移为
x（10x）,a21io4（此数由弦的材料决定）求弦做微小振动时的波函数。
1000
11.化简偏微分方程
Utt二a2Uxx+bUx+cUt+du，其中b,c,d为已知常数，提示：
令
t+x
u=ev.
12.试用分离变量法求解混合问题
Uttb2Uxxxx0,
u（0,t）u（l,t）Uxx0,tUxxl,t0t0,
ux,0x,utx,0x0xl,
其中b为已知函数，x,x为充分光滑的已知函数。
三、参考答案
1.解：
（1）令UX,tvx,twx,t,设wx,tSin—x则原定解问题可变为:
vtta2vxxxsint
v0,tvl,t0
vx,00,vtx,0—x
又令vx,tv1x,tv"
x,t，其中
II
v
tt
2IIav
xx
-xsint
IIv
0,t
l,t
Iv
0,v：
atsin
n2l
v11x,t
2l
an
sintsinnt
sinnt
sint.nxsinl
I2I
vav0
ttXX
V10,tV1l,t0
v1x,00,vIX,0X
tl
解之得:
其中
⑵令特解U（x,t）
X（x）T（t）满足齐次方程和齐次边界条件，则
X（x）T（t）a2X（x）T（t）
T（t）
a2T（t）
X（x）
X（x）
；
：
）aXW0，代入边界条件得X（0）X（l）0从而得到决定X（x）的如
下常微分方程边值问题
X（x）X（x）0
X（0）X（l）0
①o，r20,r，通解X（x）Ae一xBe「x带入边界条件
有:
AB0
Ae「Be
因为系数行列式
1-1
0所以AB0即
X（x）0，无非零解
②0，通解X（x）AxB带入边界条件有
A0
AlB0
AB0,即X（x）0，无非零解。
0,rk，通解X（x）Acos.xBsinx
所以X（x）
*Asin广x—Bcos.、_x带入边界条件有
xTl（k*）,k0,1,2L
所以k[-（k
1^]2,k=0,1,2L
（k1/2）x特征函数为Xk（x）Akcos
u（x,t）Tk（t）cos（k1/2）x
k0
Tk（t）[（k1/2）a]2Tk（t）0再代入初始条件得:
Tk（0）cos（k1/2）x
ut（x,0）
Tk（0）cos"
"
由正交性知
Tk（0）
2l3（k1/2）x」
xcosdxk
10lk
2'
（k1/2）x」门
-0cosdx0
l0
所以，得到Tk的常微分方程初值问题
Tk（t）["
"
2）gt）0解得
Tk（0）k,Tk（0）0
TkCkcos
（k1/2）atDksin
（k1/2）at代入初始条件得Ckk,Dk0
2l3kf0x
cos（k1/2）xdx
所以Tk
cosJ^）
因此
413
~4
k
（3）①当
4l3
at
t.n
sin一
0l
48
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