届高考数学第二轮高效精练18Word下载.docx

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PA⊥平面ABCD;

（2）求证：

EF∥平面PAB.

证明：

（1）∵底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°

，

∴AB＝AD＝AC＝a.在△PAB中，

∵PA2＋AB2＝2a2＝PB2，

∴PA⊥AB，同理PA⊥AD.

又AB∩AD＝A，

∴PA⊥平面ABCD.

（2）作EG∥PA交AD于G，连结GF，则＝＝，

∴GF∥AB.

又AB平面PAB，GF平面PAB，

∴GF∥平面PAB.

同理EG∥平面PAB.又GF∩EG＝G，

∴平面EFG∥平面PAB.又EF平面EFG，

∴EF∥平面PAB.

3.如图，现要在边长为100m的正方形ABCD内建一个交通“环岛”．以正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为xm（x不小于9）的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为x2m的圆形草地．为了保证道路畅通，岛口宽不小于60m，绕岛行驶的路宽均不小于10m.

（1）求x的取值范围；

（运算中取1.4）

（2）若中间草地的造价为a元/m2，四个角花坛的造价为ax元/m2，其余区域的造价为元/m2，则当x取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？

（1）由题意得，

解得即9≤x≤15.

（2）记“环岛”的整体造价为y元，则由题意得

y＝a×

π×

＋ax×

πx2＋×

[104－π×

－πx2]

＝，

令f（x）＝－x4＋x3－12x2，则f′（x）＝－x3＋4x2－24x＝－4x，

由f′（x）＝0，解得x＝10或x＝15，列表如下：

x

9

（9，10）

10

（10，15）

15

f′（x）

－

＋

f（x）

极小值

所以当x＝10，y取最小值．

答：

当x＝10m时，可使“环岛”的整体造价最低．

4.在直角坐标系xOy中，动点P到定点F（1，0）的距离与到定直线m：

x＝4的距离之比为，记动点P的轨迹为曲线E.

（1）求曲线E的方程；

（2）记曲线E与y轴的正半轴交点为D，过点D作直线l与曲线E交于另一点M，与x轴交于点A（不同于原点O），点M关于x轴的对称点为N，直线DN交x轴于点B.试探究OA·

OB是否为定值？

若是定值，请求出该定值，否则请说明理由．

（1）设点P（x，y），曲线E是椭圆，其方程为＋＝1.

（2）设直线l方程为y＝kx＋.令y＝0，得A.

由方程组可得3x2＋4（kx＋）2＝12，

即（3＋4k2）x2＋8kx＝0.

所以M，

N，

所以kDN＝＝.

直线DN的方程为y＝x＋.

令y＝0，得B.

所以OA·

OB＝|－|·

|－|＝4，

故OA·

OB为定值4.

5.已知函数f（x）＝lnx－mx（m∈R）．

（1）若曲线y＝f（x）过点P（1，－1），求曲线y＝f（x）在点P处的切线方程；

（2）求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值；

（3）若函数f（x）有两个不同的零点x1、x2，求证：

x1x2＞e2.

（1）解：

因为点P（1，－1）在曲线y＝f（x）上，所以－m＝－1，解得m＝1.

因为f′（x）＝－1，所以切线的斜率为0，所以切线方程为y＝－1.

（2）解：

因为f′（x）＝－m＝.

①当m≤0时，x∈（1，e），f′（x）＞0，所以函数f（x）在（1，e）上单调递增，则f（x）max＝f（e）＝1－me.

②当≥e，即0＜m≤时，x∈（1，e），f′（x）＞0，所以函数f（x）在（1，e）上单调递增，则f（x）max＝f（e）＝1－me.

③当1＜＜e，即＜m＜1时，函数f（x）在上单调递增，在上单调递减，

则f（x）max＝f＝－lnm－1.

④当≤1，即m≥1时，x∈（1，e），f′（x）＜0，函数f（x）在（1，e）上单调递减，则f（x）max＝f

（1）＝－m.

综上，当m≤时，f（x）max＝1－me；

当＜m＜1时，f（x）max＝－lnm－1；

当m≥1时，f（x）max＝－m.

（3）证明：

不妨设x1＞x2＞0.因为f（x1）＝f（x2）＝0，所以lnx1－mx1＝0，lnx2－mx2＝0，

可得lnx1＋lnx2＝m（x1＋x2），lnx1－lnx2＝m（x1－x2）．

要证明x1x2＞e2，即证明lnx1＋lnx2＞2，也就是m（x1＋x2）＞2.

因为m＝，所以即证明＞，

即ln＞.

令＝t，则t＞1，于是lnt＞.

令φ（t）＝lnt－（t＞1），则

φ′（t）＝－＝＞0.

故函数φ（t）在（1，＋∞）上是增函数，所以φ（t）＞φ

（1）＝0，即lnt＞成立．所以原不等式成立．

6.已知数列{an}的前n项和为Sn，点（n，Sn）（n∈N*）在函数y＝x2的图象上，数列{bn}满足bn＝6bn－1＋2n＋1（n≥2，n∈N*），且b1＝a1＋3.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）证明列数是等比数列，并求数列{bn}的通项公式；

（3）设数列{cn}满足对任意的n∈N*，均有an＋1＝＋＋＋…＋成立，求c1＋c2＋c3＋…＋c2014的值．

∵点（n，Sn）在函数y＝x2的图象上，

∴Sn＝n2（n∈N*），

当n＝1时，a1＝S1＝12＝1；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－（n－1）2＝2n－1，

又a1＝1也适合，

∴{an}的通项公式为an＝2n－1（n∈N*）．

（2）证明：

∵bn＝6bn－1＋2n＋1（n≥2），

∴＋1＝＋1＝3·

＋3＝3（n≥2）．∵b1＝a1＋3＝4，∴＋1＝3，

∴是首项为3，公比为3的等比数列．

∴＋1＝3·

3n－1＝3n，∴bn＝6n－2n（n∈N*）．

（3）解：

由

（2）得bn＋2n＝6n，由题意得n∈N*均有an＋1＝＋＋＋…＋，

∴an＝＋＋＋…＋（n≥2），

∴an＋1－an＝＝2（n≥2），∴cn＝2·

6n（n≥2）．

又a2＝＝3，∴c1＝3（b1＋2）＝3×

6＝18，

∴cn＝

∴c1＋c2＋c3＋…＋c2014＝18＋2（62＋63＋64＋…＋62014）＝6＋2（6＋62＋63＋…＋62014）＝（62015＋9）．滚动练习（八）

1.已知集合P＝{x︱x2≤1，x∈R}，M＝{a}．若P∪M＝P，则实数a的取值范围是________．

答案：

[－1，1]

2.某市教师基本功大赛七位评委为某选手打出分数的茎叶图如图所示，去掉一个最高分和一个最低分后的5个数据的标准差为________．（茎表示十位数字，叶表示个位数字）

7

8

3

4

5

6

3.在等比数列{an}中，a1＝，a4＝－4，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝________．

2n－1－

解析：

数列{an}的公比为－2，数列{|an|}是首项为，公比为2的等比数列．

4.计算：

sin10°

cos20°

sin30°

cos40°

＝________．

＝

＝＝.

5.已知D是△ABC边BC的中点，AB＝2，AC＝3，则·

·

＝（＋）·

（－）

＝（2－2）＝（32－22）＝.

6.在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为________．

AC＝2，BD＝2，S四边形ABCD＝×

2×

2＝10.

7.已知f（x）＝则不等式f（x2－x＋1）<

12的解集是____________．

（－1，2）

8.若函数f（x）＝x3＋ax2＋bx为奇函数，其图象的一条切线方程为y＝3x－4，则b的值为________．

－3

因为f（x）是奇函数，所以a＝0，f（x）＝x3＋bx.设f（x）在点（x0，y0）处的切线为y＝3x－4，得解得b＝－3.

9.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0.若直线y＝k（x＋1）上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围是____________．

[－2，2]

10.设函数y＝f（x）满足对任意的x∈R，f（x）≥0且f2（x＋1）＋f2（x）＝9.已知当x∈[0，1）时，有f（x）＝2－|4x－2|，则f＝____________．

f2（x＋1）＋f2（x）＝9，∴f2（x＋2）＋f2（x＋1）＝9，故f2（x＋2）＝f2（x）．又f（x）≥0，∴f（x＋2）＝f（x）．f＝f＝f.由f2（x＋1）＋f2（x）＝9，得f2＋f2＝9，f＝2，f2＝5，f＝.

11.设数列{an}满足：

a3＝8，（an＋1－an－2）（2an＋1－an）＝0（n∈N*），则a1的值大于20的概率为__________．

（an＋1－an－2）（2an＋1－an）＝0，得①an＋1－an－2＝0，又a3＝8，故an＝2n＋2；

②2an＋1－an＝0，则an＋1＝an，若{an}为等比数列，则由a3＝8得an＝32；

若{an}不为等比数列，则a1＝0；

③a1＝－4.

综上，a1∈{4，－4，0，32}，则a1的值大于20的概率为.

12.设二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数）的导函数为f′（x）．对任意x∈R，不等式f（x）≥f′（x）恒成立，则的最大值为__________．

2－2

∵f（x）＝ax2＋bx＋c，

∴f′（x）＝2ax＋b.

∵对任意x∈R，不等式f（x）≥f′（x）恒成立，

∴ax2＋bx＋c≥2ax＋b恒成立，

即ax2＋（b－2a）x＋（c－b）≥0恒成立，

故Δ＝（b－2a）2－4a（c－b）＝b2＋4a2－4ac≤0，且a＞0，

即b2≤4ac－4a2，

故≤＝

＝＝

≤＝2－2.

13.在△ABC中，内角∠A、∠B、∠C所对边长分别为a、b、c，·

＝8，∠BAC＝θ，a＝4.

（1）求bc的最大值及θ的取值范围；

（2）求函数f（θ）＝2sin2＋2cos2θ－的最值．

（1）bc·

cosθ＝8，b2＋c2－2bccosθ＝42，即b2＋c2＝32.

又b2＋c2≥2bc，所以bc≤16，即bc的最大值为16.

即≤16，所以cosθ≥.又0＜θ＜π，所以0＜θ≤.

（2）f（θ）＝·

＋1＋cos2θ－

＝sin2θ＋cos2θ＋1＝2