届高考数学第二轮高效精练18Word下载.docx
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PA⊥平面ABCD;
(2)求证:
EF∥平面PAB.
证明:
(1)∵底面ABCD是菱形,∠ABC=60°
,
∴AB=AD=AC=a.在△PAB中,
∵PA2+AB2=2a2=PB2,
∴PA⊥AB,同理PA⊥AD.
又AB∩AD=A,
∴PA⊥平面ABCD.
(2)作EG∥PA交AD于G,连结GF,则==,
∴GF∥AB.
又AB平面PAB,GF平面PAB,
∴GF∥平面PAB.
同理EG∥平面PAB.又GF∩EG=G,
∴平面EFG∥平面PAB.又EF平面EFG,
∴EF∥平面PAB.
3.如图,现要在边长为100m的正方形ABCD内建一个交通“环岛”.以正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为xm(x不小于9)的扇形花坛,以正方形的中心为圆心建一个半径为x2m的圆形草地.为了保证道路畅通,岛口宽不小于60m,绕岛行驶的路宽均不小于10m.
(1)求x的取值范围;
(运算中取1.4)
(2)若中间草地的造价为a元/m2,四个角花坛的造价为ax元/m2,其余区域的造价为元/m2,则当x取何值时,可使“环岛”的整体造价最低?
(1)由题意得,
解得即9≤x≤15.
(2)记“环岛”的整体造价为y元,则由题意得
y=a×
π×
+ax×
πx2+×
[104-π×
-πx2]
=,
令f(x)=-x4+x3-12x2,则f′(x)=-x3+4x2-24x=-4x,
由f′(x)=0,解得x=10或x=15,列表如下:
x
9
(9,10)
10
(10,15)
15
f′(x)
-
+
f(x)
极小值
所以当x=10,y取最小值.
答:
当x=10m时,可使“环岛”的整体造价最低.
4.在直角坐标系xOy中,动点P到定点F(1,0)的距离与到定直线m:
x=4的距离之比为,记动点P的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程;
(2)记曲线E与y轴的正半轴交点为D,过点D作直线l与曲线E交于另一点M,与x轴交于点A(不同于原点O),点M关于x轴的对称点为N,直线DN交x轴于点B.试探究OA·
OB是否为定值?
若是定值,请求出该定值,否则请说明理由.
(1)设点P(x,y),曲线E是椭圆,其方程为+=1.
(2)设直线l方程为y=kx+.令y=0,得A.
由方程组可得3x2+4(kx+)2=12,
即(3+4k2)x2+8kx=0.
所以M,
N,
所以kDN==.
直线DN的方程为y=x+.
令y=0,得B.
所以OA·
OB=|-|·
|-|=4,
故OA·
OB为定值4.
5.已知函数f(x)=lnx-mx(m∈R).
(1)若曲线y=f(x)过点P(1,-1),求曲线y=f(x)在点P处的切线方程;
(2)求函数f(x)在区间[1,e]上的最大值;
(3)若函数f(x)有两个不同的零点x1、x2,求证:
x1x2>e2.
(1)解:
因为点P(1,-1)在曲线y=f(x)上,所以-m=-1,解得m=1.
因为f′(x)=-1,所以切线的斜率为0,所以切线方程为y=-1.
(2)解:
因为f′(x)=-m=.
①当m≤0时,x∈(1,e),f′(x)>0,所以函数f(x)在(1,e)上单调递增,则f(x)max=f(e)=1-me.
②当≥e,即0<m≤时,x∈(1,e),f′(x)>0,所以函数f(x)在(1,e)上单调递增,则f(x)max=f(e)=1-me.
③当1<<e,即<m<1时,函数f(x)在上单调递增,在上单调递减,
则f(x)max=f=-lnm-1.
④当≤1,即m≥1时,x∈(1,e),f′(x)<0,函数f(x)在(1,e)上单调递减,则f(x)max=f
(1)=-m.
综上,当m≤时,f(x)max=1-me;
当<m<1时,f(x)max=-lnm-1;
当m≥1时,f(x)max=-m.
(3)证明:
不妨设x1>x2>0.因为f(x1)=f(x2)=0,所以lnx1-mx1=0,lnx2-mx2=0,
可得lnx1+lnx2=m(x1+x2),lnx1-lnx2=m(x1-x2).
要证明x1x2>e2,即证明lnx1+lnx2>2,也就是m(x1+x2)>2.
因为m=,所以即证明>,
即ln>.
令=t,则t>1,于是lnt>.
令φ(t)=lnt-(t>1),则
φ′(t)=-=>0.
故函数φ(t)在(1,+∞)上是增函数,所以φ(t)>φ
(1)=0,即lnt>成立.所以原不等式成立.
6.已知数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)(n∈N*)在函数y=x2的图象上,数列{bn}满足bn=6bn-1+2n+1(n≥2,n∈N*),且b1=a1+3.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)证明列数是等比数列,并求数列{bn}的通项公式;
(3)设数列{cn}满足对任意的n∈N*,均有an+1=+++…+成立,求c1+c2+c3+…+c2014的值.
∵点(n,Sn)在函数y=x2的图象上,
∴Sn=n2(n∈N*),
当n=1时,a1=S1=12=1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,
又a1=1也适合,
∴{an}的通项公式为an=2n-1(n∈N*).
(2)证明:
∵bn=6bn-1+2n+1(n≥2),
∴+1=+1=3·
+3=3(n≥2).∵b1=a1+3=4,∴+1=3,
∴是首项为3,公比为3的等比数列.
∴+1=3·
3n-1=3n,∴bn=6n-2n(n∈N*).
(3)解:
由
(2)得bn+2n=6n,由题意得n∈N*均有an+1=+++…+,
∴an=+++…+(n≥2),
∴an+1-an==2(n≥2),∴cn=2·
6n(n≥2).
又a2==3,∴c1=3(b1+2)=3×
6=18,
∴cn=
∴c1+c2+c3+…+c2014=18+2(62+63+64+…+62014)=6+2(6+62+63+…+62014)=(62015+9).滚动练习(八)
1.已知集合P={x︱x2≤1,x∈R},M={a}.若P∪M=P,则实数a的取值范围是________.
答案:
[-1,1]
2.某市教师基本功大赛七位评委为某选手打出分数的茎叶图如图所示,去掉一个最高分和一个最低分后的5个数据的标准差为________.(茎表示十位数字,叶表示个位数字)
7
8
3
4
5
6
3.在等比数列{an}中,a1=,a4=-4,则|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=________.
2n-1-
解析:
数列{an}的公比为-2,数列{|an|}是首项为,公比为2的等比数列.
4.计算:
sin10°
cos20°
sin30°
cos40°
=________.
=
==.
5.已知D是△ABC边BC的中点,AB=2,AC=3,则·
·
=(+)·
(-)
=(2-2)=(32-22)=.
6.在圆x2+y2-2x-6y=0内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别是AC和BD,则四边形ABCD的面积为________.
AC=2,BD=2,S四边形ABCD=×
2×
2=10.
7.已知f(x)=则不等式f(x2-x+1)<
12的解集是____________.
(-1,2)
8.若函数f(x)=x3+ax2+bx为奇函数,其图象的一条切线方程为y=3x-4,则b的值为________.
-3
因为f(x)是奇函数,所以a=0,f(x)=x3+bx.设f(x)在点(x0,y0)处的切线为y=3x-4,得解得b=-3.
9.在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-4x=0.若直线y=k(x+1)上存在一点P,使过P所作的圆的两条切线相互垂直,则实数k的取值范围是____________.
[-2,2]
10.设函数y=f(x)满足对任意的x∈R,f(x)≥0且f2(x+1)+f2(x)=9.已知当x∈[0,1)时,有f(x)=2-|4x-2|,则f=____________.
f2(x+1)+f2(x)=9,∴f2(x+2)+f2(x+1)=9,故f2(x+2)=f2(x).又f(x)≥0,∴f(x+2)=f(x).f=f=f.由f2(x+1)+f2(x)=9,得f2+f2=9,f=2,f2=5,f=.
11.设数列{an}满足:
a3=8,(an+1-an-2)(2an+1-an)=0(n∈N*),则a1的值大于20的概率为__________.
(an+1-an-2)(2an+1-an)=0,得①an+1-an-2=0,又a3=8,故an=2n+2;
②2an+1-an=0,则an+1=an,若{an}为等比数列,则由a3=8得an=32;
若{an}不为等比数列,则a1=0;
③a1=-4.
综上,a1∈{4,-4,0,32},则a1的值大于20的概率为.
12.设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数)的导函数为f′(x).对任意x∈R,不等式f(x)≥f′(x)恒成立,则的最大值为__________.
2-2
∵f(x)=ax2+bx+c,
∴f′(x)=2ax+b.
∵对任意x∈R,不等式f(x)≥f′(x)恒成立,
∴ax2+bx+c≥2ax+b恒成立,
即ax2+(b-2a)x+(c-b)≥0恒成立,
故Δ=(b-2a)2-4a(c-b)=b2+4a2-4ac≤0,且a>0,
即b2≤4ac-4a2,
故≤=
==
≤=2-2.
13.在△ABC中,内角∠A、∠B、∠C所对边长分别为a、b、c,·
=8,∠BAC=θ,a=4.
(1)求bc的最大值及θ的取值范围;
(2)求函数f(θ)=2sin2+2cos2θ-的最值.
(1)bc·
cosθ=8,b2+c2-2bccosθ=42,即b2+c2=32.
又b2+c2≥2bc,所以bc≤16,即bc的最大值为16.
即≤16,所以cosθ≥.又0<θ<π,所以0<θ≤.
(2)f(θ)=·
+1+cos2θ-
=sin2θ+cos2θ+1=2