不等式的性质1Word下载.docx
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（3）可加性：
b，那么a＋c>
b＋c.
（4）可乘性：
b，c>
0，那么ac>
bc；
b，c<
0，那么ac<
bc.
（5）同向可加性：
d，那么a＋c>
b＋d.
（6）同向同正可乘性：
b>
0，c>
d>
bd.
（7）可乘方性：
0，那么an>
bn（n∈N，n≥2）．
（8）可开方性：
0，那么>
（n∈N，n≥2）．
3．不等式的一些常用性质
（1）倒数性质：
①a＞b，ab＞0⇒＜.②a＜0＜b⇒＜.
③a＞b＞0,0＜c＜d⇒＞.④0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒＜＜.
（2）有关分数的性质：
若a＞b＞0，m＞0，则
①真分数：
＜；
＞（b－m＞0）；
②假分数：
＞；
＜（b－m＞0）．
考向二 不等式性质的简单应用
【例2】
（2012·
上海十三校联考）若<
<
0，有下面四个不等式：
①|a|>
|b|，②a<
b，③a＋b<
ab，④a3>
b3，则不正确的不等式的个数是（ ）．
A．0B．1C．2D．3
【训练2】已知三个不等式：
①ab＞0；
②bc＞ad；
③＞.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成正确命题的个数是（ ）．
A．0B．1C．2D．3
考向三 不等式性质的综合应用
【例3】►已知函数f（x）＝ax2＋bx，且1≤f（－1）≤2,2≤f
（1）≤4.求f（－2）的取值范围．
【训练3】若α，β满足试求α＋3β的取值范围．
二、当堂检测
1．（2011·
浙江）若a，b为实数，则“0<
ab<
1”是“a<
或b>
”的（ ）．
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2013·
保定模拟）已知a>
b，则下列不等式成立的是（ ）．
A．a2－b2≥0B．ac>
bc
C．|a|>
|b|D．2a>
2b
3．（2012·
晋城模拟）已知下列四个条件：
①b>
0>
a，②0>
a>
b，③a>
b，④a>
0，能推出<
成立的有（ ）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（2010江苏12）设实数x,y满足3≤≤8，4≤≤9，则的最大值是_____▲____
5.（2010辽宁文15）．已知－1＜x+y＜4且2＜x－y＜3，则z=2x－3y的取值范围是
6．若－<
α<
β<
，则α－β的取值范围是________．
7．（13分）已知f（x）＝ax2－c且－4≤f
（1）≤－1，－1≤f
（2）≤5，求f（3）的取值范围．
基本不等式及应用（学生版）
1．考纲要求：
均值不等式是高考的热点，主要考查命题的判定，及求最值等问题。
2．基本不等式：
≤
（1）基本不等式成立的条件：
0，b>
0.
（2）等号成立的条件：
当且仅当a＝b时取等号．
（3）其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数．
两个正数的算术平均不小于它们的几何平均，即
2．基本不等式的变形
（1）a2＋b2≥2ab（a，b∈R）．当且仅当a＝b时取等号．
（2）ab≤2（a，b∈R），当且仅当a＝b时取等号．
（3）a＋≥2（a>
0），当且仅当a＝1时取等号；
a＋≤-2（a<
0），当且仅当a＝－1时取等号．
（4）＋≥2（a，b同号），当且仅当a＝b时取等号．
（5）三个正数的算术-几何平均不等式：
如果，则，当且仅当=c时，等号成立；
推广到一般情形：
对于n个正数它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即，当且仅当时，等号成立
3．最值问题：
已知是正数，
①如果积是定值P，则当时，和有最小值；
②如果和是定值S，则当时，积有最大值.
利用基本不等式求最值时，要注意变量是否为正，和或积是否为定值，等号是否成立，以及添项、拆项的技巧，以满足均基本不等式的条件。
4．学习要点：
（1）掌握基本不等式的结构特点，利用基本不等式可以求涉及和、积结构的代数式的最值，难点在于定值的确定。
（2）基本不等式的应用在于“定和求积、定积求和”。
必要时可以通过变形（拆补）、运算（指、对数等）构造定值。
（3）只有在满足“一正、二定、三等”条件下，才能取到最值。
（4）基本不等式的主要应用有：
求最值、证明不等式、解决实际问题。
二、例题分析：
例1．已知，则的最小值是_______.
【练习】⑴求的最大值.
⑵求f（x）＝（x>
0）的最大值
例2．已知，且，求：
（1）的最小值；
（2）的最小值。
例3．已知，且求
⑴的最大值及相应的x，y的值；
⑵求＋的最小值。
例4．某村计划建造一个室内面积为800的矩形蔬菜温室。
在温室内，沿左．右两侧与后侧内墙各保留1宽的通道，沿前侧内墙保留3宽的空地。
当矩形温室的边长各为多少时？
蔬菜的种植面积最大。
最大种植面积是多少
三、当堂检测
1．设，且，则的最小值是
A．6B．C．D．
2．下列函数中最小值是4的是
A．B．
C．D．
3．若是正实数，则的最小值为
A．6B．9C．12D．15
5．若正数满足，则的取值范围是
A． Ｂ． C． D．
6（2010重庆）已知，，，则的最小值是（）
A．3B．4C．D．
7．点在直线位于第一象限内的图象上运动，则的最大值是____________.
8．函数的最小值是_____________.
9.（2010安徽文15）．若a>
0,b>
0,a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是.（写出所有正确命题的编号）．
①ab≤1；
②；
③a2+b2≥2；
④a3+b3≥3；
⑤．
10．某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：
（1）仓库面积的最大允许值是多少？
（2）为使达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？
一元二次不等式的解法（学生版）
考纲要求：
1．会从实际问题中抽象出二元一次不等式组模型
2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数，一元二次方程的联系。
知识导学
1.一元一次不等式ax>
b
（1）当a>
0时，解为；
（2）当a＜0时，解为；
（3）当a＝0，b≥0时无解；
当a＝0，b＜0时，解为R．
2.一元二次不等式：
a．一元二次不等式的解法
Ⅰ将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0（a＞0）或ax2＋bx＋c＜0（a＞0）．
Ⅱ计算相应的判别式．
Ⅲ当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根．
Ⅳ利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．
b．三个“二次”间的关系
判别式
Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
（a＞0）的图象
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
（a＞0）的根
有两相异实根
x1，x2（x1＜x2）
有两相等实根
x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0
（a＞0）的解集
{x|x＞x2,或x＜x1}
R
ax2＋bx＋c＜0
{x|x1＜x＜x2}
一、经典例题导讲
【例1】解下列关于x的不等式：
（1）
（2）（3）x2－（3＋a）x＋3a>
【训练1】1.求不等式12x2－ax＞a2（a∈R）的解集．2.（2013年广东高考）
[例2]一元二次不等式恒成立问题
已知函数f（x）＝mx2－mx－1.
（1）若对于x∈R，f（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围；
（2）若对于x∈[1,3]，f（x）＜5－m恒成立，求实数m的取值范围．
【训练2】1.如果恒成立，则实数k的取值范围是（）.
A.－1≤k≤0B.－1≤k<
0 C.－1<
k≤0D.－1<
k<
2.已知f（x）＝x2－2ax＋2（a∈R），当x∈[－1，＋∞）时，f（x）≥a恒成立，求a的取值范围．
二、知识点训练：
1、不等式组的解集为.
2、
（A）（B）
（C）（D）
3、不等式的解为………………………………………………（）
（A）x≥1 （B）x>
1（C）x≥1或者x=－2（D）x≥－2且x≠1
4、如果A＝，则实数a的集合为（
）
（A）{a|0＜a＜4}
（B）{a|0≤a＜4}（
C）{a|0＜a≤4}
（D）{a|0≤a≤4}
5、不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为，则a=；
b=.
6、若a<
0,则关于x的不等式的解集是；
7、若函数）的定义域是R，求实数k的取值范围；
8、不等式恒成立，则a的取值范围是；
9、（2013·
大同一模）已知函数f（x）＝－x2＋2x＋b2－b＋1（b∈R），若当x∈[－1,1]时，f（x）>
0恒成立，则b的取值范围是________．
10、在实数集上定义运算⊗：
x⊗y＝x（1－y），若不等式（x－a）⊗（x＋a）<
1对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．
绝对值不等式的解法（学生版）
1.绝对值三角不等式
定理1如果a,b是实数，则，当且仅当ab0时，等号成立.
定理1如果a,b,c是实数，则，当且仅当（a-b）（b-c）0时，等号成立.
2.绝对值不等式的解法
a.绝对值的几何意义：
一般地，如果a>
0,那么表示数轴上到原点距离小于a的点的集合，表示数轴上到原点距离大于a的点的集合，因而
；
进而，如果a>
0；
b.（Ⅰ）型不等式的解法
（Ⅱ）型不等式的解法
3.分式不等式：
先整理成＞0或≥0的形式，转化为整式不等式求解，即：
＞0f（x）·
g（x）＞0,≥0
4.指数不等式：
5.对数不等式：
[例1]解下列不等式
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）（6）
[训练1]1.（2012陕西）若存在实数使成立，则实数的取值范围是．
2.（2006安徽文）不等式的解集是（）
A．B．C．D．
[例2]
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