截面问题Word文件下载.docx

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A．2B．4C．D．

【答案】B

【解析】设截面圆半径为，球的半径为，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即，根据截面圆的周长可得，得，

故由题意知，即，所以，

故选：

B．

2．如图，已知三棱锥，点是的中点，且，，过点作一个截面，使截面平行于和，则截面的周长为（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】

如图所示，设AB、BC、VC的中点分别为D,E,F，连接PD,DE,EF,PF.

由题得PD||VB,DE||AC,

因为平面DEFP,VB,AC不在平面DEFP内，

所以VB||平面DEFP,AC||平面DEFP,

所以截面DEFP就是所作的平面.

由于,

所以四边形DEFP是平行四边形，

因为VB=4,AC=2,所以PD=FE=2,DE=PF=1,

所以截面DEFP的周长为2+2+1+1=6.

D

3．【2020届广东省东莞市高三期末调研测试理科数学试题】

已知球是正四面体的外接球，，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是（）

【答案】A

【解析】由题,设平面为过的球的截面,则当平面时,截面积最小,

设截面半径为,球的半径为,则,

因为正四面体棱长为,设过点垂直于平面的直线交平面于点,则,令,,则,

在中,,即,则,

解得,则,

在中,,

因为点在线段上,,设中点为,则,

所以,

在中,,即,

所以,因为,

所以,所以截面面积为,

A

4．【2020届福建省福州市高三适应性练习卷数学理科试题】

在三棱锥中，底面，，是线段上一点，且.三棱锥的各个顶点都在球表面上，过点作球的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为，则球的表面积为（）

【答案】C

【解析】将三棱锥补成直三棱柱，且三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球，

记三角形的中心为，设球的半径为，，

则球心到平面的距离为，即，

连接，则，∴.

在中，取的中点为，连接，

则，，

所以.在中，，

由题意得到当截面与直线垂直时，截面面积最小，

设此时截面圆的半径为，

则，

所以最小截面圆的面积为，

当截面过球心时，截面面积最大为，

所以，，

球的表面积为.

故选:

C.

5．【2020届重庆南开中学高三第五次教学质量检测考试数学文科试题】

正三棱锥，为中点，，，过的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积范围为（）

A．B．

C．D．

【解析】因为正三棱锥，，，

所以，即，同理，，

因此正三棱锥可看作正方体的一角，如图，

记正方体的体对角线的中点为，由正方体结构特征可得，点即是正方体的外接球球心，所以点也是正三棱锥外接球的球心，记外接球半径为，

则，因为球的最大截面圆为过球心的圆，

所以过的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积最大为；

又为中点，由正方体结构特征可得；

由球的结构特征可知，当垂直于过的截面时，截面圆半径最小为，所以.

因此，过的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积范围为.

D.

6．【2020届湖北省部分重点中学高三第二次联考数学试卷理科试题】

如图，已知四面体ABCD的各条棱长均等于4，E，F分别是棱AD、BC的中点.若用一个与直线EF垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（　　）

A．B．4C．D．6

【解析】将正四面体补成正方体如图，

可得平面，且正方形边长为，

由于，故截面为平行四边形，且，

又，，且，

∴，

当且仅当时取等号，

7．已知正方体的边长为2，边的中点为，过且垂直的平面被正方体所截的截面面积为（）

【解析】如图，连结，

易知，，又，则平面，故，同理可证明平面，则，

又，故平面.

取的中点，的中点，易知平面平面，

所以平面，即为所求截面.

易知为正三角形，边长，

故.

A.

8．在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，设过，，的截面与面，以及面的交线分别为，，则，所成的角为（）

【解析】因为，在正方体中，，，分别是，，的中点，取，，的中点分别为，，，连接，，，，，，根据正方体的特征，易知，若连接，，，则这三条线必相交于正方体的中心，又，所以，，，，，六点必共面，即为过，，的截面；

所以即为直线，即为直线；

连接，，，因为，，

所以即为异面直线与所成的角，

又因为正方体的各面对角线都相等，所以为等边三角形，

因此.故选：

9．【2020届山西省吕梁市高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题】

如图四面体中，，截面四边形满足，则下列结论正确的个数为（）

①四边形的周长为定值

②四边形的面积为定值

③四边形为矩形

④四边形的面积有最大值1

A．0B．1C．2D．3

【解析】因为平面，所以平面，又平面平面，所以.

同理，所以四边形为平行四边形，

又，所以四边形为矩形.所以③是正确的；

由相似三角形的性质得，

所以，，所以，

所以四边形的周长为定值4，所以①是正确的；

，所以四边形的面积有最大值1，所以④是正确的.因为①③④正确.故选：

10．【2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷）】

已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为

【解析】首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果.

根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，

所以在正方体中，

平面与线所成的角是相等的，

所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，

同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，

要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面与中间的，

且过棱的中点的正六边形，且边长为，

所以其面积为，故选A.

11．【云南省曲靖市2019-2020学年高三第一次教学质量检测数学文科试题】

在四面体中，，，用平行于，的平面截此四面体，得到截面四边形，则四边形面积的最大值为（）

A．B．C．D．3

【解析】设截面分别与棱交于点.由直线平面，

且平面平面，平面平面

得，，所以，

同理可证，所以四边形为平行四边形，

又，，

可证得，四边形为矩形.

设，，

则，，于是

当时，四边形的面积有最大值.

B.

二、填空题

12．【新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市2019-2020学年高三第一次诊断性测试数学文试题】

如图，已知正方体的棱长为2，E、F、G分别为的中点，给出下列命题：

①异面直线EF与AG所成的角的余弦值为；

②过点E、F、G作正方体的截面，所得的截面的面积是；

③平面

④三棱锥的体积为1

其中正确的命题是_____________（填写所有正确的序号）

【答案】①③④

【解析】取的中点为点H，连接GH、AH，如图1所示，因为,所以就是异面直线EF与AG所成的角

易知在中，，所以，①正确；

图1图2图3

矩形即为过点E、F、G所得正方体的截面，如图2所示，易知,所以，②错误；

分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立如图3所示直角坐标系,则

，，

因为，所以，又平面，

平面且，所以平面，故③正确

，，④正确.

故答案为：

①③④

13．如图所示，在长方体中，点E是棱上的一个动点，若平面交棱于点F，给出下列命题：

①四棱锥的体积恒为定值；

②对于棱上任意一点E，在棱上均有相应的点G，使得平面；

③O为底面对角线和的交点，在棱上存在点H，使平面；

④存在唯一的点E，使得截面四边形的周长取得最小值.

其中为真命题的是____________________.（填写所有正确答案的序号）

①,

又三棱锥为三棱锥,则底面不变,且因为平面,故点到底面的距离即三棱锥底面的高不变,故三棱锥的体积不变,所以四棱锥的体积不变,恒为定值,故①正确；

②当点在点处时,总有与平面相交,故②错误；

③由O为底面对角线和的交点,则,设为的中点,则在中,所以平面,故③正确；

④四边形的周长为,则分析即可,将矩形沿着展开使得在延长线上时,此时的位置设为,则线段与的交点即为截面平行四边形的周长取得最小值时唯一点,故④正确；

故答案为:

14．【2020届河南省驻马店市高三上学期期末数学（文科）试题】

在棱长为的正方体中，是正方形的中心，为的中点，过的平面与直线垂直，则平面截正方体所得的截面面积为______.

【答案】

如图，在正方体中，记的中点为，连接，

则平面即为平面．证明如下：

由正方体的性质可知，，则，四点共面，

记的中点为，连接，易证．连接，则，

所以平面，则．

同理可证，，，则平面，

所以平面即平面，且四边形即平面截正方体所得的截面．

因为正方体的棱长为，易知四边形是菱形，

其对角线，，所以其面积．