职高数学第一轮复习教案4平面向量Word格式文档下载.docx
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（5）单位向量:
长度等于1的向量,叫做单位向量,记作.与向量同方向的单位向量通常记作,容易看出:
.
（6）共线向量（平行向量）:
如果表示一些向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,即这些向量的方向相同或相反,则称这些向量为共线向量（或平行向量）.向量平行于向量,记作∥.零向量与任一个向量共线（平行）.
三、典型例题：
例:
在四边形ABCD中,如果且,那么四边形ABCD是哪种四边形?
四、归纳小结：
1.用位置向量可确定一点相对于另一点的位置,这是用向量研究几何的依据.
2.共线向量（平行向量）是方向相同或相反的向量,可能有下列情况:
（1）有一个为零向量;
（2）两个都为零向量;
（3）方向相同,模相等（即相等向量）;
（4）方向相同,模不等;
（5）方向相反,模相等;
（6）方向相反,模不等.
五、基础知识训练：
（一）选择题：
1.下列命题中:
（1）向量只含有大小和方向两个要素.
（2）只有大小和方向而无特定的位置的向量叫自由向量.（3）同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.（4）点A相对于点B的位置向量是.正确的个数是（）
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.设O是正△ABC的中心,则向量是（）
A.有相同起点的向量B.平行向量C.模相等的向量D.相等向量
3.的充要条件是（）
A.B.且C.D.且与同向
4.是四边形是平行四边形的（）
A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件
5.依据下列条件,能判断四边形ABCD是菱形的是（）
A.B.且
C.且D.且
6.下列关于零向量的说法中,错误的是（）
A.零向量没有方向B.零向量的长度为
C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向任意
7.设与已知向量等长且方向相反的向量为,则它们的和向量等于（）
A.0B.C.2D.2
（二）填空题：
8.下列说法中:
（1）与的长度相等
（2）长度不等且方向相反的两个向量不一定共线（3）两个有共同起点且相等的向量,终点必相同（4）长度相等的两个向量必共线。
错误的说法有.
9.下列命题中:
（1）单位向量都相等
（2）单位向量都共线（3）共线的单位向量必相等
（4）与一非零向量共线的单位向量有且只有一个.中正确的命题的个数有个.
10.下列命题中:
（1）若=0,则=0.
（2）若,则或.
（3）若与是平行向量,则.（4）若,则.
其中正确的命题是（只填序号）.
（三）解答题：
11.如图,四边形ABCD于ABDE都是平行四边形.
（1）若,求;
（2）若,求;
（3）写出和相等的所有向量;
（4）写出和共线的所有向量.
向量的加法与减法运算
掌握求向量和与差的三角形法则和平行四边形法则.掌握向量加法的交换律与结合律.
1.已知向量、,在平面上任取一点A,作,,作向量,则向量叫做向量与的和（或和向量）,记作+,即.这种求两个向量和的作图法则,叫做向量求和的三角形法则.
2.已知向量、,在平面上任取一点A,作,,如果A、B、D不共线,则以AB、AD为邻边作平行四边形ABCD,则对角线上的向量=+=+.这种求两个向量和的作图法则,叫做向量求和的平行四边形法则.
3.已知向量、,在平面上任取一点O,作,,则+=,向量叫做向量与的差,并记作-,即=.由此推知:
（1）如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是减向量的终点到被减向量的终点的向量;
（2）一个向量等于它的终点相对于点O的位置向量减去它的始点相对于点O的位置向量;
（3）一个向量减去另一个向量,等于加上这个向量的相反向量.
4.向量加法满足如下运算律:
（1）;
（2）.
例1:
已知任意两个向量、,不等式≤是否正确?
为什么?
例2:
作图验证:
1.向量的加法有三角形法则（）或平行四边形法则（+=）,向量的减法法则（）.
2.向量的加减法完全不同于数量的加减法.向量加法的三角形法则的特点是,各个加向量的首尾相接,和向量是首指向尾.向量减法的三角形法则的特点是,减向量和被减向量同起点,差向量是由减向量指向被减向量.
3.任一向量等于它的终点向量减去它的起点向量（相对于一个基点）.
1.化简的结果为（）
A.B.C.D.0
2.在△ABC中,,则等于（）
A.B.C.D.
3.下列四式中不能化简为的是（）
A.B.
C.D.
4.如图,平行四边形ABCD中,下列等式错误的是（）
5.下列命题中，错误的是（）
A.对任意两个向量、,都有≤
B.在△ABC中,
C.已知向量,对平面上任意一点O,都有
D.若三个非零向量、、满足条件,则表示它们的有向线段一定能构成三角形
6．下列等式中，正确的个数是（）
:
①;
②;
③;
④;
⑤.
A.2B.3C.4D.5
6.在△ABC中,=,=.
7.化简:
=,=.
8.若某人从点A向东位移60m到达点B,又从点B向东偏北方向位移50m到达点C,再从点C向北偏西方向位移30m到达点D,试作出点A到点D的位移图示.
§
6.3数乘向量
掌握数乘向量的运算及其运算律.
1.数乘向量的一般定义:
实数和向量的乘积是一个向量,记作.
当时,与同方向,;
当时,与反方向,;
当或时,.
2.数乘向量满足以下运算律:
（1）1=,（-1）=;
（2）;
（3）;
（4）.
化简:
求向量:
向量的加法、减法与倍积的综合运算,通常叫做向量的线性运算.
1.下列关于数乘向量的运算律错误的一个是（）
2.D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB上的中点,且,给出下列命题,其中正确命题的个数是（）
②;
③;
④.
A.1B.2C.3D.4
3.已知AM是△ABC的BC边上的中线,若,则等于（）
4.设四边形ABCD中,有,且,则这个四边形是（）
A.平行四边形B.矩形C.等腰梯形D.菱形
5.化简:
=.
6.若向量满足等式:
则=.
7.数乘向量的几何意义是.
8.已知向量（也称矢量）,求作向量.
9.已知、不平行,求实数x、y使向量等式恒成立.
10.任意四边形ABCD中,E是AD的中点,F是BC的中点,求证:
平行向量和轴上向量的坐标运算
掌握向量平行的条件,理解平行向量基本定理和轴上向量的坐标及其运算.
1.平行向量基本定理:
如果向量,则的充分必要条件是,存在唯一的实数,使.该定理是验证两向量是否平行的标准.
2.已知轴,取单位向量,使与同方向,对轴上任意向量,一定存在唯一实数x,使.这里的x叫做在轴上的坐标（或数量）,x的绝对值等于的长,当与同方向时,x是正数,当与反方向时,x是负数.
（1）设,,则①当且仅当;
②=.
这就是说,轴上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等;
轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和.
（2）向量的坐标通常用AB表示,常把轴上向量运算转化为它们的坐标运算,得著名的沙尔公式:
AB+BC=AC.
（3）轴上向量的坐标运算:
起点和终点在轴上的向量的坐标等于它的终点坐标减去起点坐标.即在轴x上,若点A的坐标为,点B的坐标为,则AB=.可得到数轴上两点的距离公式:
已知:
MN是△ABC的中位线,求证:
试问向量与是否平行?
并求.
例3:
A、B、C、D是轴上任意四点,求证:
1.平面向量基本定理给出了平行向量的另一等价的代换式,应用这一定理,可以通过向量的运算解决几何中的平行问题.即判断两个向量平行的基本方法是,一个向量是否能写成另一向量的数乘形式.
2.数轴上任一点P相对于原点O的位置向量的坐标,就是点P的坐标,它建立了点的坐标与向量坐标之间的联系.
1.如果,那么与的关系一定是（）
A.相等B.平行C.平行且同向D.平行且反向
2.若,且,则四边形ABCD是（）
A.平行四边形B.梯形C.等腰梯形D.菱形
3.“”是“且”的（）
4.若,那么与的关系是.
5.在轴上,若,则=.
6.已知:
数轴上三点A、B、C的坐标分别是-5、-2、6,则=,=,=.
7.已知:
点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点,求证:
EF=HG.
向量的分解
理解平面向量的分解定理.
1.平面向量的分解定理:
设,是平面上的两个不共线的向量,则平面上任意一个向量能唯一地表示成,的线性组合,即.
2.直线的向量参数方程：
（t为参数）:
①;
③.特别地,当时,,此为中点向量表达式.
如图,在△ABC中,M是AB的中点,E是中线CM的中点,AE的延长线交BC于F,MH∥AF,交BC于点H,设,试用基底、表示、、.
如图,A、B是直线上任意两点,O是外一点,求证:
点P在直线上的充要条件是:
存在实数t,使.
平面向量分解定理告诉我们:
平面上取定两个不平行的向量作为基向量,则平面上的任一向量都可以表示为基向量的线性组合.于是,向量之间的运算转化为对两个向量的线性运算.
1.如图,用基底向量、表示向量、、、,不正确的一个是（）
A.=+2B
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