数学百大经典例题直线与平面的垂直判定和性质(新课标).doc

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典型例题一

例1下列图形中，满足唯一性的是（）．

A．过直线外一点作与该直线垂直的直线

B．过直线外一点与该直线平行的平面

C．过平面外一点与平面平行的直线

D．过一点作已知平面的垂线

分析：

本题考查的是空间线线关系和线面关系，对定义的准确理解是解本题的关键．要注意空间垂直并非一定相关．

解：

A．过直线外一点作与这条直线垂直的直线，由于并没有强调相交，所以这样的垂线可以作无数条．事实上这无数条直线还在同一个平面内，这个平面为该直线的一个垂面．

B．过直线外一点可以作一条而且仅能作一条直线与该直线平行，但可以作无数个平面和该直线平行．

C．过此点作平面内任一直线的平行线，这条平行线都平行于平面．所以过平面外一点与平面平行的直线应有无数条．

D．过一点作已知平面的垂线是有且仅有一条．假设空间点、平面，过点有两条直线、都垂直于，由于、为相交直线，不妨设、所确定的平面为，与的交线为，则必有，，又由于、、都在平面内，这样在内经过点就有两条直线和直线垂直，与平面几何中经过一点有县仅有一条直线与已知直线垂直相矛盾．

故选D．

说明：

有关“唯一性”结论的问题，常用反证法，或者借助于其它已证明过的唯一性命题来证明．在本书中，过一点作已知平面的垂线有且仅有一条，同时，过一点作已知直线的垂面也是有且仅有一个．它们都是“唯一性”命题，在空间作图题中常常用到．

典型例题二

例2已知下列命题：

（1）若一直线垂直于一个平面的一条斜线，则该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影；

（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行；

（3）若平面外的两条直线，在这个平面上的射影互相垂直，则这两条直线互相垂直；

（4）若两条直线互相垂直，且其中的一条平行一个平面，另一条是这个平面的斜线，则这两条直线在这个平面上的射影互相垂直．

上述命题正确的是（）．

A．

（1）、

（2）B．

（2）、（3）C．（3）、（4）D．

（2）、（4）

分析：

本题考查的三垂线定理及其逆定理的简单应用．应用这两个定理时要特别注意“平面内”这一条件，同时要注意各种不同位置的两定理的基本图形及其变式图形．

解：

（1）已知直线不一定在平面内，所以不能用三垂线逆定理来判断垂直关系；

（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线必定与斜线在平面内的射影垂直，所以它们之间也平行；

（3）根据三垂线定理可证明直线与另一直线的射影垂直，但不能进一步说明直线和直线垂直；

（4）根据三垂线定理的逆定理和空间两直线所成角的概念，不难证明此命题的正确性．

故选D．

说明：

（3）中若一直线与另一直线的射影垂直，则有另一直线必与这一直线的射影垂直．如在正方体中，分别为棱和上的点，为棱上的点，且，，求．

典型例题三

例3如图，在正方体中，是的中点，是底面正方形的中心，求证：

平面．

分析：

本题考查的是线面垂直的判定方法．根据线面垂直的判定方法，要证明平面，只要在平面内找两条相交直线与垂直．

证明：

连结、、，在△中，

∵分别是和的中点，

∴．

∵面，

∴为在面内的射影．

又∵，

∴．

同理可证，．

又∵，、面，

∴平面．

∵，

∴平面．

另证：

连结，，设正方体的棱长为，易证．

又∵，

∴．

在正方体中易求出：

，

，

．

∵，

∴．

∵，、平面，

∴平面．

说明：

要证线面垂直可找线线垂直，这是立体几何证明线面垂直时常用的转化方法．在证明线线垂直时既要注意三垂线定理及其逆定理的应用，也要注意有时是从数量关系方面找垂直，即勾股定理或余弦定理的应用．

典型例题四

例4如图，在△中，，平面，点在和上的射影分别为，求证：

．

分析：

本题考查的仍是线面垂直的判定和性质定理，以及线线垂直和线面垂直相互转化思想．欲证，可证面，为此须证，进而可转化为证明平面，而已知，所以只要证即可．由于图中线线垂直、线面垂直关系较多，所以本题也可以利用三垂线定理和逆定理来证线线垂直．

证明：

∵面，平面，

∴．

∵，即，，

∴平面．

∵平面．

∴．

又∵，，

∴平面．

∵平面，

∴，

又∵，，

∴平面．

∵平面．

∴．

另证：

由上面可证平面．

∴为在平面内的射影．

∵，

∴．

说明：

在上面的证题过程中我们可以看出，证明线线垂直常转化为证明线面垂直，而证明线面垂直又转化为证明线线垂直．立体几何中的证明常常是在这种相互转化的过程中实现的．本题若改为下题，想想如何证：

已知⊙所在平面，为⊙的直径，为⊙上任意一点（与不重合）．过点作的垂面交、于点，求证：

．

典型例题五

例5如图，为平面的斜线，为斜足，垂直平面于点，为平面内的直线，，，，求证：

．

分析：

本题考查的是线面角的定义和计算．要证明三个角余弦值之间关系，可考虑构造直角三角形，在直角三角形中求出三个角的余弦值，再代入验证证明，其中构造直角三角形则需要用三垂线定理或逆定理．

证明：

过点作垂直于点，连．

∵，

∴在平面内射影为．

∵，，

∴．

在△中有：

①

在△中有：

②

在△中有：

③

由①、②、③可得：

．

说明：

由此题结论易知：

斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．若平面的斜线与平面所成角为，则斜线与平面内其它直线所成角的范围为．

典型例题六

例6如图，已知正方形边长为4，平面，，分别是中点，求点到平面的距离．

分析：

此题是1991年高考题，考查了直线与直线、直线与平面等位置关系以及逻辑推理和空间想像能力．本题是求平面外一点到平面的距离，可用转移法将该点到平面的距离转化为求另一点到该平面的距离．为此要寻找过点与平面平行的直线，因为与平面平行的直线上所有点到平面的距离相等．

证明：

连结，和分别交于，连，作于．

∵为正方形，分别为的中点，

∴，为中点．

∵，平面，

∴平面．

∴与平面的距离就是点到平面的距离．

∵，∴．

∵面，∴．

∵，

∴平面．

∵平面，

∴．

又∵，，

∴平面．

即长就是点到平面的距离．

∵正方形边长为4，，

∴，，．

在△中，．

在△中，．

说明：

求点到平面的距离常用三种方法：

一是直接法．由该点向平面引垂线，直接计算垂线段的长．用此法的关键在于准确找到垂足位置．如本题可用下列证法：

延长交的延长线于，连结，作于，作交于，连结，再作于，可得平面，长即为点到平面的距离．二是转移法．将该点到平面的距离转化为直线到平面的距离．三是体积法．已知棱锥的体积和底面的面积．求顶点到底面的距离，可逆用体积公式．

典型例题七

例7　如图所示，直角所在平面外一点，且．

（1）求证：

点与斜边中点的连线面；

（2）若直角边，求证：

面．

分析：

由等腰三角形底边上的中线得到线线垂直，从而得到线面垂直．

证明：

（1）在等腰中，为中点，∴．

取中点，连、．

∵，，∴．

又，∴面，∴．

∴面（、是面内两相交直线）．

（2）∵，∴．

又∵面，∴．

∵，∴面．

说明：

证明线面垂直的关键在于寻找直线与平面内的两条相交直线垂直．寻找途径可由等腰三角形底边上的中线与底边垂直，可由勾股定理进行计算，可由线面垂直得线线垂直等．

典型例题八

例8　如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．

　已知：

，．求证：

．

分析：

由线面垂直的判定定理知，只需在内找到两条相交直线与垂直即可．

证明：

如图所示，在平面内作两条相交直线、．

∵，∴，．

又∵，从而有，．

由作图知、为内两条相交直线．

∴．

说明：

本题的结论可以作为判定线面垂直的依据，即当要证的直线与平面的垂直关系不明确或不易证出时，可以考虑证明与已知直线平行的直线与平面垂直．

典型例题九

例9　如图所示，已知平面平面=，为、外一点，于，于，于．证明：

．

分析：

先证、、、四点共面，再证明平面，从而得到．

证明：

∵，，∴．

∴、、、四点共面．

∵，，，∴，．

又，∴平面．

∴．

说明：

与线面平行和线线平行交替使用一样，线面垂直和线线垂直也常互为条件和结论．即要证线面垂直，先找线线垂直；要证线线垂直，先找线面垂直．本题证明“、、、四点共面”非常重要，仅由平面，就断定，则证明是无效的．

典型例题十

例10　平面内有一半圆，直径，过作平面，在半圆上任取一点，连、，且、分别是在、上的射影．

（1）求证：

；

（2）这个图形中有多少个线面垂直关系？

（3）这个图形中有多少个直角三角形？

（4）这个图形中有多少对相互垂直的直线？

分析：

注意利用直线与直线、直线与平面垂直的有关知识进行判断．

（1）证明：

连、．如上图所示，

∵为已知圆的直径，∴．

∵平面，，∴．

∵，∴平面．

∵平面，∴．

∵于，，∴平面．

∵于，且是在平面的射影，∴．

解

（2）：

由

（1）知，平面，平面，平面．

∵且，∴平面，

∴图中共有4个线面垂直关系．

（3）∵平面，∴、均为直角三角形．

∵平面，∴、均为直角三角形．

∵平面，∴、、均为直角三角形．

∵平面，∴、、、均为直角三角形．

综上，图中共有11个直角三角形．

（4）由平面知，，，．

由平面知，，，．

由平面知，，，．

由平面知，，．

综上，图中共有11对互相垂直的直线．

说明：

为了保证

（2）（3）（4）答案不出错，首先应找准

（2）的答案，由“线面”可得到“线面内线”，当“线面内线”且相交时，可得到直角三角形；当“线面内线”且不相交时，可得到异面且垂直的一对直线．

典型例题十一

例11　如图所示，．在平面内，是的斜线，．求与平面所成的角．

分析：

求与平面所成角，关键是确定在平面上射影的位置．由，可考虑通过构造直角三角形，通过全等三角形来确定位置，构造直角三角形则需用三垂线定理．

解：

如图所示，过作于．连结，

则为在面上的射影，为与平面所成的角．

作，由三重线定理可得．

作，同理可得．

由，，，

可得≌，∴．

∵、分别为、在内射影，∴．

所以点在的平分线上．

设，又，∴，，

∴．

在中，，

∴，即与所成角为．

说明：

（1）本题在得出在面上的射影为的平分线后，可由公式来计算与平面所成的角，此时，，．

（2）由与平面上射影为平分线还可推出下面结论：

四面体中，若，，则点在面上的射影为的内心．

典型例题十二

例12　如图所示，在平面内有，在平面外有点，斜线，，且斜线、分别与平面所成的角相等，设点与平面的距离为，，且．求点与直线的距离．

分析：

由点向平面引垂线，考查垂足的位置，连、，推得，，又，故、、、为矩形的四个顶点．

解：

作平面，垂足为，连、．

∵，，

∴由三垂线定理的逆定理，有：

，，

又，∴为矩形．

又∵，∴，∴为正方形，

∴、互相垂直平分．

设为、的交点，连结，

根据三垂线定理，有，则为到的距离．

在中，，，

∴．

因此，点到的距离为．

说明：

由本例可得到点到直线距离的作法：

（1）若点、直线在确定平面内，可直接由点向直线引垂线，这点和垂足的距离即为所求．

（2）若点在直线所在平面外，可由三垂线定理确定：

由这点向平面引垂线得垂足，由垂足引直线的垂线得斜足，则这点与斜足的距离为点到直线的距离．

（3）处理距离问题的基本步骤是：

作、证、算，即作出符合要求的辅助线，然后证明所作距离符合定义，再通过解直角三角形进行计算．

典型例题十三

例13　如图，是正方形，垂直于平面，过且垂直