高考数学大一轮复习 第八章 平面解析几何课时作业61 理 新人教A版文档格式.docx
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x2＝4D．x1·
x2＝16
由抛物线的焦点为F（2,0），设直线l的方程为my＝x－2，由
⇒y2－8my－16＝0，又A（x1，y1），B（x2，y2），故y1·
y2＝－16，x1·
x2＝
＝4.故选C.
C
4．已知直线y＝
x与双曲线
－
＝1交于A，B两点，P为双曲线上不同于A，B的点，当直线PA，PB的斜率kPA，kPB存在时，kPA·
kPB＝（ ）
A.
B.
C.
D．与P点位置有关
设点A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），则由
得y2＝
，y1＋y2＝0，y1y2＝－
，x1＋x2＝0，x1x2＝－4×
.由kPA·
kPB＝
·
知kPA·
kPB为定值
，选A.
5．已知A，B为抛物线C：
y2＝4x上的两个不同的点，F为抛物线C的焦点，若
＝－4
，则直线AB的斜率为（ ）
A．±
B．±
C．±
D．±
焦点F（1,0），直线AB的斜率必存在，且不为0.故可设直线AB的方程为y＝k（x－1）（k≠0），代入y2＝4x中化简得ky2－4y－4k＝0.
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1＋y2＝
，①
y1y2＝－4，②
又由
可得y1＝－4y2，③
联立①②③式解得k＝±
.
D
6．若双曲线
＝1（a>
0，b>
0）的渐近线与抛物线y＝x2＋2相切，则此双曲线的离心率是（ ）
A．2B．3
D．9
双曲线的渐近线为y＝±
x，不妨取y＝
x，代入抛物线得
x＝x2＋2，即x2－
x＋2＝0，则Δ＝
－8＝0，即b2＝8a2，又b2＝c2－a2＝8a2，所以c2＝9a2，故e＝
＝3.
二、填空题
7．直线y＝kx＋1与椭圆
＝1恒有公共点，则m的取值范围是________．
直线y＝kx＋1过定点（0,1），
由题意知
∴m≥1，且m≠5.
m≥1，且m≠5
8．设抛物线x2＝4y的焦点为F，经过点P（1,4）的直线l与抛物线相交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，则|
|＋|
|＝________.
设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意知x1＋x2＝2，且x
＝4y1，x
＝4y2，两式相减整理得，
，所以直线AB的方程为x－2y＋7＝0.将x＝2y－7代入x2＝4y整理得4y2－32y＋49＝0，所以y1＋y2＝8，又由抛物线定义得|
|＝y1＋y2＋2＝10.
10
9．已知椭圆C：
b>
0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e.直线l：
y＝ex＋a与x轴，y轴分别交于点A，B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，设|AM|＝e|AB|，则该椭圆的离心率e＝________.
因为点A，B分别是直线l：
y＝ex＋a与x轴、y轴的交点，所以点A，B的坐标分别是
，（0，a）．设点M的坐标是（x0，y0），由|AM|＝e|AB|，得
（*）
因为点M在椭圆上，所以
＝1，将（*）式代入，得
＝1，整理得，e2＋e－1＝0，解得e＝
三、解答题
10．已知椭圆C1：
＝1（0<
b<
2）的离心率为
，抛物线C2：
x2＝2py（p>
0）的焦点是椭圆的顶点．
（1）求抛物线C2的方程．
（2）过点M（－1,0）的直线l与抛物线C2交于E，F两点，过E，F作抛物线C2的切线l1，l2，当l1⊥l2时，求直线l的方程．
解：
（1）∵椭圆C1的长半轴长a＝2，半焦距c＝
，由e＝
得b2＝1，
∴椭圆C1的上顶点为（0,1），
∴抛物线C2的焦点为（0,1），
∴抛物线C2的方程为x2＝4y.
（2）由已知可得直线l的斜率必存在，设直线l的方程为y＝k（x＋1），E（x1，y1），F（x2，y2）．由x2＝4y得y＝
x2，∴y′＝
x.∴切线l1，l2的斜率分别为
x1，
x2.
当l1⊥l2时，
x1·
x2＝－1，即x1x2＝－4.
由
得x2－4kx－4k＝0，∴Δ＝（4k）2－4×
（－4k）>
0，解得k<
－1或k>
0.①
且x1x2＝－4k＝－4，得k＝1，满足①式．
∴直线l的方程为x－y＋1＝0.
11．已知圆C：
（x＋
）2＋y2＝16，点A（
，0），Q是圆上一动点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，设点M的轨迹为E.
（1）求轨迹E的方程；
（2）过点P（1,0）的直线l交轨迹E于两个不同的点A，B，△AOB（O是坐标原点）的面积S＝
，求直线AB的方程．
（1）由题意|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝4>
2
，所以轨迹E是以A，C为焦点，长轴长为4的椭圆，
即轨迹E的方程为
＋y2＝1.
（2）记A（x1，y1），B（x2，y2），
由题意，直线AB的斜率不可能为0，而直线x＝1也不满足条件，故可设AB的方程为x＝my＋1.
消去x得（4＋m2）y2＋2my－3＝0，
所以
S＝
|OP||y1－y2|＝
由S＝
，解得m2＝1，即m＝±
1.
故直线AB的方程为x＝±
y＋1，
即x＋y－1＝0或x－y－1＝0为所求．
1．对于直线l：
y＝k（x＋1）与抛物线C：
y2＝4x，k＝±
1是直线l与抛物线C有唯一交点的____________条件．（ ）
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
联立方程组
消去y并整理得，k2x2＋2（k2－2）x＋k2＝0.
当k＝0时，上式变为－4x＝0，解得x＝0，l与C有唯一交点，
当k≠0时，Δ＝4（k2－2）2－4k4＝0，解得k＝±
故k＝±
1是直线l与抛物线C有唯一交点的充分不必要条件．
2．已知椭圆
＝1的焦点是F1，F2，如果椭圆上一点P满足PF1⊥PF2，则下面结论正确的是（ ）
A．P点有两个B．P点有四个
C．P点不一定存在D．P点一定不存在
设椭圆的基本量为a，b，c，则a＝5，b＝4，c＝3.以F1F2为直径构造圆，可知圆的半径r＝c＝3<
4＝b，即圆与椭圆不可能有交点，所以P点一定不存在．
3．双曲线C的方程为
0），l1，l2为其渐近线，F为右焦点，过F作l∥l2且l交双曲线C于R，交l1于M，若
＝λ
，且λ∈
，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A．（1，
]B．（
，
）
C．（
）D．（
，＋∞）
由题意得令l1：
y＝－
x，l2：
y＝
x，
l：
（x－c），
由l交双曲线C于R，令
解此方程组得R
故有
由l交l1于M，令
解此方程组得M
，故有
，由
，得
，整理得a2＝（1－λ）c2，即e2＝
又λ∈
，所以e2∈（2,3），即e∈（
）．
4．（xx·
福建卷）已知双曲线E：
0）的两条渐近线分别为l1：
y＝2x，l2：
y＝－2x.
（1）求双曲线E的离心率；
（2）如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、四象限），且△OAB的面积恒为8.试探究：
是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？
若存在，求出双曲线E的方程；
若不存在，说明理由．
（1）因为双曲线E的渐近线分别为y＝2x，y＝－2x，所以
＝2，所以
＝2，故c＝
a，
从而双曲线E的离心率e＝
（2）由
（1）知，双曲线E的方程为
＝1.
设直线l与x轴相交于点C.
当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，
则|OC|＝a，|AB|＝4a，
又因为△OAB的面积为8，
|OC|·
|AB|＝8，
因此
a·
4a＝8，解得a＝2，
此时双曲线E的方程为
故存在满足条件的双曲线E，则E的方程只能为
以下证明：
当直线l不与x轴垂直时，双曲线E：
＝1也满足条件．
设直线l的方程为y＝kx＋m，依题意，得k>
2或k<
－2，则C
.记A（x1，y1），B（x2，y2）．
得y1＝
，同理得y2＝
由S△OAB＝
|y1－y2|得，
＝8，即m2＝4|4－k2|＝4（k2－4）．
得，（4－k2）x2－2kmx－m2－16＝0.
因为4－k2<
0，所以Δ＝4k2m2＋4（4－k2）（m2＋16）＝－16（4k2－m2－16），
又因为m2＝4（k2－4），所以Δ＝0，即l与双曲线E有且只有一个公共点．
因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为
2019-2020年高考数学大一轮复习第八章平面解析几何课时作业62理新人教A版
1．已知椭圆C过点M
，点F（－
，0）是椭圆的左焦点，点P，Q是椭圆C上的两个动点，且|PF|，|MF|，|QF|成等差数列．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求证：
线段PQ的垂直平分线经过一个定点A.
（1）设椭圆C的方程为
0），由已知，得
解得
∴椭圆的标准方程为
（2）证明：
设P（x1，y1），Q（x2，y2），由椭圆的标准方程为
＝1，可知|PF|＝
＝2＋
x1，同理|QF|＝2＋
x2，
|MF|＝
∵2|MF|＝|PF|＋|QF|，
∴2
＝4＋
（x1＋x2），∴x1＋x2＝2.
（ⅰ）当x1≠x2时，由
得x
－x
＋2（y
－y
）＝0，
∴
设线段PQ的中点为N（1，n），由kPQ＝
得线段PQ的中垂线方程为y－n＝2n（x－1），
∴（2x－1）n－y＝0，该直线恒过一定点A
（ⅱ）当x1＝x2时，P
，Q
或P
线段PQ的中垂线是x轴，也过点A
综上，线段PQ的中垂线过定点A
0）的离心率为
，且过点（2，
（1）求椭圆的标准方程；
（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对
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