山东省青州市2016届中考数学第一轮复习18圆的切线性质与判定学案(新).doc

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圆的切线性质与判定

一、知识结构

考点一点、直线与圆的位置关系

1．点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种，分别是、和．

2．直线与圆的位置关系

相交

相切

相离

公共点的个数

公共点名称

直线名称

3.直线和圆的位置关系的性质与判定如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：

（1）直线l和⊙O相交⇔；

（2）直线l和⊙O相切⇔；（3）直线l和⊙O相离⇔.

考点二切线的判定和性质

1．切线的判定方法

（1）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；

（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的；（3）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

2．切线的性质定理：

圆的切线垂直于经过切点的；

考点三三角形的外接圆和内切圆

名称

三角形的外接圆

三角形的内切圆

圆心名称

描述

经过三角形三顶点的圆，外心是的交点

与三角形三边都相切的圆，内心是的交点

图形示例

性质

三角形外心到三角形三个顶点的距离相等

三角形内心到三角形三边的距离相等

【基础演练】

1．已知⊙O的半径为4cm，如果圆心O到直线l的距离为3.5cm，那么直线l和⊙O的位置关系是（　　）

A．相交B．相切C．相离D．不确定

2．如图，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，连接OA，OB.若∠ABC＝70°，则∠A等于（　　）

A．15°　　B．20°　C．30°D．70°

3．如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．试说明CE是⊙O的切线；

二、典型例题

1、如图，AB与⊙O相切于C，∠A＝∠B，⊙O的半径为6，AB＝16，求OA的长．

解：

在△OAB中，∵∠A＝∠B，∴OA＝OB.连接OC，则OC⊥AB，OC＝6，AC＝BC＝8，∴OA＝＝＝10.

方法总结：

已知圆的切线，若图中没有连接切点的半径，可连接切点与圆心构造直角三角形，在直角三角形中利用勾股定理或直角三角形的两锐角互余解答问题.

2、如图，已知⊙O的直径为AB，AC⊥AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED＝EA.

（1）求证：

ED是⊙O的切线；

（2）当OA＝3，AE＝4时，求BC的长度．

解：

（1）证明：

如图，连接OD，

∵OD＝OA，EA＝ED，∴∠3＝∠4，∠1＝∠2.

∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即∠ODE＝∠OAE.∵AB⊥AC，∴∠OAE＝90°，∴∠ODE＝90°，

∴DE是⊙O的切线．

（2）∵OA＝3，AE＝4，∴OE＝5.又∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.

∴∠1＋∠5＝90°，∠2＋∠6＝90°.又∵∠1＝∠2，∴∠5＝∠6，∴DE＝EC.

∴E是AC的中点． ∴OE∥BC且OE＝BC.∴BC＝10.

方法总结：

证明圆的切线分为三种情况：

有过切点的半径，证垂直；有切点，无半径，连半径，证垂直；无切点，作垂直，证相等.

三、题组训练

1、如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，

连接BD，∠C＝40°，则∠ABD的度数是（　　）

A．30°　　　B．25°C．20°　　　D．15°

2、如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过点C的直线与ED的延长线交于点P，PC＝PG.求证：

PC是⊙O的切线；

四、课后作业

1、Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若⊙C与直线AB相切，则r的值为（　　）A．2cmB．2.4cmC．3cmD．4cm

2、如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B＝25°，则∠C的大小等于（　　）A．20°　B．25°　C．40°　D．50°

3、如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB，AC于点E，D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G.若AF的长为2，则FG的长为（　　）

A．4B．3C．6D．2

4、如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF.

（1）判断AF与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若AC＝24，AF＝15，求⊙O的半径.

五、附基础演练、例题、练习题答案及课后作业详细解析与评分标准

一、知识结构

考点一点、直线与圆的位置关系

1．点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种，分别是点在圆外、点在圆上和点在圆内．

2．直线与圆的位置关系

相交

相切

相离

公共点的个数

2

1

0

公共点名称

交点

切点

无

直线名称

割线

切线

无

3.直线和圆的位置关系的性质与判定如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：

（1）直线l和⊙O相交⇔d

（2）直线l和⊙O相切⇔d＝r；（3）直线l和⊙O相离⇔d>r.

考点二切线的判定和性质

1．切线的判定方法

（1）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；

（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；

（3）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

2．切线的性质切线的性质定理：

圆的切线垂直于经过切点的半径；

考点三三角形的外接圆和内切圆

名称

三角形的外接圆

三角形的内切圆

圆心名称

三角形的外心

三角形的内心

描述

经过三角形三顶点的圆，外心是三角形三边中垂线的交点

与三角形三边都相切的圆，内心是三角形三条角平分线的交点

图形示例

性质

三角形外心到三角形三个顶点的距离相等

三角形内心到三角形三边的距离相等

【基础演练】

1．已知⊙O的半径为4cm，如果圆心O到直线l的距离为3.5cm，那么直线l和⊙O的位置关系是（　A　）

A．相交B．相切C．相离D．不确定

解析：

∵⊙O的半径r＝4cm，圆心O到直线l的距离d＝3.5cm，∴d＜r，∴直线l与⊙O的位置关系是相交．故选A.

2．如图，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，连接OA，OB.若∠ABC＝70°，则∠A等于（　B　）

A．15°　　B．20°　C．30°D．70°

解析：

∵BC与⊙O相切于点B，∠ABC＝70°，∴∠ABO＝20°.又∵OA＝OB，∴∠A＝∠ABO＝20°.故选B.

答案：

B

3．如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．试说明CE是⊙O的切线；

解析：

连接OC，要证CE是⊙O的切线，只需证到∠OCE=90°即可；

∵CA=CE，∠CAE=30°，∴∠E=∠CAE=30°，∠COE=2∠A=60°，

∴∠OCE=90°，∴CE是⊙O的切线；

二、典型例题

1、如图，AB与⊙O相切于C，∠A＝∠B，⊙O的半径为6，AB＝16，求OA的长．

解：

在△OAB中，∵∠A＝∠B，∴OA＝OB.连接OC，则OC⊥AB，OC＝6，AC＝BC＝8，∴OA＝＝＝10.

方法总结：

已知圆的切线，若图中没有连接切点的半径，可连接切点与圆心构造直角三角形，在直角三角形中利用勾股定理或直角三角形的两锐角互余解答问题.

2、如图，已知⊙O的直径为AB，AC⊥AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED＝EA.

（1）求证：

ED是⊙O的切线；

（2）当OA＝3，AE＝4时，求BC的长度．

解：

（1）证明：

如图，连接OD，

∵OD＝OA，EA＝ED，∴∠3＝∠4，∠1＝∠2.

∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即∠ODE＝∠OAE.

∵AB⊥AC，∴∠OAE＝90°，∴∠ODE＝90°，∴DE是⊙O的切线．

（2）∵OA＝3，AE＝4，∴OE＝5.

又∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.∴∠1＋∠5＝90°，∠2＋∠6＝90°.

又∵∠1＝∠2，∴∠5＝∠6，∴DE＝EC.∴E是AC的中点．

∴OE∥BC且OE＝BC.∴BC＝10.

方法总结：

证明圆的切线分为三种情况：

有过切点的半径，证垂直；有切点，无半径，连半径，证垂直；无切点，作垂直，证相等.

三、题组训练

1、如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C＝40°，则∠ABD的度数是（　B　）

A．30°　　　B．25°C．20°　　　D．15°

解析：

∵AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，∴∠OAC＝90°.∵∠C＝40°，

∴∠AOC＝50°，∴∠B＝25°.故选B.

答案：

B

2、如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过点C的直线与ED的延长线交于点P，PC＝PG.求证：

PC是⊙O的切线；

解：

证明：

如图，连接OC，

∵ED⊥AB，∴∠FBG＋∠FGB＝90°.

又∵PC＝PG，∴∠PCG＝∠PGC.而∠PGC＝∠FGB，∠OCB＝∠FBG，

∴∠PCG＋∠OCB＝90°，

即OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线；

四、课后作业

1、Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝=3cm，BC＝4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若⊙C与直线AB相切，则r的值为（　B　）

A．2cmB．2.4cmC．3cmD．4cm

解析：

作CD⊥AB于点D，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，由勾股定理，可得AB＝5（cm）．再由面积法，求得CD＝2.4（cm），即r的值为2.4cm.故选B.

答案：

B

2、如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B＝25°，则∠C的大小等于（　C　）

A．20°　B．25°　C．40°　D．50°

解析：

如图，连接OA，∵AC是⊙O的切线，∴OA⊥AC，即∠OAC＝90°.

∵OA＝OB，∠B＝25°，∴∠OAB＝∠B＝25°.

∴∠C＝180°－∠B－∠BAC＝180°－25°－25°－90°＝40°.故选C.

答案：

C

3、如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB，AC于点E，D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G.若AF的长为2，则FG的长为（　B　）

A．4B．3C．6D．2

解析：

如图，连接OD，∵DF是圆的切线，

∴DF⊥OD.又∵OC＝OD，∠C＝60°，∴△OCD是等边三角形，

∴∠ODC＝60°，∴∠ADF＝30°.又∵∠A＝60°，∴∠AFD＝90°，OD∥AB.

又∵点O是BC的中点，∴点D是AC的中点．在Rt△ADF中，AD＝2AF＝4，

∴AB＝AC＝8，故BF＝AB－AF＝6.在Rt△BFG中，∠BFG＝30°，

∴FG＝BF·cos∠BFG＝6×＝3.故选B.

4、如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF.

（1）判断AF与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若AC＝24，AF＝15，求⊙O的半径.

解：

（1）AF是⊙O的切线．

理由如下：

连接OC，

∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝90°