等腰三角形1优秀教学设计Word格式.docx
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知识与技能
1.理解并掌握等腰三角形的性质
2.运用等腰三角形的性质进行证明角相等、线段相等并会进行有关计算。
过程与方法
经历操作、发现、猜想、证明等腰三角形性质的过程,培养学生的发现问题、解决问题能力和推理能力。
进一步认识等腰三角形的性质,理解等腰三角形是轴对称图像。
情感、态度与价值观
在动手剪图、观察图形的过程中,激发学生的求知欲和好奇心,在活动中学会和他人合作,体会成功的体验,增强学习数学的信心。
四、教学重点、难点
重点:
难点:
等腰三角形三线合一的证明及理解、应用。
五、教学过程设计
(一)回顾
等腰三角形的概念,腰、底边、顶角、底角的概念
师生活动:
教师提问个别学生回答。
设计意图:
复习与等腰三角形相关的概念,为本节课的内容作铺垫。
二、探索等腰三角形的性质
问题1:
如图,把一张长方形的纸按图中虚线对折,并减去阴影部分,再把它展开,得到一个什么样的三角形?
并说出理由
D
教师演示PPT,学生明确怎么剪图后动手操作,剪出等腰三角形,观察剪出的三角形,然后小组交流。
让学生动手操作、观察,从动态角度了解等腰三角形的形成,剪图的过程保留了中间的折痕,为证明性质添加辅助线作铺垫。
问题2:
等腰三角形除了两腰相等的性质外,还具有哪些特殊的性质呢?
观察自己的等腰三角形纸片,说说你的发现。
学生独立思考后试着概括出自己的等腰三角形的特征,并全班交流。
学生比较容易猜想出性质1:
等腰三角形的两个底角相等。
对于性质2若学生没有思路或概括的不全面,教师提示,将剪出的等腰三角形沿折痕折叠,找出重合的线段和重合的角,填入下表:
重合的线段
重合的角
1.引导学生仔细分析表格中的重合线段和角:
AB=AC,定义阐述,不必重复;
AD=AD,公共边,也不必阐述;
∠B=∠C,;
刚已得出;
还剩BD=DC,说明AD是△ABC的什么线?
⑤∠BAD=∠CAD,说明AD是△ABC的什么线?
⑥∠ADB=∠ADC,等于多少度?
说明AD是△ABC的什么线?
⑦这三条线段有什么关系?
2.教师问:
等腰三角形是轴对称图形吗?
并引导学生回答等腰三角形的对称轴是什么?
学生会有不同回答:
顶角平分线所在直线、底边上高或中线所在直线,教师追问:
你们说的是同一条线吗?
从而猜想出性质2。
通过折叠等腰三角形纸片,探究、发现等腰三角形的性质,进一步培养了学生的抽象概括能力,语言表达能力。
通过让学生回答等腰三角形的对称轴,加深了性质2的理解。
问题3:
猜想出的性质,需要进过推理论证。
(1)你能说出证明一个命题的一般步骤吗?
(2)你能根据题设、结论画出图形,写出已知、求证吗?
(3)结合所画的图形,你认为证明两个角相等常用的思路是什么?
(4)如何构造两个全等的三角形,从剪图的过程你有什么启发?
学生回顾证明命题的一般步骤,根据命题画出图形,写出已知、求证,并在教师的问题串的引导下明确证明思路,即证明等腰三角形的两个底角相等,需要构造两个全等的三角形,由剪图可以得到思路,即作出顶角平分线或底边上的中线或底边上的高,找三名同学板书,分别写出三种方法,其他学生选择一种方法把证明过程写在练习本上。
学生交流,教师反馈。
已知:
如图,△ABC中,AB=AC,
求证:
∠B=∠C.
证明:
方法1:
作底边的中线AD
∴BD=DC
∵AB=AC
BD=DC
AD=AD
∴△ABC≌△ACD(SSS)
∴∠B=∠C
方法2:
作底边的高AD
∴RT△ABC≌RT△ACD(HL)
方法3:
作顶角平分线AD
∴∠BAD=∠CAD
∠BAD=∠CAD
△ABC≌△ACD(SAS)
让学生逐步实现实验几何到论证几何的过渡,能完成完整的命题证明过程,会进行文字语言、符号语言、图形语言的转换,能从剪图、折纸的过程中发现辅助线的添加方法,体会用不同的方法做辅助线解决问题,拓展学生的思路。
教师追问:
在应用一个命题时,需要把文字语言转化成符号语言,性质1的符号语言怎么写呢?
提问一个学生回答,其他学生补充。
在△ABC中,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C(等边对等角).
问题4:
在证明性质1时我们用了三种不同的做法,同学们观察每一种证明过程,除了能得到∠B=∠C,还能得到什么结论?
学生思考后,小组交流,个别学生问答,教师补充归纳。
在方法1中还能得到∠BAD=∠CAD,即AD是∠BAC的平分线;
∠BDA=∠CDC,因为∠BDA+∠CDC=180°
,所以∠BDA=∠CDC=90°
,所以AD⊥BC,即AD是BC边上的高。
也就是说等腰三角形底边上的中线也是顶角平分线、底边上的高;
在方法2中还能得到∠BAD=∠CAD,所以AD是∠BAC的平分线,BD=DC所以AD是BC边上的中线,即等腰三角形底边上的中线也是顶角平分线、底边上的中线。
在方法3中还能得到∠BDA=∠CDC,因为∠BDA+∠CDC=180°
,所以AD⊥BC,即AD是BC边上的高,BD=DC所以AD是BC边上的中线,即等腰三角形顶角平分线也是底边上的中线、底边上的高。
这也就证明了猜想2的性质。
教师强调从刚才的证明也可以看出性质2包含了三个命题。
教师板书性质2及使用格式:
(1)∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=DC,∠BAD=∠CAD.
(2)∵AB=AC,BD=DC,
∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD.
(3)∵AB=AC,∠BAD=∠CAD,
∴AD⊥BC,BD=DC。
强调等腰AB=AC是大前提,归纳性质2的三个作用:
证明角相等、线段相等及两直线互相垂直。
学生对性质2的理解及证明是本节课的一个难点,证在证明性质1的基础上证明性质2,是水到渠成的过程,学生更容易理解接受性质2,加深学生对性质2的理解,真正理解性质的实质。
问题5:
在等腰三角形性质的探索过程和证明过程中,“折痕”“辅助线”发挥了非常重要的作用,由此,你能发现等腰三角形具有什么特征?
学生回答——等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴。
让学生理解等腰三角形的轴对称性,并体会它在探究和证明等腰三角形性质的过程中的重要作用。
三、运用性质,解决问题
练习:
(1)等腰三角形一个底角为75°
它另外两个角为;
等腰三角形一个角为70°
它的另外两个角为
等腰三角形一个角为110°
它的另外两个角为。
(2)如图,△ABC是等腰直角三角形(AB=AC,∠BAC=90°
),AD是底边BC上的高,标出∠B、∠C、∠BAD、∠DAC的度数,图中有哪些相等线段?
教师用ppt依次演示问题
(1)
(2)(3)。
学生独立思考解决问题。
教师评判并引导学生归纳性质1的两个作用:
1求角的度数;
②将线段间的相等关系转化为角之间的相等关系。
练习
(1)是有梯度的角度计算题,需综合运用等腰三角形的性质1、三角形内角和定理等知识解决问题。
练习
(2)等腰三角形的性质1、性质2的综合应用。
例题1
如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD.
求:
△ABC各角的度数.
教师用ppt演示例题1。
学生独立思考后小组讨论。
教师参与讨论,认真听取学生分析,利用等腰三角形的性质1和三角形外角的性质,引导学生找出角之间的关系,为了分析解答的简捷明了,引导学生设∠A=x,则∠BDC=∠C=∠ABC=2x,根据三角形的内角和定理列方程,教师板书解答过程。
设计意图:
通过分析角之间的关系,利用方程的思想求等腰三角形的内角的度数,巩固了等腰三角的性质1,培养了学生的推理能力。
四、学以致用:
地震过后,河沿村中学的同学们为了检测教室的房梁是否水平,在教具等腰直角三角板的斜边中点拴一条线绳,线绳另一端挂一个铅锤,把这个三角板的斜边紧贴房梁,结果线绳经过直角定点,同学们确信房梁水平。
他们的判断对吗?
为什么?
师生活动:
学生思考后,小组讨论,并找学生代表回答,教师纠正、补充。
检测教室的房梁是否水平需要用等腰三角形的性质2,让学生体会数学知识在生活中的应用,学会学以致用。
五、小结
(1)本节课学习了哪些主要内容?
(2)本节课我们是怎么探究等腰三角形的性质的?
(3)你又学到了哪些证明角相等或线段相等的方法?
通过小结,使学生梳理本节课所学内容和研究方法,把握本节课的主要内容,体会轴对称在研究问题中的作用。
布置作业
教科书习题13.3第1,2,4,6题
板书设计
13.3.等腰三角形
(一)
一、定义:
有两边相等的三角形叫做等腰三角形
二、等腰三角形的性质1:
等腰三角形的两个底角相等(可以简写成等边对等角)
∴∠B=∠C(等边对等角)
性质2:
等腰三角形顶角平分线、底边上的中
线、底边上的高互相重合。
(简写成等边对等角)
三、例题1
解:
BD=BC=AD,
∴∠ABC=∠C=∠BDC,
∠A=∠ABD,
(等边对等角).
设∠A=x,则
∠BDC=∠A+∠ABD=2x,
∠ABC=∠C=∠BDC=2x.
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°
,
解得x=36°
.
在△ABC中,∠A=35°