高中数学 数列 全章教学设计高教版中职数学第七章Word文档格式.docx

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（一）问题的引入

假如你是经销商，一位供货商提出要与你签定一份交易合同，合同的期限为30天，他每天给你提供价值10万元的商品，而你第一天只需付给他1分钱的货款，第二天付给他2分钱的货款，第三天付给他4分钱的货款，依此类推，以后每天所付的货款都是前一天所付货款的2倍．你是否同意签这份合同呢？

你也许会觉得这是天大的好事，认为这份合同将会给你带来非常大的收益，迫不及待地就要签字．

通过本章的学习，你就会明白这是一个多么险恶的交易合同，一旦签了字，一个月之内你就会倾家荡产！

（二）数列的概念

1．数列的概念

我们先来看下面的一些例子：

全体正整数从小到大排成一列数

1，2，3，4，5，…．　　　　　　　　　

（1）

上一列数中的各个数的倒数也排成一列数

．　　　　　　

（2）

某校有8个微机室，从“微机室

（1）”到“微机室（8）”的微机室里所摆放的微机数排成一列数

50，50，50，50，50，50，50，50．　　（3）

在第23届至第28届的六届夏季奥运会上，我国体育健儿获得的金牌数排成一列数

15，5，16，16，28，32．　　　　　　（4）

像上面的例子中那样，按照一定次序排成的一列数叫做数列．数列中的每一个数都叫做这个数列的项，从开始的那项起，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，第3项，…，第项，…．第项中的“”叫做该项的序号．

2．数列的分类及通项

只有有限多项的数列叫做有穷数列，有无穷多项的数列叫做无穷数列．

想一想：

上面的4个数列中哪些是有穷数列，哪些是无穷数列？

回答：

（3）（4）是有穷数列，

（1）

（2）是无穷数列.

有穷数列的一般形式可以写成

，，，…，．（N*）

无穷数列的一般形式可以写成

，，，…，，…．（N*）

其中是数列的第项，也叫做数列的通项．有时也把第项是的数列简记为．

如果一个数列的第项能用其序号的表达式来表示，那么这个表达式叫做这个数列的通项公式．例如，上面数列

（2）的通项公式是

．

如果知道了数列的通项公式，就可以求出这个数列中的任何一项．例如上面数列

（2）的第100项为

例1　根据下面给出的数列的通项公式，分别求出数列的前5项：

；

　　　　．

解　，，，，；

（2）由于的奇数次幂等于，而的偶数次幂等于，再利用

（1）题结论可得

，，，，．

上面数列与有什么不同？

起什么作用？

数列与在单项位置上的数值相差一个负号，就起到这种符号交错的作用.

例2　在下面各题中，分别写出一个无穷数列的通项公式，使得无穷数列的前4项恰好是题中给出的4个数．

（1）3，6，9，12；

解　

（1）题中给出的4个数3，6，9，12作为数列的前4项，其中每个数正好是项的序号的3倍，因此，通项公式为

的无穷数列的前4项恰好就是3，6，9，12；

（2）题中给出的4个分数作为数列的前4项，其中每个分数的分母是项的序号的2倍，分子是项的序号的2倍减1，因此，通项公式为

的无穷数列的前4项恰好就是．

在例2中，如果不考虑通项公式，还有没有其他的数列其前4项也正好是题中给出的4个数？

练习题7．1．1

1．已知数列的通项公式为，试求这个数列的第4项．

2．写出一个数列的通项公式，使得这个数列的前5项为．

参考答案：

1．；

2．.

（三）　数列的前项和

1．数列的前项和

有的时候，我们需要求出一个数列中若干项的和，例如，如果想知道在第23届至第28届的六届夏季奥运会上，我国体育健儿一共获得了多少块金牌，那就需要求出

（一）中数列（4）的前6项的和．

一般地，对于数列，我们把…叫做数列的前项和，记作

，即

有时为了书写简便，常把简记为，即．我们把叫做和式，其中符号“Σ”叫做连加号，表示加数的一般项，如果数列有通项公式，一般项可以写成通项公式的形式，叫做求和指标，连加号的上下标表示求和指标的取值一般依自然数的顺序由1取到（也可以根据特殊情况限定范围）．

例3已知数列的通项公式为

试求这个数列的前4项的和．

解．

在求和时，当把一般项写成通项公式的形式时，其通项公式中的要用求和指标来代替．这是为什么？

2．运算性质

由于和式表示的是连续的加法运算，因此，由加法的运算性质可以得到和式的运算性质：

；

（为常数）；

（为常数）．

如果数列的前项和能用的一个表达式来表示，那么这个表达式叫做这个数列的前项和公式．如果知道了一个数列的前项和公式，就可以求出这个数列的前任意项的和．

例4已知数列的前项和公式为

试求该数列前100项的和．

解该数列前100项的和为．

例5已知数列的前项和公式为

求此数列的通项公式．

解由前项和的定义，显然可知，当时，有

当时，，故对任意的正整数都有

因此该数列的通项公式为．

注意：

利用数列的通项与前项和之间的关系来求通项是经常使用的方法，求出之后，必须验证是否适合所求的通项公式，如果不适合，则需要表明的情况，把通项公式写成分段函数的形式．

练习题7．1．2

1．已知数列的通项公式为，求此数列的前5项的和．

*2．已知数列的前项和公式为，求此数列的前10项的和，并求出该数列的通项公式．

1．.

*2．，，提示：

.

六、小结：

1．本节课知识内容

2．需要注意的问题

（1）数列与数集是两个不同的概念，数列中的数是有次序的，而数集中的数是无序的；

数列中的数可以重复出现，而数集中的数却是互异的．

（2）并不是所有的数列都有通项公式，比如由圆周率的不足近似值构成的数列

，，，，，…

就没有通项公式．

（3）当给定通项公式时，数列就被唯一确定了，但对于一个给定的数列，其通项公式可能不唯一，比如数列：

，，，，，，，，…，是它的一个通项公式，也是它的一个通项公式．

（4）已知数列的前项和公式求数列的通项公式，利用的是与的如下关系：

，．

当利用关系求得关于的一个表达式时，还不能说这个数列的通项公式就是，因为是否也满足这个表达式还不知道，所以还必须验证有．如果，那只能说当时，数列的通项公式是，而的值必须单独写出．

七.练习与作业：

练习：

习题7.1第1、2题.

1．略；

2．

（1）8，10，12，14；

（2）9，16，25，36；

（3）2，，4，；

，，，；

作业：

习题7.1第3、4、5、6题.

7.2等差数列

（一）

（1）理解等差数列以及等差中项的概念；

（2）掌握等差数列的通项公式、中项公式；

能够由等差数列的、、、中的三个已知量求出另外的两个量．

培养学生的基本运算能力、思维能力和简单实际应用能力．

教学重点是等差数列的概念及等差数列的通项公式、中项公式.

教学难点是等差数列的概念及等差数列的通项公式、中项公式等知识的简单实际应用．

比较法、讲授法与练习法相结合.

（一）　等差数列的定义

1．问题的引入

（1）某班参加义务植树劳动，分为5个小组，第1小组到第5小组植树的棵数恰好是下面的一个数列

28，26，24，22，20．

（2）全体正整数中5的倍数从小到大构成一个数列

5，10，15，20，…．

试分析，这两个数列有什么共同的特点？

仔细观察不难发现，第一个数列中的每一项都比它的前一项小2（第1项除外），第二个数列中的每一项都比它的前一项大5（第1项除外），也就是说，这两个数列的一个共同特点就是，除第1项外，每一项与它的前一项的差都等于相同的常数．

2．等差数列的定义

如果一个数列除第1项外，每一项减去它的前一项都等于同一个常数，那么，这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，用字母表示．

由等差数列的定义可知，若为等差数列，为公差，则有，即

N*，．（7．1）

例1已知等差数列的首项为，公差为，试写出这个数列的第2项到第5项．

解由于，，因此由公式（7．1）有

你能很快地写出这个数列的第101项吗？

练习题7．2．1

1．已知为等差数列，，公差，试写出这个数列的第8项．

2．写出等差数列11，8，5，2，…的第10项．

2．．

（二）　等差数列的通项公式，等差中项公式

引导学生分析，如果按照公式（7．1）来写出例1中的第101项，是非常麻烦的．有没有简便的方法很快地就能写出这一项呢？

2．等差数列的通项公式

设等差数列公差为，首项为，

，

……

依此类推，得到

．（7．2）

公式（7．2）就是等差数列的通项公式．

说明：

公式（7．2）给出求等差数列中任意一项的方法.例如，例1中的第101项为

例2求等差数列

，，，，…

的第50项．

解由已知得，，，，所以这个等差数列的通项公式为

即　　　　　　　．

于是，这个数列的第50项为

只要知道了等差数列的任意两个相邻的项，就可以用定义直接求出公差．

例3已知等差数列的第100项为48，公差为，该数列的第1项是多少？

解由于，，由等差数列的通项公式（7．2），有

所以　　　．

在等差数列的通项公式（7．2）中，共有四个量：

、、和，只要知道了其中的任意三个量，就一定可以求出另外的一个量．

例4已知等差数列的第5项是0，第10项是10，求它的第30项．

解由已知，，，再由通项公式（7．2）得

解得，，

因此．

在等差数列中，与有什么关系？

例4的计算是否还有更简便的方法？

与的关系是.如例4还可以先用求出公差，然后再由计算出.（还有其他方法，就不一一列举了）

例5小明的妈妈把6000元钱按“整存整取定期储蓄”的方式存入银行，存期5年，年利率为，利息税率为，到期后实际所得的本利和是多少？

解存款之后的5年中，第1年到第5年的利息组成数列（单位：

元）

，，…，，

这是一个等差数列，到期后所得利息正是这个数列的第5项，即

（元），

应纳税

到期后实际所得本利和为

6000＋837－167.4＝6669.6（元）．

本例中所计算的利息叫做单利（即每期的利息不加入本金在下期中计算利息）．

试一试：

设本金为，每期利率为，你能写出按单利计算时第n期到期后本利和的计算公式（即单利公式）吗？

单利公式为.

3．等差中项

有时候，我们需要在两个已知的数和之间插入一个数，使得，，成等差数列，应满足什么条件呢？

由等差数列的定义，如果，，成等差数列，那么，，从而得到．反之，如果，则有，从而