北京市丰台区高三年级第二学期统一练习二数学试题理科含详细答案Word格式文档下载.docx
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（A）6
（C）3
6．平面向量与的夹角是，且，，如果，，D是BC的中点，那么
（D）6
7．某生产厂家根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按5天计算）生产A，B，C三种产品共15吨（同一时间段内只能生产一种产品），已知生产这些产品每吨所需天数和每吨产值如下表：
产品名称
A
B
C
天
产值（单位：
万元）
4
2
则每周最高产值是
（A）30
（B）40
（C）47.5
（D）52.5
8．抛物线的焦点为，经过的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，与准线交于点，且于，如果，那么的面积是
（A）4
（D）8
第二部分（非选择题共110分）
一、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．已知正实数，满足，则的最小值是．
10．直线的斜率是，且过曲线（为参数）的对称中心，则直线的方程是．
11．已知函数，则的最小正周期是；
如果的导函数是，则．
12．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是．
13．如图所示，△内接于⊙，是⊙的切线，，，则_____，．
14.已知非空集合，满足以下四个条件：
①；
②；
③中的元素个数不是中的元素；
④中的元素个数不是中的元素．
（ⅰ）如果集合中只有1个元素，那么______；
（ⅱ）有序集合对（，）的个数是______．
二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15.（本小题共13分）
在△中，，，点在边上，且为锐角，，△的面积为4．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求边AC的长．
16.（本小题共13分）
长时间用手机上网严重影响着学生的健康，某校为了解A，B两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查，将他们平均每周手机上网时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．如果学生平均每周手机上网的时长超过21小时，则称为“过度用网”．
（Ⅰ）请根据样本数据，分别估计A，B两班的学生平均每周上网时长的平均值；
（Ⅱ）从A班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度用网”的概率；
（Ⅲ）从A班、B班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度用网”的学生人数为，写出的分布列和数学期望．
17.（本小题共14分）
如图所示，在四棱柱中，底面，于,且，点是棱上一点．
（Ⅰ）如果过，，的平面与底面交于直线，求证：
；
（Ⅱ）当是棱中点时，求证：
（Ⅲ）设二面角的平面角为，当时，求的长．
18.（本小题共13分）
已知数列满足，，其前项和为．
（Ⅰ）写出，；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）求的最大值．
19.（本小题共14分）
已知椭圆：
的焦距为，其两个焦点与短轴的一个顶点是正三角形的三个顶点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）动点P在椭圆上，直线：
与x轴交于点N，于点（，不重合），试问在x轴上是否存在定点，使得的平分线过中点，如果存在，求定点的坐标；
如果不存在，说明理由．
20.（本小题共13分）
已知函数（）.
（Ⅰ）求函数的最大值；
（Ⅱ）如果关于的方程有两解，写出的取值范围（只需写出结论）；
（Ⅲ）证明：
当且时，．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
丰台区2015年高三年级第二学期数学统一练习
（二）
数学（理科）参考答案
选择题：
本大题共8小题，每小题5分，共40分．
题号
1
3
5
6
7
8
答案
D
一、填空题：
本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．10．11．；
12．13．4；
14．；
32
注：
第11，13，14题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．
二、解答题：
解：
（Ⅰ）因为，
所以．
因为为锐角，
所以．……………………6分
（Ⅱ）在中，因为，
因为，
所以．
所以为直角三角形．
因为，所以，即．……………………13分
（Ⅰ）A班样本数据的平均值为，
由此估计A班学生每周平均上网时间19小时；
B班样本数据的平均值为，
由此估计B班学生每周平均上网时间22小时．……………………2分
（Ⅱ）因为从A班的6个样本数据中随机抽取1个的数据，为“过度用网”的概率是，
所以从A班的样本数据中有放回的抽取2个的数据，恰有1个数据为“过度用网”的概率为．……………………5分
（Ⅲ）的可能取值为0，1，2，3，4．
，，
，
，．
的分布列是：
P
．……………………13分
17.（本小题共14分）
证明：
（Ⅰ）因为是棱柱，所以是平行四边形．
因为平面，平面，
所以平面．
因为平面平面，
所以．所以．………………4分
（Ⅱ）因为于，如图建立空间直角坐标系．
因为，且，
所以，，，
．
因为是棱中点，所以．
设，所以，．
所以．……………………8分
（Ⅲ）设，，平面的法向量为，
又因为，，
因为，所以，令，则，所以．
设，所以，．
设平面的法向量为，
又因为，
所以，即．
解得或．
所以点或．
所以或．……………………14分
（Ⅰ）因为，
所以，
．……………………3分
（Ⅱ）当为奇数时，，
即．
所以的奇数项成首项为，公差为的等差数列．
所以当为奇数时，．
当为偶数时，，
所以……………………10分
（Ⅲ）因为偶数项，奇数项为递减数列，
所以取最大值时为偶数．
令（），即．
得．
所以的最大值为．
……………………13分
（Ⅰ）因为椭圆的焦距，
因为两个焦点与短轴的一个顶点构成正三角形，
所以，．
所以椭圆C的标准方程为．……………………4分
（Ⅱ）假设存在点，使得的平分线过中点．
设，，的中点为．
因为于点（，不重合），且的平分线过，
又因为为的中点，
即．
因为点在椭圆上，所以，
代入上式可得．
因为对于任意的动点P，的平分线都过，
所以此式对任意都成立．
所以，
解得．
所以存在定点，使得的平分线过中点，
此时定点的坐标为．……………………14分
（Ⅰ）函数的定义域为．
因为，所以当时，．
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减．
所以当时，．……………………6分
（Ⅱ）当时，方程有两解．……………………8分
（Ⅲ）由（Ⅰ）得，变形得，当等号成立．所以
，
……
所以得到当且时，．……………………10分
由（Ⅰ）得，变形得，当等号成立．所以
……
所以得到当且时，．
所以当且时，．……………………13分
（若用其他方法解题，请酌情给分）
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