函数题型方法总结(包括函数三要素、基本性质与图像问题).doc

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§函数题型方法总结

第一部分：

必考内容与要求

函数概念与基本初等函数Ⅰ（指数函数、对数函数、幂函数）

（1）函数

　　①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.

　　②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数.

　　③了解简单的分段函数，并能简单应用.

　　④理解函数单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.

　　⑤会运用函数图像理解和研究函数的性质.

（2）指数函数

　　①了解指数函数模型的实际背景.

　　②理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.

　　③理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点.

④知道指数函数是一类重要的函数模型.

（3）对数函数

　　①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.

　　②理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点.

　　③知道对数函数是一类重要的函数模型；

　　④了解指数函数与对数函数互为反函数（）.

（4）幂函数

　　①了解幂函数的概念.

　　②结合函数的图像，了解它们的变化情况.

（5）函数与方程

　　①结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.

　　②根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解.

（6）函数模型及其应用

　　①了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征.知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.

　　②了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.

第二部分：

题型方法总结

题型一：

函数求值问题

★

（1）分段函数求值→“分段归类”

例1．（2010湖北）已知函数，则（）

A.4 B. C.-4 D-

例2．若，则（）

A．B．1 C．2 D．

例3．（2009年山东）定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则

f（2009）的值为（）A.-1B.-2C.1D.2

★

（2）已知某区间上的解析式求值问题→“利用周期性、奇偶性、对称性向已知区间上进行转化”

例4．（2009年江西）已知函数是上的偶函数，若对于，都有

且当时，，的值为（）

A．　　　B．　　　C．　　　　D．

例5．（2009辽宁卷文）已知函数满足：

x≥4,则＝；当x＜4时

＝，则＝（）

（A）（B）（C）（D）

例6．（2010山东理）（5）设为定义在上的奇函数，当时，

（为常数），则（）

（A）-3（B）-1（C）1（D）3

★（3）抽象函数求值问题→“反复赋值法”

例7．（2009四川卷文）已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是（）

A.0B.C.1D.

例8．（2010重庆理）若函数满足：

，

则=_____________.

题型二：

函数定义域与解析式

（1）函数的定义域是研究函数及应用函数解决问题的基础，即处理函数问题必须树立“定义域优先”这种数学意识.熟练准确地写出函数表达式是对函数概念理解充分体现.

（2）求定义域问题本质转化为结不等式，故需掌握常见不等式解法。

（3）掌握求函数解析式的三种常用方法：

待定系数法、配凑法、换元法，能将一些简单实际问题中的函数的解析式表示出来；掌握定义域的常见求法及其在实际中的应用．

例1．（2009江西卷理）函数的定义域为（）

A．　　　B．　　　C．　　　　D．

例2．（2010湖北文）函数的定义域为（）

A.（,1） B（,∞） C（1，+∞） D.（,1）∪（1，+∞）

例3．（2008安徽卷）函数的定义域为．

例4．求满足下列条件的的解析式：

（1）已知，求；

（2）已知，求；

（3）已知是一次函数，且满足，求；

（4）已知满足，求．

例5.（2009安徽卷理）已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是（（）（）

（A）（B）（C）（D）

题型四：

函数值域与最值

关于求函数值域与最值的方法也是多种多样的，常用的方法有：

1.利用基本函数求值域（观察法）2.配方法；3.反函数法；4.判别式法；5.换元法；6.函数有界性（中间变量法）7.单调性法；8.不等式法；9.数形结合法；10.导数法等。

例1.（2010重庆）（4）函数的值域是（）

（A）（B）

（C）（D）

例2.（2010山东）（3）函数的值域为（）

A.B.C.D.

例3.（2010天津）（10）设函数，则的值域是（）

（A）（B）（C）（D）

例4.（2010重庆）（12）已知，则函数的最小值为____________.

例5.（2008重庆）已知函数y=的最大值为M,最小值为m,则的值为（）

（A） （B） （C） （D）

例6.（2008江西）若函数的值域是，则函数的值域是（）

A．B．C．D．

题型五：

函数单调性

（一）考纲对照

理科大纲版

理科课标版

内容

函数的单调性、奇偶性

函数的单调性、最值、奇偶性

要求

了解函数的单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法．

理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.

　会运用函数图像理解和研究函数的性质.

（二）归纳总结

1、函数单调性的定义

一般地，设函数f（x）的定义域为I：

　　如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1＜x2

都有f（x1）＜f（x2）.那么就说f（x）在这个区间上是增函数。

　　如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时都有f（x1）＞f（x2）.那么就是f（x）在这个区间上是减函数。

2、定义的等价命题:

设

（1）◆如果（），则函数在是增函数

◆则函数在是增函数

◆对于任意的m，都有，则函数在为增函数。

（2）◆如果（），则函数在是减函数

◆在是减函数。

◆对于任意的m，都有，则函数在减函数。

3、定义引申的三种题型：

（1）判断函数的单调性

且，则是增函数

（2）比较自变量的大小

是增函数且则

（3）比较函数值的大小

是增函数且，则

4、有关单调性的几个结论：

（1）y＝f（x）与y＝kf（x）

当k>0时，单调性相同；当k<0时，单调性相反

（2）如果函数f（x）为增函数g（x）也为增函数，则有：

f（x）+g（x）也为增函数，-g（x）为减函数，为减函数。

（3）如果函数f（x）为增函数g（x）为减函数，则有：

f（x）-g（x）也为增函数

（4）若f（x）（其中f（x）>0）在某个区间上为增函数，则

（5）复合函数f[g（x）]的单调性由f（x）和g（x）的单调性共同决定.（同则增异则减）

▲【典型例题】

例1.（2009陕西卷理）定义在R上的偶函数满足：

对任意的，有.则当时,有

（A）（B）

（C）（D）

例2.下列函数中,满足“对任意,（0,）,当<时,都有>的是

A.=B.=

C.=D.

例3.（2010北京）给定函数①，②，③，④，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是

（A）①②（B）②③（C）③④（D）①④

例4.（2009高考（福建文））定义在R上的偶函数的部分图像如右图所示,则在上,下列函数中与的单调性不同的是

A.B.

C.D.

例5.（2009高考（辽宁理））已知偶函数在区间单调增加,则满足<的x取值范围是

（A）（,）（B）[,）（C）（,）（D）[,）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

例6.（2009高考（海南宁夏理））用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值设

f（x）=min{,x+2,10-x}（x0）,则f（x）的最大值为

A.4B.5C.6D.7

例7．（2009天津）设函数则不等式的解集是（）

A．B．

C．D．

例8．（2008全国）设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（）

A． B．C． D．

例9．定义域为R的函数满足条件:

①;

②;③.则不等式的解集是（）

A.B.

C.D.

例10．已知函数.满足对任意的都有

成立,则的取值范围是（）

A.B.C.D.

题型六：

函数奇偶性与周期性

【考点解读】

一、函数奇偶性的定义

（1）定义的解读与理解

【注】：

（1）定义域关于原点对称；

（2）判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：

，

（3）判断函数奇偶性的方法：

一求二看三化简四比较五得结论

（建议学生画出判断函数奇偶性的算法框图）

（2）、定义的引申：

函数的对称性

◆偶函数关于y（即x=0）轴对称，偶函数有关系式

◆奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式

引申1：

函数的线对称

◆函数关于对称

也可以写成或

引申2：

函数的点对称

◆函数关于点对称

或

2、奇偶函数的性质：

（1）偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称；

（2）奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反；

（3）为偶函数；

（4）若奇函数的定义域包含，则。

3、函数奇偶性的有关结论：

（1）设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：

奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇

（2）定义域关于原点对称的任意一个函数都可表示成一个偶函数和一个奇函数之和．

即=[F（x）+G（x）]其中F（x）=+,G（x）=－

二、函数的周期性

1、定义：

对于函数，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。

如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。

2、定义的变形和引申

（1）函数满足如下关系式，则

A、B、

C、或（等式右边加负号亦