高考数学立体几何部分典型例题Word格式.docx

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4×

5×

4＋π×

22＋π×

2×

2＝92＋14π.

答案　A

2．（本小题满分12分）命题人：

贺文宁

如图所示，平面ABCD⊥平面BCEF，且四边形ABCD为矩形，四边形BCEF为直角梯形，BF∥CE，BC⊥CE，DC＝CE＝4，BC＝BF＝2.（12分）

（1）求证：

AF∥平面CDE；

（2）求平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的余弦值；

（3）求直线EF与平面ADE所成角的余弦值．

线面平行的位置关系，线面角、二面角的求法

（1）直接建系，不去证明三条线两两垂直

（2）数据解错（3）线面角求成正弦值

（1）证明　法一　取CE的中点为G，连接DG，FG.

∵BF∥CG且BF＝CG，

∴四边形BFGC为平行四边形，则BC∥FG，且BC＝FG.

∵四边形ABCD为矩形，……………………………………..1分

∴BC∥AD且BC＝AD，∴FG∥AD且FG＝AD，

∴四边形AFGD为平行四边形，则AF∥DG.

∵DG⊂平面CDE，AF⊄平面CDE，

∴AF∥平面CDE.……………………………………..3分

（2）解　∵四边形ABCD为矩形，∴BC⊥CD，

又∵平面ABCD⊥平面BCEF，且平面ABCD∩平面BCEF＝BC，

BC⊥CE，∴DC⊥平面BCEF.…………………………………….4分

以C为原点，CB所在直线为x轴，CE所在直线为y轴，CD所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，…………………………………….5分

根据题意我们可得以下点的坐标：

A（2,0,4），B（2,0,0），C（0,0,0），D（0,0,4），E（0,4,0），F（2,2,0），则＝（－2,0,0），

B（1,1,0），N（1,1,1），E（，1,0），…………………………………….1分

所以＝（－，0，－1），

＝（－1,0,1）．…………………………………….2分

设直线NE与AM所成角为θ，

则cosθ＝|cos〈N，A〉|…………………………………….3分

＝＝

＝.…………………………………….5分

所以异面直线NE与AM所成角的余弦值为.

（2）如图，假设在线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AMN，连接AE.

因为＝（0,1,1），可设＝λ＝（0，λ，λ），

又＝（，－1,0），

所以＝＋＝（，λ－1，λ）．…………………………………….7分

由ES⊥平面AMN，得即

故λ＝，此时＝（0，，），||＝.…………………………………….10分

经检验，当AS＝时，ES⊥平面AMN.

在线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AMN，此时AS＝.………………12分

（三）

1．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（　　）．

A.B.C．6D.7

考察空间几何体的三视图，三视图为载体考察体积

解析　

如图，由三视图可知，该几何体是由棱长为2的正方体右后和左下分别截去一个小三棱锥得到的，其体积为

V＝2×

2－2×

×

1×

1＝.

2.（本小题满分12分）命题人：

如图，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB＝2，AD＝AF＝1，∠BAF＝60°

，O，P分别为AB，CB的中点，M为底面△OBF的重心．

平面ADF⊥平面CBF；

（2）求证：

PM∥平面AFC；

（3）求多面体CD－AFEB的体积V.

面面垂直，线面平行的判定，空间几何体的体积

（1）判定时条件罗列不到位失分

（2）求体积时不会分割

（1）证明　∵矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，且CB⊥AB，

∴CB⊥平面ABEF，…………………………………….1分

又AF⊂平面ABEF，所以CB⊥AF，

又AB＝2，AF＝1，∠BAF＝60°

，由余弦定理知BF＝，

∴AF2＋BF2＝AB2，得AF⊥BF，…………………………………….2分

BF∩CB＝B，

∴AF⊥平面CFB，

又∵AF⊂平面ADF；

∴平面ADF⊥平面CBF.…………………………………….4分

（2）证明　连接OM延长交BF于H，则H为BF的中点，又P为CB的中点，

∴PH∥CF，又∵CF⊂平面AFC，PH⊄平面AFC，

∴PH∥平面AFC，…………………………………….6分

连接PO，则PO∥AC，

又∵AC⊂平面AFC，PO⊄平面AFC，

PO∥平面AFC，PO∩PH＝P，

∴平面POH∥平面AFC，…………………………………….7分

又∵PM⊂平面POH，

∴PM∥平面AFC.…………………………………….8分

（3）解　多面体CD－AFEB的体积可分成三棱锥C－BEF与四棱锥F－ABCD的体积之和

在等腰梯形ABEF中，计算得EF＝1，两底间的距离EE1＝.

所以VC－BEF＝S△BEF×

CB＝×

1＝，

VF－ABCD＝S矩形ABCD×

EE1＝×

＝，…………………10分

所以V＝VC－BEF＋VF－ABCD＝.…………………………………….12分

（四）

1.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．

解析　由题意可得，几何体相当于一个棱长为2的正方体切去一个角，角的相邻三条棱长分别是1,2,2，所以几何体的体积为8－＝.

答案　

在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝10，BD＝8，E是线段AD的中点．如图所示，沿直线BD将△BCD翻折成△BC′D，使得平面BC′D⊥平面ABD.

C′D⊥平面ABD；

（2）求直线BD与平面BEC′所成角的正弦值．

空间几何体的“翻折”问题，考察学生空间想象能力和知识迁移能力

把平面图形转化为空间几何体，数据错误，垂直平行关系错误

（1）证明　平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝10，BD＝8，沿直线BD将△BCD翻折成△BC′D，

可知C′D＝CD＝6，BC′＝BC＝10，BD＝8，…………………………2分

即BC′2＝C′D2＋BD2∴C′D⊥BD.

又∵平面BC′D⊥平面ABD，平面BC′D∩平面ABD＝BD，

C′D⊂平面BC′D，∴C′D⊥平面ABD.…………………………4分

（2）解　由

（1）知C′D⊥平面ABD，且CD⊥BD，

如图，以D为原点，建立空间直角坐标系D－xyz.

则D（0,0,0），A（8,6,0），B（8,0,0），C′（0,0,6）．……………………6分

∵E是线段AD的中点，

∴E（4,3,0），＝（－8,0,0）．…………………………7分

在平面BEC′中，＝（－4,3,0），＝（－8,0,6），

设平面BEC′法向量为n＝（x，y，z），

∴即

令x＝3，得y＝4，z＝4，故n＝（3,4,4）．………………………10分

设直线BD与平面BEC′所成角为θ，则

sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝.

∴直线BD与平面BEC′所成角的正弦值为.………………12分