7.某校举行“汉字听写比赛”,5个班级代表队的正确答题数如图.这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众数分别是()
A.10,15B.13,15C.13,20D.15,15
【答案】D
【解析】将这五个答题数排序为:
10,13,15,15,20,由此可得中位数是15,众数是15,故选D.
8.如图,是的直径,是上位于异侧的两点.下列四个角中,一定与互余的角是()
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】∵AB是直径,∴∠ADB=90°,∴∠BAD+∠B=90°,∵∠ACD=∠B,∴∠BAD+∠ACD=90°,故选D.
9.若直线经过点和,且,则的值可以是()
A.3B.4C.5D.6
【答案】C
10.如图,网格纸上正方形小格的边长为1.图中线段和点绕着同一个点做相同的旋转,分别得到线段和点,则点所在的单位正方形区域是()
A.1区B.2区C.3区D.4区
【答案】D
【解析】如图,根据题意可得旋转中心O,旋转角是90°,旋转方向为逆时针,因此可知点P的对应点落在了4区,故选D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题:
本题共6小题,每小题4分,共24分.
11.计算.
【答案】1
【解析】原式=2-1=1.
12.如图,中,分别是的中点,连线,若,则线段的长等于.
【答案】6
【解析】∵E、F分别是AB、AC的中点,∴BC=2EF=6.
13.一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球,2个黄球,1个红球.现添加同种型号的1个球,使得从中随机抽取1个球,这三种颜色的球被抽到的概率都是,那么添加的球是.
【答案】红球(或红色的)
14.已知是数轴上的三个点,且在的右侧.点表示的数分别是1,3,如图所示.若,则点表示的数是.
【答案】7
【解析】∵AB=2,BC=2AB,∴BC=4,3+4=7,故点C表示的数是7.
15.两个完全相同的正五边形都有一边在直线上,且有一个公共顶点,其摆放方式如图所示,则等于度.
【答案】108
【解析】∵五边形是正五边形,∴每一个内角都是108°,∴∠OCD=∠ODC=180°-108°=72°,∴∠COD=36°,∴∠AOB=360°-108°-108°-36°=108°.
16.已知矩形的四个顶点均在反比例函数的图象上,且点A的横坐标是2,则矩形的面积为.
【答案】7.5
三、解答题:
本题共9小题,共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.先化简,再求值:
,其中.
【答案】,.
【解析】
试题分析:
先通分计算括号内的,然后再利用分式的乘除法进行计算,最后代入求值即可.
试题解析:
原式=,
当a=-1时,原式==.
18.如图,点在一条直线上,.求证:
.
【答案】证明见解析.
【解析】
19.如图,中,,垂足为.求作的平分线,分别交于,两点;并证明.(要求:
尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
【答案】作图见解析;证明见解析.
【解析】
试题分析:
按作图方法作出角平分线BQ,然后通过利用互为余角以及等角的余角相等得到∠APQ=∠AQP,从而证得AP=AQ.
试题解析:
作图如下,BQ就是所求作的∠ABC的平分线,P、Q就是所求作的点.
证明如下:
∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∴∠BPD+∠PBD=90°,∵∠BAC=90°,∴∠AQP+∠ABQ=90°,∵∠ABQ=∠PBD,∴∠BPD=∠AQP,∵∠BPD=∠APQ,∴∠APQ=∠AQP,∴AP=AQ.
20.我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题:
“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足.问鸡兔各几何.”其大意是:
“有若干只鸡和兔关在同一笼子里,它们一共有35个头,94条腿.问笼中的鸡和兔各有多少只?
”试用列方程(组)解应用题的方法求出问题的解.
【答案】鸡有23只,兔有12只.
【解析】
21.如图,四边形内接于,是的直径,点在的延长线上,.
(Ⅰ)若,求弧的长;
(Ⅱ)若弧弧,,求证:
是的切线.
【答案】(Ⅰ)的长=π;(Ⅱ)证明见解析.
【解析】
试题分析:
(Ⅰ)连接OC,OD,由圆周角定理可得∠COD=90°,然后利用弧长公式即可得;
(Ⅱ)由=,可得∠BOC=∠AOD,从而可得∠AOD=45°,再由三角形内角和从而可得∠ODA=67.5°,由AD=AP可得∠ADP=∠APD,由∠CAD=∠ADP+∠APD,∠CAD=45°可得∠ADP=22.5°,继而可得∠ODP=90°,从而得PD是⊙O的切线.
试题解析:
(Ⅰ)连接OC,OD,∵∠COD=2∠CAD,∠CAD=45°,∴∠COD=90°,∵AB=4,∴OC=AB=2,∴的长==π;
22.小明在某次作业中得到如下结果:
,
,
,
.
据此,小明猜想:
对于任意锐角,均有.
(Ⅰ)当时,验证是否成立;
(Ⅱ)小明的猜想是否成立?
若成立,若成立,请给予证明;若不成立,请举出一个反例.
【答案】(Ⅰ)成立,证明见解析;(Ⅱ)成立,证明见解析.
【解析】
试题分析:
(Ⅰ)成立,当时,将30°与60°的正弦值代入计算即可得证;
(Ⅱ)成立,如图,△ABC中,∠C=90°,设∠A=α,则∠B=90°-α,正确地表示这两个角的正弦并利用勾股定理即可得证.
试题解析:
(Ⅰ)当时,=sin230°+sin260°===1,所以成立;
(Ⅱ)小明的猜想成立.证明如下:
如图,△ABC中,∠C=90°,设∠A=α,则∠B=90°-α,
sin2α+sin2(90°-α)==1
23.自2016年国庆后,许多高校均投放了使用手机就可随用的共享单车.某运营商为提高其经营的A品牌共享单车的市场占有率,准备对收费作如下调整:
一天中,同一个人第一次使用的车费按0.5元收取,每增加一次,当次车费就比上次车费减少0.1元,第6次开始,当次用车免费.具体收费标准如下:
使用次数
0
1
2
3
4
5(含5次以上)
累计车费
0
0.5
0.9
1.5
同时,就此收费方案随机调查了某高校100名师生在一天中使用A品牌共享单车的意愿,得到如下数据:
使用次数
0
1
2
3
4
5
人数
5
15
10
30
25
15
(Ⅰ)写出的值;
(Ⅱ)已知该校有5000名师生,且A品牌共享单车投放该校一天的费用为5800元.试估计:
收费调整后,此运营商在该校投放A品牌共享单车能否获利?
说明理由.
【答案】(Ⅰ)a=1.2,b=1.4;(Ⅱ)不能获利,理由见解析;
【解析】
试题分析:
(Ⅰ)根据调整后的收费歀:
一天中,同一个人第一次使用的车费按0.5元收取,每增加一次,当次车费就比上次车费减少0.1元,第6次开始,当次用车免费通过计算即可得a=1.2,b=1.4;
(Ⅱ)根据用车意愿调查结果,抽取的100名师生每人每天使用A品牌共享单车的平均车费
为:
×(0×5+0.5×15+0.9×10+1.2×30+1.4×25+1.1×15)=1.1(元),
所以估计该校5000名师生一天使用A品牌共享单车的总车费为:
5000×1.1=5500(元),
因为5500<5800,故收费调整后,此运营商在该校投放A品牌共享单车不能获利.学科.网
24.如图,矩形中,,分别是线段AC、BC上的点,且四边形为矩形.
(Ⅰ)若是等腰三角形时,求的长;
(Ⅱ)若,求的长.
【答案】(Ⅰ)AP的长为4或5或;(Ⅱ)CF=
【解析】
试题分析:
(Ⅰ)分情况CP=CD、PD=PC、DP=DC讨论即可得;
(Ⅱ)连结PF、DE,记PF与DE的交点为O,连结OC,通过证明△ADP∽△CDF,从而得,由AP=,从而可得CF=.
试题解析:
(Ⅰ)在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,∠ADC=90°,∴DC=AB=6,AC==10;
要使△PCD是等腰三角形,有如下三种情况:
(1)当CP=CD时,CP=6,∴AP=AC-CP=4;
(2)当PD=PC时,∠PDC=∠PCD,∵∠PCD+∠PAD=∠PDC+∠PDA=90°,∴∠PAD=∠PDA,∴PD=PA,∴PA=PC,∴AP=,即AP=5;
(3)当DP=DC时,过D作DQ⊥AC于Q,则PQ=CQ,∵S△ADC=AD·DC=AC·DQ,∴DQ=,∴CQ=,∴PC=2CQ=,∴AP=AC-PC=.
综上所述,若△PCD是等腰三角形,AP的长为4或5或;
(Ⅱ)连结PF、DE,记PF与DE的交点为O,连结OC,
点睛:
本题主要考查矩形的性质、等腰三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质等,能正确地分情况进行讨论是判定△PCD要等腰三角形的关键.
25.已知直线与抛物线有一个公共点,且.
(Ⅱ)说明直线与抛物线有两个交点;
(Ⅲ)直线与抛物线的另一个交点记为.
(ⅰ)若,求线段长度的取值范围;
(ⅱ)求面积的最小值.
【答案】(Ⅰ)抛物线顶点Q的坐标为(-,-);(Ⅱ)理由见解析;
(Ⅲ)(i)5≤MN≤7.(ii)△QMN面积的最小值为.
【解析】
试题分析:
(Ⅰ)由抛物线过点M(1,0),可得b=-2a,将解析式y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a配方得y=a(x+)2-,从而可得抛物线顶点Q的坐标为(-,-).
(Ⅱ)由直线y=2x+m经过点M(1,0),可得m=-2.
由y=2x-2、y=ax2+ax-2a,可得ax2+(a-2)x-2a+2=0,(*),由根的判别式可得方程(*)有两个不相等的实数根,从而可得直线与抛物线有两个交点.
(ii)作直线x=-交直线y=2x-2于点E,得E(-,-3),
从而可得△QMN的面积S=S△QEN+S△QEM=,即27a2+(8S-54)a+24=0,(*)
因为关于a的方程(*)有实数根,从而可和S≥,继而得到面积的最小值.
试题解析:
(Ⅰ)因为抛物线过点M(1,0),所以a+a+b=0,即b=-2a,所以y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a(x+)2-,所以抛物线顶点Q的坐标为(-,-).
(Ⅱ)因为直线y=2x+m经过点M(1,0),所以0=2×1+m,解得m=-2.
把y=2x-2代入y