云南省大理州届高三上学期第一次统测考试数学理试题Word版含答案文档格式.docx
《云南省大理州届高三上学期第一次统测考试数学理试题Word版含答案文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《云南省大理州届高三上学期第一次统测考试数学理试题Word版含答案文档格式.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
9.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）
10.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，为球的直径，若该三棱锥的体积为，，则球的表面积为（）
11.已知双曲线与不过原点且不平行于坐标轴的直线相交于两点，线段的中点为，设直线的斜率为，直线的斜率为，则（）
A．B．C．2D．-2
12.定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集是（）
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.设满足约束条件，则的最大值为______________．
14.的二次展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则展开式中项的系数为___________．
15.在直角坐标系中，有一定点，若线段的垂直平分线过抛物线的焦点，则该抛物线的准线方程是____________．
16.若数列的首项，且；
令，则_____________．
三、解答题：
本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本题满分12分）
在中，角所对的边分别为，且．
（1）求的值；
（2）若，求的面积的值．
18.（本题满分12分）
某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：
喜欢游泳
不喜欢游泳
合计
男生
10
女生
20
已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为．
（1）请将上述列联表补充完整：
并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？
并说明你的理由；
（2）针对于问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢游泳的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立游泳科普知识宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，设这两人中男生人数为，求的分布列和数学期望.
下面的临界值表仅供参考：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（参考公式：
，其中）
19.（本题满分12分）
在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，且，分别为的中点.
（1）求证：
平面；
（2）在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，请求出点的位置；
若不存在，请说明理由.
20.（本题满分12分）
已知椭圆的短轴长为，离心率，
（1）求椭圆的标准方程：
（2）若分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，求的内切圆半径的最大值.
21.（本题满分12分）
设函数．
（1）求的最小值：
（2）记的最小值为，已知函数，若对于任意的，恒有成立，求实数的取值范围.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.
22.（本题满分10分）选修4-4：
坐标系与参数方程
已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），现以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程：
（2）在曲线上是否存在一点，使点到直线的距离最小？
若存在，求出距离的最小值及点的直角坐标；
23.（本小题满分10分）选修4-5：
不等式选讲
已知函数.
（1）解关于的不等式；
（2）设，试比较与的大小.
数学（理）试题参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
11
12
答案
D
B
C
A
二、填空题
13.514.115.16.5050
三、解答题：
17.解：
（1）由得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 1分
所以．．．．．．．．．．．．．．．．． 6分
（2）由正弦定理得．．．．．．．．．．．．．．．．9分
所以的面积．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
18.解：
（1）因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为，
所以喜欢游泳的学生人数为人．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
其中女生有20人，则男生有40人，列联表补充如下：
40
50
30
60
100
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
因为．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分
所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）喜欢游泳的共60人，按分层抽样抽取6人，则每个个体被抽到的概率均为，
从而需抽取男生4人，女生2人．
故的所有可能取值为0，1，2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 7分
，
的分布列为：
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 10分
．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
19.解：
（1）证明：
连接，由正方形性质可知，与相交于点，
所以，在中，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
又平面平面．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
所以平面．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（2）取的中点，连接，
因为，所以，
又因为侧面底面，交线为，所以平面，
以为原点，分别以射线和为轴，轴和轴建立空间直角坐标系，
，不妨设．．．．．．．．．．．．．．．． 6分
则有，假设在上存在点，
则．．．．．．．．．．．．．． 7分
因为侧面底面，交线为，且底面是正方形，
所以平面，则，
由得，
所以，即平面的一个法向量为．．．．．．．．．．．．．． 8分
设平面的法向理为，由即，亦即，可取．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 10分
解得（舍去）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分
所以线段上存在点，且为的中点，使得二面角的余弦值为．．．．．．．12分
20.解：
（1）由题意可得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
解得．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
故椭圆的标准方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4分
（2）设，设的内切圆的半径为，
因为的周长为，，
因此最大，就最大．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
由题意知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为，
所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
又因直线与椭圆交于不同的两点，
故，即，则
．．．．．．．．．．．．10分
令，则，
．
令，由函数的性质可知，函数在上是单调递增函数，
即当时，在上单调递增，
因此有，所以，
即当时，最大，此时，
故当直线的方程为时，内切圆半径的最大值为．．．．．．．．．．．12分
21.解：
（1）由已知得．．．．．．．．．．1分
令，得；
令，得，
所以的单调减区间为，单调增区间为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
从而．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（2）由
（1）中得．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分
所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
令，则．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
所以在上单调递增，
因为，且当时，，
所以存在，使，且在上单调递减，在上单调递增．．．．．．8分
因为，所以，即，因为对于任意的，恒有成立，
所以．．．．．．．．．．．．9分
所以，即，亦即，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 10分
又，所以，从而，
所以，故．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
22.解：
（1）由题意知曲线的参数方程可化简为，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
由直线的极坐标方程可得直角坐标方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
（2）若点是曲线上任意一点，则可设，
设其到直线的距离为，则．．．．．．．．．．．．．．7分
化简得，当，即时，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
此时点的坐标为……………………10分
23.解：
（1）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
从面得或或，解之得或或，
所以不等式的解集为．．．．．．．．．．．．．．．． 5分
（2）由
（1）易知，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
由于．．．．．．．．．．．8分
且，所以，即，
所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
升级会员 