九年级数学上册专题突破讲练四点共圆问题大盘点试题新版青岛版Word格式.docx
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(相交弦定理的逆定理)
例题(郑州模拟)如图,在正△ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,且AD=AC,AE=AB,BD,CE相交于点F。
(1)求证:
A、E、F、D四点共圆;
(2)若正△ABC的边长为2,求A、E、F、D所在圆的半径。
解析:
(1)依题意,可证得△BAD≌△CBE,从而得到∠ADB=∠BEC⇒∠ADF+∠AEF=180°
,即可证得A,E,F,D四点共圆;
(2)取AE的中点G,连接GD,可证得△AGD为正三角形,GA=GE=GD=,即点G是△AED外接圆的圆心,且圆G的半径为。
答案:
(1)证明:
∵AE=AB,
∴BE=AB,
∵在正△ABC中,AD=AC,
∴AD=BE,
又∵AB=BC,∠BAD=∠CBE,
∴△BAD≌△CBE,
∴∠ADB=∠BEC,
即∠ADF+∠AEF=180°
,所以A,E,F,D四点共圆。
(2)解:
如图,
取AE的中点G,连接GD,则AG=GE=AE,
∴AG=GE=AB=,
∵AD=AC=,∠DAE=60°
,AB=AC
∴△AGD为正三角形,
∴GD=AG=AD=,即GA=GE=GD=,
所以点G是△AED外接圆的圆心,且圆G的半径为,
由于A,E,F,D四点共圆,即A,E,F,D四点共圆G,其半径为。
点拨:
本题着重考查全等三角形的证明与四点共圆的证明,突出推理能力与分析运算能力的考查,属于难题。
【方法定位】
将已知条件、欲求的结论以及所给图形的特点三个方面认真分析、思考,即可发现,适当利用四点共圆的有关性质以及定理,就能巧妙地找到解决问题的途径。
也就是说,四点共圆有时在解(证)题中起着“搭桥铺路”的作用。
例题(河南模拟)如图:
AB是⊙O的直径,G是AB延长线上的一点,GCD是⊙O的割线,过点G作AG的垂线,交直线AC于点E,交直线AD于点F,过点G作⊙O的切线,切点为H。
C,D,E,F四点共圆;
(2)若GH=6,GE=4,求EF的长。
(1)连接DB,利用AB是⊙O的直径,可得∠ADB=90°
,在Rt△ABD和Rt△AFG中,∠ABD=∠AFE,又同弧所对的圆周角相等可得∠ACD=∠ABD,进而得到∠ACD=∠AFE即可证明四点共圆;
(2)由C,D,E,F四点共圆,利用共线定理可得GE·
GF=GC·
GD。
由GH是⊙O的切线,利用切割线定理可得GH2=GC·
GD,进而得到GH2=GE·
GF。
即可
证明:
(1)连接DB,∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°
,
在Rt△ABD和Rt△AFG中,∠ABD=∠AFE,
又∵∠ABD=∠ACD,∴∠ACD=∠AFE。
∴C,D,E,F四点共圆;
(2)∵C,D,E,F四点共圆,∴GE·
∵GH是⊙O的切线,∴GH2=GC·
GD,∴GH2=GE·
又因为GH=6,GE=4,所以GF=9。
∴EF=GF-GE=9-4=5。
熟练掌握圆的切线的性质、同弧所对的圆周角相等、四点共圆的判定方法、切割线定理等是解题的关键。
此题综合性较强,涉及知识点较全面。
(答题时间:
30分钟)
一、选择题
1.锐角△ABC的三条高AD、BE、CF交于H,在A、B、C、D、E、F、H七个点中。
能组成四点共圆的组数是( )
A.4组B.5组C.6组D.7组
2.如图,在四边形ABCD中,AC、BD为对角线,点M、E、N、F分别为AD、AB、BC、CD边的中点,下列说法:
①当AC=BD时,M、E、N、F四点共圆。
②当AC⊥BD时,M、E、N、F四点共圆。
③当AC=BD且AC⊥BD时,M、E、N、F四点共圆。
其中正确的是( )
A.①②B.①③C.②③D.①②③
3.如图,A,B,C,D是圆上四点,AD,BC的延长线交于点P,弧AB、弧CD分别为100°
、40°
,则∠P的度数为( )
A.40°
B.35°
C.60°
D.30°
4.(高青县模拟)如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB为⊙O的直径,CM切⊙O于点C,∠BCM=60°
,则∠B的正切值是( )
A.B.C.D.
5.已知Pi(i=1,2,3,4)是抛物线y=x2+bx+1上共圆的四点,它们的横坐标分别为xi(i=1,2,3,4),又xi(i=1,2,3,4)是方程(x2-4x+m)(x2-4x+n)=0的根,则二次函数y=x2+bx+1的最小值为( )
A.-1B.-2C.-3D.-4
二、填空题
6.如图,在△ABC中,AD,BE分别是∠A,∠B的角平分线,O是AD与BE的交点,若C,D,O,E四点共圆,DE=3,则△ODE的内切圆半径为。
7.(济宁)如图,四边形ABCD中,AB=AC=AD,若∠CAD=76°
,则∠CBD= 度。
8.已知△ABC的中线AD、BE交于K,AB=,且K,D,C,E四点共圆,则CK=。
**9.如图,CD为△ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E,F分别为弦AB与弦AC上的点,且BC·
AE=DC·
AF,B,E,F,C四点共圆。
若DB=BE=EA,则过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为。
三、解答题
10.(太原模拟)如图,已知AB为半圆O的直径,BE、CD分别为半圆的切线,切点分别为B、C,DC的延长线交BE于F,AC的延长线交BE于E。
AD⊥DC,D为垂足。
A、D、F、B四点共圆;
(2)求证:
EF=FB。
*11.(贵阳模拟)如图,AP是圆O的切线,A是切点,AD⊥OP于D点,过点P作圆O的割线与圆O相交于B,C两点。
O、D、B、C四点共圆。
(2)设∠OPC=30°
,∠ODC=40°
,求∠DBC的大小。
*12.(长春模拟)如图,在△ABC中,∠C为钝角,点E,H分别是边AB上的点,点K和M分别是边AC和BC上的点,且AH=AC,EB=BC,AE=AK,BH=BM。
E、H、M、K四点共圆;
(2)若KE=EH,CE=3,求线段KM的长。
一、选择题
1.C
如图,以AH为斜边的两个直角三角形,四个顶点共圆(A、F、H、E),
以BH为斜边的两个直角三角形,四个顶点共圆(B、F、H、D),
以CH为斜边的两个直角三角形,四个顶点共圆(C、D、H、E),
以AB为斜边的两个直角三角形,四个顶点共圆(A、E、D、B),
以BC为斜边的两个直角三角形,四个顶点共圆(B、F、E、C),
以AC为斜边的两个直角三角形,四个顶点共圆(A、F、D、C),
共6组。
故选C。
2.C
连接EM、MF、FN、NE,连接EF、MN,交于点O,如图所示,
∵点M、E、N、F分别为AD、AB、BC、CD边的中点,
∴EM∥BD∥NF,EN∥AC∥MF,EM=NF=BD,EN=MF=AC,
∴四边形ENFM是平行四边形,
①当AC=BD时,
则有EM=EN,
所以平行四边形ENFM是菱形,
而菱形的四个顶点不一定共圆,
故①不一定正确;
②当AC⊥BD时,
由EM∥BD,EN∥AC可得:
EM⊥EN,即∠MEN=90°
所以平行四边形ENFM是矩形,
则有OE=ON=OF=OM。
所以M、E、N、F四点共圆,
故②正确;
③当AC=BD且AC⊥BD时,
同理可得:
四边形ENFM是正方形。
故③正确。
3.D
解:
连接BD,
∵=100°
∴∠ADB=100°
×
=50°
又∵=40°
∴∠B=20°
在△DBP中,∠P=∠ADB-∠B=50°
-20°
=30°
。
故选D。
4.B
AB是直径,则∠ADB=90°
∴∠CDB=∠BCM=60°
∴∠CDA=∠CDB+∠ADB=150°
∵∠CBA=180°
-∠CDA=30°
∴tan∠ABC=tan30°
=,
故选B。
5.C
抛物线与圆的四个交点,上下两组点的连线的中点位于抛物线的对称轴上。
所以由(x2-4x+m)(x2-4x+n)=0可知,该抛物线的对称轴为x=2。
则b=-4。
所以最小值为。
6.解:
作OF⊥ED于点F,
∵AD,BE分别是∠A,∠B的角平分线,
∴∠AOB=90°
+∠C,CO平分∠ACB,
又∵∠DOE=∠AOB,∠DOE+∠C=180°
∴∠C=60°
,∠DOE=∠AOB=120°
∴90°
+∠C+∠C=180°
在AB上截取AM=AE,可得△AOE△AOM
∴OE=OM,
∵∠DOE=120°
∴∠EOA=∠AOM=∠DOB=∠BOM=60°
∴△BOM△BOD
∴OD=OM,
∴OD=OE,
∴∠OED=∠ODE=30°
∴FD=,
tan30°
∴FO=,OD=OE=,
∴△ODE的周长为:
2+3,
∴△ODE的面积为:
3×
∴△ODE的内切圆半径为,
故答案为:
7.解:
∵AB=AC=AD,
∴点B,C,D可以看成是以点A为圆心,AB为半径的圆上的三个点,
∴∠CBD是弧CD所对的圆周角,∠CAD是弧CD所对的圆心角;
∵∠CAD=76°
∴∠CBD=∠CAD=×
76°
=38°
8.解:
作△ABC的外接圆,延长CK交圆于点H,交AB于F,则∵K,D,C,E四点共圆,DE∥BA
∴∠BHC=∠BAC=∠DEC=∠DKC,
∴AK∥HB,
∵D为BC的中点
∴点K是CH的中点,即CK=KH,
又K是重心,
∴FK=HF=CF,
由相交弦定理,得BF×
FA=CF×
FH,
∴·
=CF2,
∴CF=,
∴CK==1,
故答案为1。
9.解:
如图所示,
连接EF。
∵DC是△ABC的外接圆的切线,∴∠DCB=∠EAF,
∵BC·
AF,∴,
∴△BCD≌△FAE,
∴∠CBD=∠AFE,
∵B、E、F、C四点共圆,
∴∠AFE=∠CBE,
∴∠CBD=∠CBE,
又∵∠CBD+∠CBE=180°
,∴∠CBE=90°
∴AC是△ABC的外接圆的直径,CE是E,F,C四点所在圆的直径。
不妨设DB=1,则BE=EA=DB=1,
由切割线定理可得:
DC2=DB•DA=1×
3,,
在△DCE中,由DB=BE,CB