1、(相交弦定理的逆定理)例题 (郑州模拟)如图,在正ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,且AD=AC,AE=AB,BD,CE相交于点F。(1)求证:A、E、F、D四点共圆;(2)若正ABC的边长为2,求A、E、F、D所在圆的半径。解析:(1)依题意,可证得BADCBE,从而得到ADB=BECADF+AEF=180,即可证得A,E,F,D四点共圆;(2)取AE的中点G,连接GD,可证得AGD为正三角形,GA=GE=GD=,即点G是AED外接圆的圆心,且圆G的半径为。答案:(1)证明:AE=AB,BE=AB,在正ABC中,AD=AC,AD=BE,又AB=BC,BAD=CBE,BADCBE,ADB
2、=BEC,即ADF+AEF=180,所以A,E,F,D四点共圆。(2)解:如图,取AE的中点G,连接GD,则AG=GE=AE,AG=GE=AB=,AD=AC=,DAE=60,AB=ACAGD为正三角形,GD=AG=AD=,即GA=GE=GD=,所以点G是AED外接圆的圆心,且圆G的半径为,由于A,E,F,D四点共圆,即A,E,F,D四点共圆G,其半径为。点拨:本题着重考查全等三角形的证明与四点共圆的证明,突出推理能力与分析运算能力的考查,属于难题。【方法定位】将已知条件、欲求的结论以及所给图形的特点三个方面认真分析、思考,即可发现,适当利用四点共圆的有关性质以及定理,就能巧妙地找到解决问题的途
3、径。也就是说,四点共圆有时在解(证)题中起着“搭桥铺路”的作用。例题 (河南模拟)如图:AB是O的直径,G是AB延长线上的一点,GCD是O的割线,过点G作AG的垂线,交直线AC于点E,交直线AD于点F,过点G作O的切线,切点为H。C,D,E,F四点共圆;(2)若GH=6,GE=4,求EF的长。(1)连接DB,利用AB是O的直径,可得ADB=90,在RtABD和RtAFG中,ABD=AFE,又同弧所对的圆周角相等可得ACD=ABD,进而得到ACD=AFE即可证明四点共圆;(2)由C,D,E,F四点共圆,利用共线定理可得GEGF=GCGD。由GH是O的切线,利用切割线定理可得GH2=GCGD,进而
4、得到GH2=GEGF。即可证明:(1)连接DB,AB是O的直径,ADB=90,在RtABD和RtAFG中,ABD=AFE,又ABD=ACD,ACD=AFE。C,D,E,F四点共圆;(2)C,D,E,F四点共圆,GEGH是O的切线,GH2=GCGD,GH2=GE又因为GH=6,GE=4,所以GF=9。EF=GFGE=94=5。熟练掌握圆的切线的性质、同弧所对的圆周角相等、四点共圆的判定方法、切割线定理等是解题的关键。此题综合性较强,涉及知识点较全面。(答题时间:30分钟)一、选择题 1. 锐角ABC的三条高AD、BE、CF交于H,在A、B、C、D、E、F、H七个点中。能组成四点共圆的组数是()
5、A. 4组 B. 5组 C. 6组 D. 7组2. 如图,在四边形ABCD中,AC、BD为对角线,点M、E、N、F分别为AD、AB、BC、CD边的中点,下列说法:当AC=BD时,M、E、N、F四点共圆。当ACBD时,M、E、N、F四点共圆。当AC=BD且ACBD时,M、E、N、F四点共圆。其中正确的是()A. B. C. D. 3. 如图,A,B,C,D是圆上四点,AD,BC的延长线交于点P,弧AB、弧CD分别为100、40,则P的度数为()A. 40 B. 35 C. 60 D. 304. (高青县模拟)如图,四边形ABCD内接于O,AB为O的直径,CM切O于点C,BCM=60,则B的正切值
6、是() A. B. C. D. 5. 已知Pi(i=1,2,3,4)是抛物线y=x2+bx+1上共圆的四点,它们的横坐标分别为xi(i=1,2,3,4),又xi(i=1,2,3,4)是方程(x24x+m)(x24x+n)=0的根,则二次函数y=x2+bx+1的最小值为()A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二、填空题6. 如图,在ABC中,AD,BE分别是A,B的角平分线,O是AD与BE的交点,若C,D,O,E四点共圆,DE=3,则ODE的内切圆半径为 。7. (济宁)如图,四边形ABCD中,AB=AC=AD,若CAD=76,则CBD=度。8. 已知ABC的中线AD、BE交于K,AB=,且K
7、,D,C,E四点共圆,则CK= 。*9. 如图,CD为ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E,F分别为弦AB与弦AC上的点,且BCAE=DCAF,B,E,F,C四点共圆。若DB=BE=EA,则过B,E,F,C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值为 。三、解答题10. (太原模拟)如图,已知AB为半圆O的直径,BE、CD分别为半圆的切线,切点分别为B、C,DC的延长线交BE于F,AC的延长线交BE于E。ADDC,D为垂足。A、D、F、B四点共圆;(2)求证:EF=FB。*11. (贵阳模拟)如图,AP是圆O的切线,A是切点,ADOP于D点,过点P作圆O的割线与圆O相交于B,C两点
8、。O、D、B、C四点共圆。(2)设OPC=30,ODC=40,求DBC的大小。*12. (长春模拟)如图,在ABC中,C为钝角,点E,H分别是边AB上的点,点K和M分别是边AC和BC上的点,且AH=AC,EB=BC,AE=AK,BH=BM。E、H、M、K四点共圆;(2)若KE=EH,CE=3,求线段KM的长。一、选择题1. C 如图,以AH为斜边的两个直角三角形,四个顶点共圆(A、F、H、E),以BH为斜边的两个直角三角形,四个顶点共圆(B、F、H、D),以CH为斜边的两个直角三角形,四个顶点共圆(C、D、H、E),以AB为斜边的两个直角三角形,四个顶点共圆(A、E、D、B),以BC为斜边的两
9、个直角三角形,四个顶点共圆(B、F、E、C),以AC为斜边的两个直角三角形,四个顶点共圆(A、F、D、C),共6组。故选C。2. C 连接EM、MF、FN、NE,连接EF、MN,交于点O,如图所示,点M、E、N、F分别为AD、AB、BC、CD边的中点,EMBDNF,ENACMF,EM=NF=BD,EN=MF=AC,四边形ENFM是平行四边形,当AC=BD时,则有EM=EN,所以平行四边形ENFM是菱形,而菱形的四个顶点不一定共圆,故不一定正确;当ACBD时,由EMBD,ENAC可得:EMEN,即MEN=90所以平行四边形ENFM是矩形,则有OE=ON=OF=OM。所以M、E、N、F四点共圆,故
10、正确;当AC=BD且ACBD时,同理可得:四边形ENFM是正方形。故正确。3. D解:连接BD,=100ADB=100=50又=40B=20在DBP中,P=ADBB=5020=30。故选D。4. BAB是直径,则ADB=90CDB=BCM=60CDA=CDB+ADB=150CBA=180CDA=30tanABC=tan30=,故选B。5. C抛物线与圆的四个交点,上下两组点的连线的中点位于抛物线的对称轴上。所以由(x24x+m)(x24x+n)=0可知,该抛物线的对称轴为x=2。则b=4。所以最小值为。6. 解:作OFED于点F,AD,BE分别是A,B的角平分线,AOB=90+C,CO平分AC
11、B,又DOE=AOB,DOE+C=180C=60,DOE=AOB=12090+CC=180在AB上截取AM=AE,可得AOEAOMOE=OM,DOE=120EOA=AOM=DOB=BOM =60BOMBODOD=OM,OD=OE,OED=ODE=30FD=,tan30FO=,OD=OE=,ODE的周长为:2+3,ODE的面积为:3ODE的内切圆半径为,故答案为:7. 解:AB=AC=AD,点B,C,D可以看成是以点A为圆心,AB为半径的圆上的三个点,CBD是弧CD所对的圆周角,CAD是弧CD所对的圆心角;CAD=76CBD=CAD=76=388. 解:作ABC的外接圆,延长CK交圆于点H,交A
12、B于F,则K,D,C,E四点共圆,DEBABHC=BAC=DEC=DKC,AKHB,D为BC的中点点K是CH的中点,即CK=KH,又K是重心,FK=HF=CF,由相交弦定理,得BFFA=CFFH,=CF2,CF=,CK=1,故答案为1。9. 解:如图所示,连接EF。DC是ABC的外接圆的切线,DCB=EAF,BCAF,BCDFAE,CBD=AFE,B、E、F、C四点共圆,AFE=CBE,CBD=CBE,又CBD+CBE=180,CBE=90AC是ABC的外接圆的直径,CE是E,F,C四点所在圆的直径。不妨设DB=1,则BE=EA=DB=1,由切割线定理可得:DC2=DBDA=13,在DCE中,由DB=BE,CB
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