届人教A版 数列求和及其综合应用单元测试Word文件下载.docx

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a1，即a5＝×

×

1＝.故选A.]

3.＋＋＋…＋的值为（　　）

A.　　B.－

C.－D.－＋

C　[∵＝＝

＝，

∴＋＋＋…＋＝

＝

＝－.]

4．在等差数列{an}中，a1＝－2016，其前n项和为Sn，若－＝2006，则S2018的值等于（　　）

【导学号：

68334074】

A．2015B．－2016

C．2018D．－2017

C　[等差数列中，Sn＝na1＋d，＝a1＋（n－1），即数列是首项为a1＝－2016，公差为的等差数列．因为－＝2006，所以（2016－10）＝2006，＝1，所以S2018

＝2018[（－2016）＋（2018－1）×

1]

＝2018，选C.]

5．数列{an}满足a1＝1，且对任意的m，n∈N*都有am＋n＝am＋an＋mn，则＋＋＋…＋等于（　　）

C.D.

A　[令m＝1，得an＋1＝an＋n＋1，即an＋1－an＝n＋1，于是a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，上述n－1个式子相加得an－a1＝2＋3＋…＋n，

所以an＝1＋2＋3＋…＋n＝，

因此＝＝2，

所以＋＋＋…＋

＝2

＝2＝.故选A.]

二、填空题

6．设Sn是数列{an}的前n项和，an＝4Sn－3，则S4＝__________.

68334075】

　[∵an＝4Sn－3，∴当n＝1时，a1＝4a1－3，解得a1＝1，当n≥2时，∵4Sn＝an＋3，∴4Sn－1＝an－1＋3，∴4an＝an－an－1，∴＝－，∴{an}是以1为首项，－为公比的等比数列，∴S4＝＝×

＝.]

7．设数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝12，Sn＝kn2－1（n∈N*），则数列的前n项和为__________．

　[令n＝1得a1＝S1＝k－1，令n＝2得S2＝4k－1＝a1＋a2＝k－1＋12，解得k＝4，所以Sn＝4n2－1，＝＝＝，则数列的前n项和为＋＋…＋＝＝.]

8．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an＋1（n∈N*），且a1＝1，则通项公式an＝________.

n∈N*　[由Sn＝2an＋1（n∈N*）可得Sn－1＝2an（n≥2，n∈N*）两式相减得：

an＝2an＋1－2an，即＝（n≥2，n∈N*）．

又由a1＝1及Sn＝2an＋1（n∈N*）可得a2＝，

所以数列{an}从第二项成一个首项为a2＝，公比为的等比数列，

故当n>

1，n∈N*时有an＝·

n－2，

所以有an＝n∈N*.]

三、解答题

9．已知等差数列{an}中a2＝5，前4项和S4＝28.【导学号：

68334076】

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若bn＝（－1）nan，求数列{bn}的前2n项和T2n.

[解]　

（1）设等差数列{an}的公差为d，则由已知条件得

2分

∴4分

∴an＝a1＋（n－1）×

d＝4n－3（n∈N*）.6分

（2）由

（1）可得bn＝（－1）nan＝（－1）n（4n－3），10分

T2n＝－1＋5－9＋13－17＋…＋（8n－3）＝4×

n＝4n（n∈N*）.15分

10．（2017·

衢州市高三数学质量检测）已知数列{an}满足a1＝1，Sn＝2an＋1，其中Sn为{an}的前n项和（n∈N*）．

（1）求S1，S2及数列{Sn}的通项公式；

（2）若数列{bn}满足bn＝，且{bn}的前n项和为Tn，求证：

当n≥2时，≤|Tn|≤.

[解]　

（1）数列{an}满足Sn＝2an＋1，

则Sn＝2an＋1＝2（Sn＋1－Sn），即3Sn＝2Sn＋1，3分

所以＝，S1＝a1＝1，所以S2＝，5分

即数列{Sn}为以1为首项，以为公比的等比数列，

所以Sn＝n－1（n∈N*）.7分

（2）证明：

在数列{bn}中，bn＝＝－1×

，9分

{bn}的前n项和的绝对值|Tn|＝－1×

1＋－＋＋－3＋…＋＝1＋－＋＋－3＋…＋，12分

当n≥2时，1－≤1＋－＋＋－3＋…＋≤1＋－＋＝，即≤|Tn|≤.15分

[B组　名校冲刺]

1．已知函数y＝loga（x－1）＋3（a>

0，a≠1）所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{an}的第二项与第三项，若bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，则T10等于

（　　）【导学号：

68334077】

A.　　　　　B.

B　[y＝loga（x－1）＋3恒过定点（2,3），

即a2＝2，a3＝3，又{an}为等差数列，

∴an＝n，∴bn＝，

∴T10＝1－＝，故选B.]

2．已知数列{an}中，a1＝－60，an＋1＝an＋3，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|等于（　　）

A．445B．765

C．1080D．3105

B　[∵an＋1＝an＋3，∴an＋1－an＝3，∴{an}是以－60为首项，3为公差的等差数列，

∴an＝－60＋3（n－1）＝3n－63.

令an≤0，得n≤21，∴前20项都为负值．

∴|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|＝－（a1＋a2＋…＋a20）＋a21＋…＋a30＝－2S20＋S30.

∵Sn＝n＝×

n，∴|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|＝765，故选B.]

3．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，{Sn＋nan}为常数列，则an＝（　　）

B　[由题意知，Sn＋nan＝2，当n≥2时，（n＋1）an＝（n－1）an－1，

从而·

…·

＝·

，有an＝，当n＝1时上式成立，所以an＝.故选B.]

4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：

“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：

有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了

（　　）

A．192里B．96里

C．48里D．24里

B　[由题意，知每天所走路程形成以a1为首项，公比为的等比数列，则＝378，解得a1＝192，则a2＝96，即第二天走了96里．故选B.]

5．（2017·

温州适应性测试）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·

an＝2n（n∈N*），则S2016＝__________.

68334078】

3×

21008－3　[∵数列{an}满足a1＝1，an＋1·

an＝2n①，∴n＝1时，a2＝2，n≥2时，an·

an－1＝2n－1②，∵①÷

②得＝2，∴数列{an}的奇数项、偶数项分别成等比数列，∴S2016＝＋＝3×

21008－3.]

6．已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8＝________.

64　[∵a1，a2，a5成等比数列，∴a＝a1a5，

∴（1＋d）2＝1×

（4d＋1），

∴d2－2d＝0，

∵d≠0，∴d＝2.

∴S8＝8×

1＋×

2＝64.]

7．（2017·

金华一中高考5月模拟考试）数列{an}中，a0＝2017，an＋1＝（n∈N,0≤n≤1009），求证：

（1）an＞an＋1；

（2）n≥1时，2017＜an＋n＜2018.

[证明]　

（1）由题可知an＞0（0≤n≤1009），

又an＋1＝，则an－an＋1＝＞0，5分

所以an＞an＋1.7分

（2）an＝a0＋（ai－ai－1）

＝a0－

＝a0－n＋＞a0－n，n≥1，

故an＋n＞a0＝2017，n≥1.9分

所以an－1＞a0－（n－1），即an＋1＋1＞a0－n＋2，n≥2.

且由

（1）知，a0＞a1＞a2＞…＞an＞…，

则＜，n≥2，i＝1,2，…，n.11分

由0≤n≤1009得a0－n＋2＞n，当n≥2时，

＜＜＜1，

故an＝a0－n＋＜a0－n＋1，

即an＋n＜a0＋1＝2018，n≥2.13分

又当n＝1时，易得2017＜a1＋1＜2018.

所以当n≥1时，2017＜an＋n＜2018.15分

8．（2017·

绍兴一中高考考前适应性考试）已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝sin，n∈N*.

（1）证明：

≤an＜an＋1＜1；

（2）设Sn是数列{an}的前n项和，证明：

Sn＞n－.

68334079】

[证明]　

（1）①当n＝1时，a1＝，

a2＝sin＝sin＝，

所以≤a1＜a2＜1，故结论成立.3分

②假设当n＝k时结论成立，即≤ak＜ak＋1＜1，

所以≤ak＜ak＋1＜，

因为函数y＝sinx在上单调递增，所以＜＝sin≤sin＜sin＜sin＝1.5分

即≤ak＋1＜ak＋2＜1，也就是说当n＝k＋1时，结论成立．

由①②可知，对一切n∈N*均有≤an＜an＋1＜1.7分

（2）1－an＋1＝1－sin＝1－cos

＝2sin2.8分

由

（1）知1－an∈，

所以0＜（1－an）≤，

由三角函数性质得

2sin2＜22＝（1－an）（1－an）≤（1－an）＝（1－an），

即1－an＋1＜（1－an），

所以1－an＜（1－a1）n－1＝n－1，13分

故n－Sn＝（1－a1）＋（1－a2）＋…＋（1－an）

＜×

＜

＝＜.

即Sn＞n－.15分