量子力学试题Word文档下载推荐.docx
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2mE
在xa处，利用波函数及其一阶导数连续的条件
2a3a
1I
得到
AsinkaBexoa
AkcoskaBexpa
于是有
k
tanka
此即能量满足的超越方程。
1
当E时，由于
ImV。
Jm%
tana1
JmV。
n1,2,3,
最后，得到势阱的宽度
n构成正交归一完备系,
三.（20分）设厄米特算符H?
的本征矢为，
定义一个算符
Um,n
m}（n
（1）
计算对易子H,Um,n；
（2）
证明Um,nUp,qnqU
m,p；
（3）
计算迹TrU?
m,n；
（4）
若算符A?
的矩阵元为Amn（
:
mAn）
，证明
AAmnl?
m,n
m,n
解:
mmn
（4）算符
m：
.mA
m,n
m
AmnU?
m,n
Apq（pAq）
-kAq：
.
..kAq.1pk
TrA?
p,q
..kAU?
四•（20分）
于均匀外磁场B
自旋为-、固有磁矩为
2
B°
k中，设t0时，粒子处于
（其中为实常数）的粒子，处
Sx2的状态,
（1）求出t0时的波函数；
（2）求出t0时?
x与SZ的可测值及相应的取值几率。
体系的哈密顿算符为
在泡利表象中，哈密顿算符的本征解为
E1,
E2
0..
而?
x满足的本征方程为
由于，哈密顿算符不显含时间,
0时刻的波函数为
解之得
（2）因为H?
?
z0，所以Sz是守恒量，它的取值几率与平均值不随时间改
由于
2,0
；
WSz
故有
Sz
而Sx的取值几率为
Sx
2，t
exp
—Ed
exp一E2t
COS2匹t
sin2里t
五.（20分）类氢离子中,
电子与原子核的库仑相互作用为
至（Ze为核电荷）
当核电荷变为Z1e时，相互作用能增加
—，试用微扰论计算它对能量
r
的一级修正，并与严格解比较。
已知类氢离子的能量本征解为
22
E0E0e
nlmn
2n2a°
nr
nlm
式中，a。
2为玻尔半径。
e
能量的一级修正为
由维里定理知
总能量
所以，得到
En'
nImW?
nlm
EnT
/nl-
2En
Z
微扰论近似到一级的能量为
En
Ze
a。
2n
而严格解为
（Z1）2
Ze2nl
n2a。
Ze2n
-nl}r
n1,2,3,
2n2a。
Ze2
-2na。
（二）及答案
、（20分）在t0时刻,
氢原子处于状态
（r,0）C
i（r）
32（「）
13（r）
式中，n（r）为氢原子的第
n个能量本征态。
计算t
时能量的取值几率
与平均值，写出t0时的波函数。
氢原子的本征解为
e41
其中，量子数的取值范围是
E3
23
48
.3
不为零的能量取值几率为
WEi
能量平均值为
3
BQ巳）汗
r,t
31rexp丄E〔t
8
丄E2t
exp丄E3t
0时，波函数为
（20分）设粒子处于一维势阱之中
V（x）V
0,
式中，V。
0。
导出能量本征值满足的超越方程,
进而求出使得体系至少存在
一个束缚态的V0值
对于E0的情况，三个区域中的波函数分别为
2xAsinkx
3xBexpx
j2m（EV。
）j2m|E
k；
利用波函数再x0处的连接条件知，
n，n0,1,2,
由于，余切值是负数，所以，角度ka在第2、4象限。
超越方程也可以改
写成
I..ka
sinka
1k°
a
式中，
1丿2V0
k0
因为，sinka1,所以，若要上式有解，必须要求
—Vo
整理之，得到
Vor
8a2
三、（20分）在动量表象中，写出线谐振子的哈密顿算符的矩阵元。
解：
在坐标表象中，线谐振子的哈密顿算符为
H?
2m?
在动量表象中，该哈密顿算符为
旋沿z轴的正方向，求t0时测量粒子1的自旋处于z轴负方向的几率
和粒子2的自旋处于Z轴负方向的几率。
h?
c&
S2C?
2?
选择耦合表象，由于S0,1，故四个基底为
111〉；
12〉11;
⑶|10）；
⑷|00〉
在此基底之下，哈密顿算符是对角矩阵，即
C2
4
可以直接写出它的解为
E1
C
）
11〉
E2
11）
3C2
~4~
00
、2
已知t0时，体系处于
10■■■■
因为哈密顿算符不显含时间，故t
t〉
-E3
10〉
）exp
丄C
-E4|00〉
1〉旳七
粒子1处于Z轴负方向的几率为
Ws1z
—exp
而粒子2处于Z轴负方向的几率为
cos
S2z
1（
|<
t；
|2
3Lc
sin
2一
五、
20
维运动的粒子，
哈密顿算符为
时,
能量本征值与本征矢分别为
E°
与n：
.，如果哈密顿
算符变成H?
o
（为实参数）时,
（1）利用费曼-海尔曼定理求出严格的能量本征值。
（2）若1，利用微扰论计算能量本征值到二级近似。
首先，利用费因曼-赫尔曼定理求出严格的能量本征值。
视为参变量，则有
?
利用费因曼-赫尔曼定理可知
又知
在任何束缚态n
所以,
〈n?
n〉
进而得到能量本征值满足的微分方程
En
对上式作积分，得到
利用
0时，W#0，定出积分常数
最后，得到H?
的本征值为
其次，用微扰论计算能量的近似解已知H?
o满足的本征方程为
可知
Pmn
E0x
第k个能级的一级修正为
Ek1
Wkk
pkk0
能量的二级修正为
Ek2
WknWnkkEkE°
—E°
E°
Xkn
if
00
EkEnXnki
E0
1—n
Xnk
为了求出上式右端的求和项，在
0表象下计算
XPkk
XknPnk
nin
E0匚。
XknEkEnXnk
—En0E；
in
可以证明，对于任意实束缚态波函数
于是，得到
近似到二级的解为
k］，有
Ek0
量子力学试题
（二）及答案
、（20分）已知氢原子在t0时处于状态
解已知氢原子的本征值为
将t0时的波函数写成矩阵形式
（x,0）
利用归一化条件
dx
7
c
日,04；
WE2,0
|；
WE3,0
（5）
4e
2h2
41
E1E2
7172
4111
161e4
（6）
504h2
自旋z分量的可能取值为2,h，相应的取值几率为
h
Wsz2,0
（7）
自旋z分量的平均值为
14
（8）
t0时的波函数
（X,t）
（9）
.（20分）质量为
m的粒子在如下一维势阱中运动
Vo
V。
若已知该粒子在此势阱中有一个能量E
中的状态，试确定此势阱的宽度a
解对于V。
E0的情况，三个区域中的波函数分别为
其中,
1x
2x
Asinkx
3x
Bexpx
k2m（E
）.
利用波函数再x0处的连接条件知，n,n0,1,2,
2a
3a
Asinkan
Bexpa
Akcoskan
Bexo
tanka
当E2v0时，由于
tan—叫
、.mVo
故
1,2,3,
最后得到势阱的宽度
三、（20分）证明如下关系式
（1）任意角动量算符?
满足?
ih?
。
证明对x分量有
?
PyPz2?
y=ih?
x
同理可知，对y与z分量亦有相应的结果，故欲证之式成立
投影算符?
nn）（n是一个厄米算符，其中，n）是任意正交归一的完备本征函数系。
证明在任意的两个状态「与〉之下，投影算符氤的矩阵元为
（?
n|）（MS〉
而投
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