高考数学复习同步练习 第1讲 集合的概念和运算Word文档格式.docx

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m，m，n∈A，m≠n}＝{6,8,12}．

答案　B

5．设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的（　　）．

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件

解析　若N⊆M，则需满足a2＝1或a2＝2，解得a＝±

1或a＝±

.故“a＝1”是“N⊆M”的充分不必要条件．

6．设集合A＝，B＝{y|y＝x2}，则A∩B＝（　　）．

A．[－2,2]B．[0,2]

C．[0，＋∞）D．{（－1,1），（1,1）}

解析　A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{y|y≥0}，∴A∩B＝{x|0≤x≤2}＝[0,2]．

二、填空题

7．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.

解析　∵3∈B，又a2＋4≥4，∴a＋2＝3，∴a＝1.

答案　1

8．已知集合A＝{0,2，a2}，B＝{1，a}，若A∪B＝{0,1,2,4}，则实数a的值为________．

解析　若a＝4，则a2＝16∉（A∪B），所以a＝4不符合要求，若a2＝4，则a＝±

2，又－2∉（A∪B），∴a＝2.

答案　2

9．给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论：

①集合A＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合；

②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；

③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．

其中正确结论的序号是________．

解析　①中，－4＋（－2）＝－6∉A，所以不正确．

②中设n1，n2∈A，n1＝3k1，n2＝3k2，n1＋n2∈A，n1－n2∈A，所以②正确．③令A1＝{n|n＝3k，k∈Z}，A2＝{n|n＝2k，k∈Z}，3∈A1,2∈A2，但是，3＋2∉A1∪A2，则A1∪A2不是闭集合，所以③不正确．

答案　②

10．已知集合A＝，B＝{x|x2－2x－m<

0}，若A∩B＝{x|－1<

x<

4}，则实数m的值为________．

解析　由≥1，得≤0，

∴－1<

x≤5，∴A＝{x|－1<

x≤5}．

又∵B＝{x|x2－2x－m<

0}，A∩B＝{x|－1<

4}，

∴有42－2×

4－m＝0，解得m＝8.

此时B＝{x|－2<

4}，符合题意，故实数m的值为8.

答案　8

三、解答题

11．若集合A＝{－1,3}，集合B＝{x|x2＋ax＋b＝0}，且A＝B，求实数a，b.

解　∵A＝B，∴B＝{x|x2＋ax＋b＝0}＝{－1,3}．

∴∴a＝－2，b＝－3.

12．已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a的值．

（1）9∈（A∩B）；

（2）{9}＝A∩B.

解　

（1）∵9∈（A∩B），∴9∈A且9∈B，

∴2a－1＝9或a2＝9，∴a＝5或a＝－3或a＝3，

经检验a＝5或a＝－3符合题意．∴a＝5或a＝－3.

（2）∵{9}＝A∩B，∴9∈A且9∈B，

由

（1）知a＝5或a＝－3.

当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{－8,4,9}，

此时A∩B＝{9}，

当a＝5时，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－4,9}，

此时A∩B＝{－4,9}，不合题意．∴a＝－3.

13．设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．

（1）若a＝，试判定集合A与B的关系；

（2）若B⊆A，求实数a组成的集合C.

解　由x2－8x＋15＝0，得x＝3或x＝5.∴A＝{3,5}．

（1）当a＝时，由x－1＝0，得x＝5.

∴B＝{5}，∴BA.

（2）∵A＝{3,5}且B⊆A，

∴若B＝∅，则方程ax－1＝0无解，有a＝0.

若B≠∅，则a≠0，由方程ax－1＝0，得x＝，

∴＝3或＝5，即a＝或a＝，

∴C＝.

14．设集合A＝{x2,2x－1，－4}，B＝{x－5,1－x,9}，若A∩B＝{9}，求A∪B.

解　由9∈A，可得x2＝9或2x－1＝9，

解得x＝±

3或x＝5.

当x＝3时，A＝{9,5，－4}，B＝{－2，－2,9}，B中元素重复，故舍去；

当x＝－3时，A＝{9，－7，－4}，B＝{－8,4,9}，A∩B＝{9}满足题意，故A∪B＝{－7，－4，－8,4,9}；

当x＝5时，A＝{25,9，－4}，B＝{0，－4,9}，

此时A∩B＝{－4,9}与A∩B＝{9}矛盾，故舍去．

综上所述，A∪B＝{－8，－4,4，－7,9}．

第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件

1．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的（　　）

A．充分而不必要条件　　　B．必要而不充分条件

C．充要条件D．既不充分又不必要条件

解析若a＝1，则有|a|＝1是真命题，即a＝1⇒|a|＝1，由|a|＝1可得a＝±

1，所以若|a|＝1，则有a＝1是假命题，即|a|＝1⇒a＝1不成立，所以a＝1是|a|＝1的充分而不必要条件．

答案A

2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（　　）

A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”

B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”

C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”

D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”

解析原命题的逆命题是：

若一个数的平方是正数，则它是负数．

3．已知集合A＝{x∈R|<

2x<

8}，B＝{x∈R|－1<

m＋1}，若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是（　　）

A．m≥2B．m≤2

C．m>

2D．－2<

m<

2

解析A＝{x∈R|<

8}＝{x|－1<

3}

∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A

∴AB

∴m＋1>

3，即m>

2.

答案C

4．命题：

“若x2<

1，则－1<

1”的逆否命题是（　　）

A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1

B．若－1<

1，则x2<

1

C．若x>

1或x<

－1，则x2>

D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1

解析x2<

1的否定为：

x2≥1；

－1<

1的否定为x≥1或x≤－1，故原命题的逆否命题为：

若x≥1或x≤－1，则x2≥1.

答案D

5．命题“若f（x）是奇函数，则f（－x）是奇函数”的否命题是（　　）．

A．若f（x）是偶函数，则f（－x）是偶函数

B．若f（x）不是奇函数，则f（－x）不是奇函数

C．若f（－x）是奇函数，则f（x）是奇函数

D．若f（－x）不是奇函数，则f（x）不是奇函数

解析　否命题既否定题设又否定结论，故选B.

6．方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是（　　）．

A．0<

a≤1B．a<

C．a≤1D．0<

a≤1或a<

解析　法一　（直接法）当a＝0时，x＝－符合题意．

当a≠0时，若方程两根一正一负（没有零根），

则⇔⇔a<

0；

若方程两根均负，则⇔⇔0<

a≤1.

综上所述，所求充要条件是a≤1.

法二　（排除法）当a＝0时，原方程有一个负实根，可以排除A，D；

当a＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B，所以选C.

答案　C

7．已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题

p1：

|a＋b|＞1⇔θ∈

p2：

p3：

|a－b|＞1⇔θ∈

p4：

其中真命题的个数是____________．

解析　由|a＋b|＞1可得a2＋2a·

b＋b2＞1，因为|a|＝1，|b|＝1，所以a·

b＞－，故θ∈.当θ∈时，a·

b＞－，|a＋b|2＝a2＋2a·

b＋b2＞1，即|a＋b|＞1，故p1正确．由|a－b|＞1可得a2－2a·

b＜，故θ∈，反之也成立，p4正确．

8．若“x2>

1”是“x<

a”的必要不充分条件，则a的最大值为________．

解析由x2>

1，得x<

－1或x>

1，又“x2>

a”的必要不充分条件，知由“x<

a”可以推出“x2>

1”，反之不成立，所以a≤－1，即a的最大值为－1.

答案－1

9．已知集合A＝，B＝{x|－1<

m＋1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是________．

解析　A＝＝{x|－1<

3}，

∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，∴AB，

答案　（2，＋∞）

10．“m<

”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的________条件．

解析　x2＋x＋m＝0有实数解等价于Δ＝1－4m≥0，即m≤.

答案　充分不必要

11．写出命题“已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．

解

（1）逆命题：

已知a，b∈R，若a2≥4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，为真命题．

（2）否命题：

已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2<

4b，为真命题．

（3）逆否命题：

已知a，b∈R，若a2<

4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，为真命题．

12．求方程ax2＋2x＋1＝0的实数根中有且只有一个负实数根的充要条件．

解方程ax2＋2x＋1＝0有且仅有一负根．

当a＝0时，x＝－适合条件．

当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0有实根，

则Δ＝4－4a≥0，∴a≤1，

当a＝1时，方程有一负根x＝－1.

当a<

1时，若方程有且仅有一负根，则x1x2＝<

0，

∴a<

0.

综上，方程ax2＋2x＋1＝0有且仅有一负实数根的充要条件为a≤0或a＝1.

13．分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．

（1）若ab＝0，则a＝0或b＝0；

（2）若x2＋y2＝0，则x，y全为零．

解　

（1）逆命题：

若a＝0或b＝0，则ab＝0，真命题．

否命题：

若ab≠0，则a≠0且b≠0，真命题．

逆否命题：

若a≠0且b≠0，则ab≠0，真命题．

（2）逆命题：

若x，y全为零，则x2＋y2＝0，真命题．

若x2＋y2≠