线性代数第二章矩阵试题及答案Word文档下载推荐.docx
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0的n阶矩阵.
单位矩阵：
对角线上的的兀素都为
1的对角矩阵，记作E（或I）.
数量矩阵：
对角线上的的兀素都等于一
个常数c的对角矩阵，它就是cE
上三角矩阵
:
对角线下的的兀素都为
下二角矩阵
对称矩阵：
满足At=a矩阵，也就是对任何i,j,（i,j）位的元素和（j,i）位的元素总是相等的n阶矩阵.
反对称矩阵：
满足At=-A矩阵•也就是对任何i,j,（i,j）位的元素和（j,i）位的元素之
和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.）
正交矩阵：
若AAt=atA=E，则称矩阵A是正交矩阵。
_2
（1）A是正交矩阵At=a-1
（2）A是正交矩阵A=1
阶梯形矩阵：
一个矩阵称为阶梯形矩阵，如果满足：
1如果它有零行，则都出现在下面。
2如果它有非零行，则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严
格单调递增。
把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角。
每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵，这种运算是在线性代数的各类
计算题中频繁运用的基本运算，必须十分熟练。
请注意：
一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的，但是其非零
行数和台角位置是确定的。
3、矩阵的线形运算
（1）加（减）法:
两个mn的矩阵A和B可以相加（减），得到的和（差）仍是mn矩阵，记作A+B（A-B）,运算法则为对应元素相加（减）.
（2）数乘：
一个mn的矩阵A与一个数c可以相乘，乘积仍为mn的矩阵，记作cA,运算法则为A的每个元素乘c.
这两种运算统称为线性运算，它们满足以下规律:
1加法交换律：
A+B=B+A.2加法结合律：
（A+B）+C=A+（B+C）.
3加乘分配律：
c（A+B）=cA+cB.（c+d）A=cA+dA.④数乘结合律:
c（d）A=（cd）A.
⑤cA=0c=0或A=0.
4、矩阵乘法的定义和性质
（1）当矩阵A的列数和B的行数相等时，则A和B可以相乘，乘积记作ABAB的行数和A相等，列数和B相等.AB的（i,j）位元素等于A的第i个行向量和B的第j个列向量（维数相同）对应分量乘积之和.
即：
AmsBsn
矩阵的乘法在规则上与数的乘法有不同：
1矩阵乘法有条件•②矩阵乘法无交换律•即ABBA
③矩阵乘法无消去律：
即一般地由AB=0推不出A=0或B=0.
由AB=AC和A0推不出B=C.（无左消去律）由BA=CA和A0推不出B=C.（无
右消去律）请注意不要犯一种常见的错误：
把数的乘法的性质简单地搬用到矩阵乘法中来•
矩阵乘法适合以下法则：
1加乘分配律A（B+C）=AB+AC,（A+B）C=AC+BC.
2数乘性质（cA）B=c（AB）.③结合律（AB）C=A（BC）
（2）n阶矩阵的方幕和多项式
任何两个n阶矩阵A和B都可以相乘，乘积AB仍是n阶矩阵•并且有行列式性
质:
|AB|=|A||B|.
如果AB=BA则说A和B可交换•
方幕设k是正整数，n阶矩阵A的k次方幕Ak即k个A的连乘积•规定A°
=E.
显然A的任何两个方幕都是可交换的，并且方幕运算符合指数法则：
①AkAh=Ak+l②（Ak）h=Akh.
但是一般地（AB）k和AkBk不一定相等！
n阶矩阵的多项式：
设f（x）=amxm+am-ixm-1+…+aix+ao,对n阶矩阵A规定
f（A）=amAm+am-1Am-1+…+ajA+a°
E.
乘法公式一般地，由于交换性的障碍，小代数中的数的因式分解和乘法公式对
于n阶矩阵的不再成立•但是如果公式中所出现的n阶矩阵互相都是互相可交换的，
则乘法公式成立•例如当A和B可交换时，有：
（AB）2=A22AB+B2;
A2-B2=（A+B）（A-B）=（A+B）（A-B）.
二项展开式成立：
（ABfC；
；
；
B■等等•
/i"
前面两式成立还是A和B可交换的充分必要条件•
（3）乘积矩阵的列向量组和行向量组
设A是mn矩阵B是ns矩阵，A的列向量组为1，2,…，n,B的列向量组
为1，2,…，s,AB的列向量组为1，2,…，s，则根据矩阵乘法的定义容易看出（也
是分块法则的特殊情形）：
1AB的每个列向量为：
i=Ai,i=1,2，…,s.即
A1,2,…，s）=（AjA2，…,As）•
2=（b1,b2,…,bn）T,则A=b11+b22+…+bnn・应用这两个性质可以得到:
如果i=（b1i,b2i,…,bni）T,贝V
i=AI=b1i1+b2i2+…+bnin.
即:
乘积矩阵AB的第i个列向量i是A的列向量组1,2,…，n的线性组合，组合系数就是B的第i个列向量i的各分量。
类似地，乘积矩阵AB的第i个行向量是B的行向量组的线性组合，组合系数就是A的第i个行向量的各分量。
以上规律在一般教材都没有强调，但只要对矩阵乘法稍加分析就不难得出•它
们无论在理论上和计算中都是很有用的•
矩阵的各行向量，用对角矩阵
从右侧乘一个矩阵
相当于用
的对角线上的各元
素依次乘此矩阵的各列向量。
1
1a1
A
2
2a2
m^'
mn
3
3a3
m4
4a4
Ama1a2a3a4
1a1
2&
23&
34&
4
m
2数量矩阵kE乘一个矩阵相当于用k乘此矩阵；
单位矩阵乘一个矩阵仍等
于该矩阵。
3两个同阶对角矩阵的相乘只用把对角线上的对应元素相乘。
4求对角矩阵的方幕只需把对角线上的每个元素作同次方幕。
5、矩阵的行列式
A为n阶方阵，由A的元素所构成的行列式称为A的行列式，表示为|A|。
若A的行列式|A|0,称A为非奇异方阵，|A|=0，称A为奇异方阵
|AB|=|A||B||cA|=Cn|A|.
6矩阵的转置
把一个mn的矩阵A行和列互换，得到的nm的矩阵称为A的转置，记作AT（或A）。
有以下规律：
①（At）t=a.②（A+B）T=AT+BT.③（cA）T=cAT④（AB）T=BTAT.⑤|AT|=|A|
7、矩阵的等价
定义：
两个矩阵如果可以用初等变换互相转化，就称它们等价.
矩阵的等价的充分必要条件为它们类型相同，秩相等.
命题：
两个m*n矩阵A与B等价的充要条件是存在m阶满秩矩阵P及n阶满秩矩阵Q,使得A=PBQ
8、矩阵方程和可逆矩阵（伴随矩阵）
（1）矩阵方程
矩阵不能规定除法，乘法的逆运算是解下面两种基本形式的矩阵方程：
（I）AX=B.（II）XA=B.
这里假定A是行列式不为0的n阶矩阵，在此条件下，这两个方程的解都是
存在并且唯一的（否则解的情况比较复杂.）。
当B只有一列时，
（1）就是一个线性方程组.由克莱姆法则知它有唯一解.
如果B有s列，设B=（1,2,…,s）,则X也应该有s列，记X=（X,X2,…,Xs）,则有AX=i,i=1,2,…,s,这是s个线性方程组，由克莱姆法则，它们都有唯一解，
从而AX=B有唯一解。
这些方程组系数矩阵都是A，可同时求解，即得
（I）的解法•将A和B并列作矩阵（A|B），对它作初等行变换，使得A变为单
位矩阵，此时B变为解X（A|B）（E|X）。
（II）的解法：
对两边转置化为（I）的形式:
atxt=bt，再用解（I）的方法求出XT，转置得X.：
（At|Bt）（E|Xt）
矩阵方程是历年考题中常见的题型，但是考试真题往往并不直接写成（I）或（II）
的形式，要用恒等变形简化为以上基本形式再求解。
（2）可逆矩阵的定义与意义
设A是n阶矩阵，如果存在n阶矩阵B，使得AB=E，BA=E，则称A为可逆矩阵，此时B是唯一的，称为A的逆矩阵，通常记作A-1。
如果A可逆，则A在乘法中有消去律：
AB=OB=0;
AB=ACB=C.（左消去律）；
BA=OB=0;
BA=CAB=C.（右消去律）
如果A可逆，则A在乘法中可移动（化为逆矩阵移到等号另一边）：
AB=CB=A-1C，BA=CB=CA-1
由此得到基本矩阵方程的逆矩阵解法：
（I）AX=B的解X=A-1B（II）XA=B的解X=BA-1.
这种解法想法自然，好记忆，但是计算量比初等变换法大（多了一次矩阵乘积运算）.
（3）矩阵可逆性的判别与性质
定理n阶矩阵A可逆|A|0.
证明充分性：
对AA-1=E两边取行列式，得|A||A-1|=1,从而|A|0.（并且|A-1|=|A|-1.）
必要性：
因为|A|0,矩阵方程AX=E和XA=E都有唯一解.设B,C分别是它们的
解,即AB=E,CA=E.事实上B=C（B=EB=CAB=CE=C）,于是从定义得至UA可逆.推论如果A和B都是n阶矩阵，则AB=EBA=E.
于是只要AB=E（或BA=E）一式成立，则A和B都可逆并且互为逆矩阵.可逆矩阵有以下性质：
如果A可逆，则
①A-1也可逆，并且（A-1）-1=A.②At也可逆，并且（At）-1=（A-1）t.
3当c0时,cA也可逆,并且（cA）-1=c-1A-1.
4对任何正整数k,Ak也可逆，并且（Ak）-1=（A-1）k.（规定可逆矩阵A的负整数次方幕A-k=（Ak）-1=（A-1）k.）
5如果A和B都可逆，则AB也可逆，并且（AB）-1=B-1A-1.（请自己推广到多个可逆矩阵乘积的情形.）
6初等矩阵都是可逆矩阵，并且
E（i,j）-1=E（i,j）,E（i（c））-1=E（i（c-1））,E（i,j（c））-1=E（i,j（-c））.
⑷逆矩阵的计算和伴随矩阵
①计算逆矩阵的初等变换法
当A可逆时，A-1是矩阵方程AX=E的解,于是可用初等行变换或列变换求A-1：
初等行变换：
A|EE|A1
AE
初等列变换:
-巳
EA1
这个方法称为求逆矩阵的初等变换法.它比下面介绍的伴随矩阵法简单得多.
②伴随矩阵
和A-1有密切关系。
基本公式:
①AA*=A*A=|A|E.②A-1=A*/|A|,即A*=|A|A-1.
因此可通过求A*来计算A1.这就是求逆矩阵的伴随矩阵法.
和初等变换法比较，伴随矩阵法的计算量要大
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