线性代数第二章矩阵试题及答案Word文档下载推荐.docx

1、0的n阶矩阵.单位矩阵：对角线上的的兀素都为1的对角矩阵，记作E（或I）.数量矩阵：对角线上的的兀素都等于一个常数 c的对角矩阵，它就是cE上三角矩阵:对角线下的的兀素都为下二角矩阵对称矩阵：满足At=a矩阵，也就是对任何i,j,（i,j）位的元素和（j,i）位的元素总是 相等的n阶矩阵.反对称矩阵：满足At=-A矩阵也就是对任何i,j,（i,j）位的元素和（j ,i）位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是 0.）正交矩阵：若AAt=atA=E，则称矩阵A是正交矩阵。_ 2（1）A是正交矩阵 At=a-1 （ 2）A是正交矩阵 A =1阶梯形矩阵：一个矩阵称为阶梯形矩

2、阵，如果满足 ：1如果它有零行，则都出现在下面。2如果它有非零行，则每个非零行的第一个非 0元素所在的列号自上而下严格单调递增。把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非 0元素所在的位置称为 台角。每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵， 这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算，必须十分熟练。请注意：一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的， 但是其非零行数和台角位置是确定的。3、 矩阵的线形运算（1） 加（减）法:两个m n的矩阵A和B可以相加（减），得到的和（差）仍是m n矩 阵，记作A+B （A-B）,运算法则为对应元素相加 （减）.（2） 数乘：一个m n的矩阵A与一

3、个数c可以相乘，乘积仍为m n的矩阵，记 作cA,运算法则为A的每个元素乘c.这两种运算统称为线性运算，它们满足以下规律:1加法交换律：A+B = B+A. 2加法结合律：（A + B）+C=A+（B + C）.3加乘分配律：c（A+B）=cA+cB.（c+d）A=cA+dA.数乘结合律:c（d）A=（cd）A. cA=0 c=0 或 A=0.4、 矩阵乘法的定义和性质（1）当矩阵A的列数和B的行数相等时，则A和B可以相乘，乘积记作AB AB的行数和A相等，列数和B相等.AB的（i,j） 位元素等于 A的第i个行向量 和B的第j个列向量（维数相同）对应分量乘积之和.即：Am sBs n矩阵的乘

4、法在规则上与数的乘法有不同 ：1矩阵乘法有条件 矩阵乘法无交换律即AB BA矩阵乘法无消去律：即一般地由 AB =0推不出A=0或B=0.由AB=AC和A 0推不出B = C.（无左消去律）由BA = CA和A 0推不出B=C.（无右消去律）请注意不要犯一种常见的错误：把数的乘法的性质简单地搬用到矩阵乘法 中来矩阵乘法适合以下法则：1加乘分配律 A（B+C）= AB+AC , （A + B）C=AC + BC.2数乘性质 （cA）B=c（AB）. 结合律 （AB ）C= A（BC）（2）n阶矩阵的方幕和多项式任何两个n阶矩阵A和B都可以相乘，乘积AB仍是n阶矩阵并且有行列式性质:|AB |=|

5、A|B|.如果AB = BA则说A和B可交换方幕 设k是正整数，n阶矩阵A的k次方幕A k即k个A的连乘积规定A =E.显然A的任何两个方幕都是可交换的 ，并且方幕运算符合指数法则： A kA h= A k+l（A k）h= A kh.但是一般地（AB）k和A kB k不一定相等！n阶矩阵的多项式：设 f（x）=a mxm+am-ixm-1 +aix+ao,对 n 阶矩阵 A 规定f（A）=amA m+am-1A m-1 + ajA +aE.乘法公式一般地，由于交换性的障碍，小代数中的数的因式分解和乘法公式对于n阶矩阵的不再成立但是如果公式中所出现的 n阶矩阵互相都是互相可交换的 ，则乘法公式

6、成立例如当A和B可交换时，有：（A B）2=A2 2AB+B2; A2-B2=（A+B）（A-B）=（A+B）（A-B）.二项展开式成立：（A B f C ； ； B 等等/ i 前面两式成立还是 A和B可交换的充分必要条件（3）乘积矩阵的列向量组和行向量组设A是m n矩阵B是n s矩阵，A的列向量组为1， 2,，n, B的列向量组为1， 2,，s, AB的列向量组为1，2,，s，则根据矩阵乘法的定义容易看出 （也是分块法则的特殊情形）：1AB的每个列向量为：i=A i, i=1,2，,s.即A 1, 2,，s）= （A j A 2，,A s）2=（b1,b2,bn）T,则A = b1 1+b

7、2 2+bn n应用这两个性质可以得到 :如果 i=（b 1i ,b 2i,b ni）T,贝Vi =A I =b1i 1 +b2i 2+bni n.即:乘积矩阵 AB的第i个列向量i是A的列向量组1, 2,，n的线性组合， 组合系数就是 B的第i个列向量i的各分量。类似地，乘积矩阵AB的第i个行向量是B的行向量组的线性组合，组合系数 就是 A的第i个行向量的各分量。以上规律在一般教材都没有强调 ，但只要对矩阵乘法稍加分析就不难得出 它们无论在理论上和计算中都是很有用的 矩阵的各行向量， 用对角矩阵从右侧乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各列向量。11a1A22a2mm n33

8、a3m 44a4A m a1 a2 a3 a41 a12&2 3&3 4&4m2数量矩阵kE乘一个矩阵相当于用 k乘此矩阵；单位矩阵乘一个矩阵仍等于该矩阵。3两个同阶对角矩阵的相乘只用把对角线上的对应元素相乘。4求对角矩阵的方幕只需把对角线上的每个元素作同次方幕。5、矩阵的行列式A为n阶方阵，由A的元素所构成的行列式称为 A的行列式，表示为| A|。若A的行列式|A| 0,称A为非奇异方阵，|A|=0，称A为奇异方阵|AB|=|A|B| |cA|=Cn|A|.6矩阵的转置把一个m n的矩阵A行和列互换，得到的n m的矩阵称为 A的转置，记作A T（或A ）。有以下规律：（At）t= a.（A+

9、B） T=AT+BT.（cA）T=cAT （AB） T=BTAT.|AT|=|A|7、矩阵的等价定义：两个矩阵如果可以用初等变换互相转化 ，就称它们等价.矩阵的等价的充分必要条件为它们类型相同 ，秩相等.命题：两个m*n矩阵A与B等价的充要条件是存在 m阶满秩矩阵P 及n阶满秩矩阵Q,使得A=PBQ8、矩阵方程和可逆矩阵（伴随矩阵）（1）矩阵方程矩阵不能规定除法，乘法的逆运算是解下面两种基本形式的 矩阵方程：（I）AX =B. （II） XA =B.这里假定A是行列式不为0的n阶矩阵，在此条件下，这两个方程的解都是存在并且唯一的（否则解的情况比较复杂.）。当B只有一列时，（1）就是一个线性方程

10、组.由克莱姆法则知它有唯一解.如果B有s列，设B=（ 1, 2,s）,则X也应该有s列，记X=（X,X2,Xs）, 则有AX= i,i=1,2,s,这是s个线性方程组，由克莱姆法则 ，它们都有唯一解，从而AX =B有唯一解。这些方程组系数矩阵都是 A，可同时求解，即得（I）的解法将 A和 B并列作矩阵（A|B），对它作初等行变换，使得 A变为单位矩阵，此时B变为解X （A|B） （E|X）。（II）的解法：对两边转置化为（I）的形式:atxt=bt，再用解（I）的方法求出XT，转 置得 X.： （At|Bt） （E|Xt）矩阵方程是历年考题中常见的题型，但是考试真题往往并不直接写成 （I）或（

11、II）的形式，要用恒等变形简化为以上基本形式再求解。（2）可逆矩阵的定义与意义设A是n阶矩阵，如果存在 n阶矩阵B，使得AB =E， BA = E，则称A 为可逆矩阵，此时 B是唯一的，称为 A的逆矩阵，通常记作 A-1。如果A可逆，则A在乘法中有消去律：AB=O B=0; AB=AC B=C.（左消去律）；BA=O B=0; BA=CA B=C.（右消去律）如果A可逆，则A在乘法中可移动（化为逆矩阵移到等号另一边 ）：AB=C B=A-1C，BA = C B =CA -1由此得到基本矩阵方程的逆矩阵解法：（I） AX=B 的解 X=A-1B （II） XA =B 的解 X= BA-1.这种解

12、法想法自然，好记忆，但是计算量比初等变换法大 （多了一次矩阵乘积运算）.（3）矩阵可逆性的判别与性质定理 n阶矩阵A可逆|A| 0.证明 充分性：对AA-1 = E两边取行列式，得|A|A-1|=1,从而|A| 0.（并且|A-1|=|A|-1.）必要性：因为|A| 0,矩阵方程AX = E和XA = E都有唯一解.设B,C分别是它们的解,即AB=E, CA = E.事实上B=C（B=EB=CAB=CE=C）,于是从定义得至U A可逆. 推论 如果A和B都是n阶矩阵，则AB=E BA=E.于是只要AB=E（或BA=E）一式成立，则A和B都可逆并且互为逆矩阵. 可逆矩阵有以下性质：如果A可逆，则

13、A-1也可逆，并且（A-1）-1=A. At也可逆，并且（At）-1=（A-1）t.3当c 0时,cA也可逆,并且（cA）-1=c-1A-1.4对任何正整数k, Ak也可逆，并且（Ak）-1=（A-1）k.（规定可逆矩阵A的负整数次方 幕 A-k=（Ak）-1=（A-1）k.）5如果A和B都可逆，则AB也可逆，并且（AB ）-1=B-1A-1.（请自己推广到多个可 逆矩阵乘积的情形.）6初等矩阵都是可逆矩阵，并且E（i,j） -1= E（i,j）, E（i（c）-1=E（i（c-1）, E（i,j（c） -1= E（i,j（-c）.逆矩阵的计算和伴随矩阵 计算逆矩阵的初等变换法当A可逆时，A-1是矩阵方程AX = E的解,于是可用初等行变换或列变换求 A-1：初等行变换：A| E E | A 1A E初等列变换:- 巳E A 1这个方法称为求逆矩阵的初等变换法.它比下面介绍的伴随矩阵法简单得多 .伴随矩阵和A-1有密切关系。基本公式: AA*=A*A=|A|E. A-1=A*/|A|,即 A*=|A|A-1.因此可通过求 A*来计算A1.这就是求逆矩阵的伴随矩阵法 .和初等变换法比较，伴随矩阵法的计算量要大