专题04 如何由数列前n项和Sn求数列通项an解析版Word格式文档下载.docx

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，

两式作差可得：

，即，，

结合可得：

则数列是首项为，公比为的等比数列，

据此有：

，.

本题选择A选项.

4．（2020·

海南省高三）已知数列的前项和为，且，则等于（）

A．B．0C．2D．4

【解析】因为，

所以当时，，

两式相减得，令，得.故选：

C.

5．（2020·

河南省高三期末）已知数列满足，则（）

【解析】.

当时，；

当时，由，

可得，

两式相减，可得，故，

因为也适合上式，所以.

依题意，，

故.

故选：

二、填空题

6．（2020·

山西省高三期末）已知数列的前项和为，若，则______.

【答案】

【解析】

当时，满足通项公式，故答案为

7．（2020·

黑龙江省高考模拟）已知数列的前项和满足，.数列的前项和为，则满足的最小的值为______．

【答案】7

【解析】根据题意，数列{an}满足Sn＝3an﹣2，①

当n≥2时，有Sn﹣1＝3an﹣1﹣2，②，

①﹣②可得：

an＝3an﹣3an﹣1，变形可得2an＝3an﹣1，

当n＝1时，有S1＝a1＝3a1﹣2，解可得a1＝1，

则数列{an}是以a1＝1为首项，公比为的等比数列，则an＝（）n﹣1，

数列{nan}的前n项和为Tn，则Tn＝1+23×

（）2+……+n×

（）n﹣1，③

则有Tn2×

（）2+3×

（）3+……+n×

（）n，④

③﹣④可得：

Tn＝1+（）+（）2+……×

（）n﹣1﹣n×

（）n＝﹣2

（1）﹣n×

（）n，

变形可得：

Tn＝4+（2n﹣4）×

若Tn＞100，即4+（2n﹣4）×

（）n＞100，

分析可得：

n≥7，故满足Tn＞100的最小的n值为7．

8．（2020·

湖南省长郡中学高三月考）已知数列的前项和为，则______．

【解析】当时，由，得，

∴，即，

∴，

又，

∴当时，．

又，不满足上式，

所以所求通项公式为．

故答案为．

9．（2020·

广东省高三月考）设数列的前项和为.若，，，则______；

______．

【答案】1121

【解析】由，解得，，

当时，由已知可得：

，①

，②

①－②得，∴，又，

∴是以为首项，以为公比的等比数列．

∴.故答案为:

3,121

10．（2020·

江苏省海安高级中学高三）设Sn为数列{an}的前n项和，若Sn＝nan﹣3n（n﹣1）（n∈N*），且a2＝11，则S20的值为_____．

【答案】1240

【解析】由S2＝a1+a2＝2a2﹣3×

2（2﹣1），a2＝11，可得a1＝5．

当n≥2时，由Sn＝nan﹣3n（n﹣1）＝n（Sn﹣Sn﹣1）﹣3n（n﹣1），

可得（n﹣1）Sn﹣nSn﹣1＝3n（n﹣1），

∴，∴数列是首项，公差为3的等差数列，

∴5+3×

19＝62，∴S20＝1240.故答案为：

1240.

11．（2020·

河南省南阳中学高三月考）已知数列的前项和为，点在函数的图像上，则数列的通项公式为.

，当n=1,,满足，.

12．（2020·

全国高三专题练习）已知数列的前项和为，且满足，_______________.

【解析】当时有得，当时，①，又②，②－①得整理得；

于是得，得，得，…，，；

故答案为：

．

三、解答题

13．（2020·

山西省高三期末）已知数列的前项和为，满足.

（Ⅰ）证明：

是等比数列；

（Ⅱ）求的值.

（I）见解析；

（II）

（I）由①

当时，可得

当时，则②

则①-②：

则

又

所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列

（II）由（I）可知：

所以

记

14．（2020·

安徽省六安一中高三月考）已知数列前项和为.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

（1）

（2）

（1）由题知=，

即，即，

，，

数列是首项为3，公比为3的等比数列，

，；

（2）由

（1）知，，

设，①

②

①-②得，，

.

15．（2020·

山东省高三月考）已知数列的前项和为，且，数列满足，.

（I）求数列的通项公式；

（Ⅱ）记数列的前项和为，证明：

（Ⅰ）；

（Ⅱ）见解析

（I）由，当时，，两式相减得，

所以数列是公比为2的等比数列，而，得，

的通项公式为.

（Ⅱ）由，得，

即，

所以.

16．（2020·

福建省高三期末）记为数列的前n项和.已知，.

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和.

（1）当时，，所以或（不合，舍去）.

因为①，所以当时，②，

由①－②得，

又，所以.

因此是首项为4，公差为3的等差数列.

（2）由

（1）得，

17．（2020·

海南省高三）已知是数列的前项和，且.

（2）设，求数列的前项和.

（1）；

（2）

（1）因为，所以.

相减得，所以，

所以.又，解得，

所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，

即的通项公式为.

（2）由

（1）可得.

18．（2020·

北京市十一学校高三月考）若对任意的正整数，总存在正整数，使得数列的前项和，则称是“回归数列”.

（1）①前项和为的数列是否是“回归数列”?

并请说明理由；

②通项公式为的数列是否是“回归数列”?

（2）设是等差数列，首项，公差，若是“回归数列”，求的值；

（3）是否对任意的等差数列，总存在两个“回归数列”和，使得成立，请给出你的结论，并说明理由.

（1）①是；

②是；

（2）；

（3）见解析.

（1）①当时，，

当时，，当时，，，所以数列是“回归数列”；

②因为，所以前n项和，根据题意，

因为一定是偶数，所以存在，使得，

所以数列{}是“回归数列”；

（2）设是等差数列为，由题意可知：

对任意的正整数，总存在正整数，使得数列的前项和，即，取，得，解得，公差，所以，又；

（3）设等差数列=，

总存在两个回归数列，显然和是等差数列，使得，

证明如下：

数列{}前n项和，

时，为正整数，当时，，

所以存在正整数，使得，所以{}是“回归数列”，

数列{}前n项和，存在正整数，使得，所以{}是“回归数列”，所以结论成立.