学年北师大版数学选修12同步学案第一章 章末复习Word格式.docx
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三、独立事件
1．独立事件的概念
设A，B为两个事件，若P（AB）＝P（A）P（B），则称事件A与事件B相互独立．
2．相互独立事件与互斥事件的对比
互斥事件
相互独立事件
定义
不可能同时发生的两个事件
事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响
概率公式
P（A＋B）＝P（A）＋P（B）
P（AB）＝P（A）P（B）
四、独立性检验
1．2×
2列联表
设A，B为两个变量，每一变量都可以取两个值，得到表格
B
A
B1
B2
总计
A1
a
b
a＋b
A2
c
d
c＋d
a＋c
b＋d
n＝a＋b＋c＋d
其中，a表示变量A取A1，且变量B取B1时的数据，b表示变量A取A1，且变量B取B2时的数据；
c表示变量A取A2，且变量B取B1时的数据；
d表示变量A取A2，且变量B取B2时的数据．上表在统计中称为2×
2列联表．
2．统计量
χ2＝
3．独立性检验
当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的．
当χ2>
2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联．
3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联．
6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联.
类型一 回归分析
例1 如图所示的是某企业2011年至2017年污水净化量（单位：
吨）的折线图．
（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y和t的关系，请用相关系数加以说明；
（2）建立y关于t的回归方程，预测2019年该企业污水净化量．
附注：
参考数据：
＝54，
（ti－
）（yi－
）＝21，
≈3.74，
（yi－
）2＝18.
参考公式：
相关系数r＝
，回归方程y＝a＋bt中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为b＝
考点 线性回归分析
题点 线性回归方程的应用
解
（1）由题意，
＝4，
∴r＝
≈0.936.
∵0.936>
0.75，
故y与t之间存在较强的正相关关系．
（2）由题意，
＝54，b＝
，
a＝
＝54－
×
4＝51，
∴y关于t的回归方程为y＝
t＋51.
当t＝9时，y＝
9＋51＝57.75，预测2019年该企业污水净化量约为57.75吨．
反思与感悟 解决回归分析问题的一般步骤
（1）画散点图．根据已知数据画出散点图．
（2）判断变量的相关性并求回归方程．通过观察散点图，直观感知两个变量是否具有相关关系；
在此基础上，利用最小二乘法求回归系数，然后写出回归方程．
（3）实际应用．依据求得的回归方程解决实际问题．
跟踪训练1 某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差x（℃）与因患感冒而就诊的人数y，得到如下资料：
日期
昼夜温差x（℃）
就诊人数y（个）
1月10日
10
22
2月10日
11
25
3月10日
13
29
4月10日
12
26
5月10日
8
16
6月10日
6
该兴趣小组确定的研究方案是：
先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．
（1）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；
（2）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；
（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？
（参考公式：
b＝
）
解
（1）设抽到相邻两个月的数据为事件A.
试验发生包含的事件是从6组数据中选取2组数据，共有15种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两个月的数据的情况有5种，∴P（A）＝
（2）由数据求得
＝11，
＝24，由公式求得b＝
∴a＝
＝－
∴y关于x的线性回归方程为y＝
x－
（3）当x＝10时，y＝
<
2；
当x＝6时，y＝
2.
∴该小组所得线性回归方程是理想的．
类型二 条件概率与独立事件
例2
（1）一个盒子中有6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取一支，第一次取后不放回，若已知第一支是好的，则第二支也是好的概率为________．
答案
解析 设Ai（i＝1,2）表示“第i支是好的”．
由题意，得P（A1）＝
P（A1A2）＝
∴P（A2|A1）＝
（2）小张参加某电视台举办的百科知识竞赛的预选赛，只有闯过了三关的人才能参加决赛．按规则：
只有过了第一关，才能去闯第二关；
只有过了第二关，才能去闯第三关．对小张来说，过第一关的概率为0.8，如果不按规则去闯第一关，而直接去闯第二关能通过的概率为0.75，直接去闯第三关能通过的概率为0.5.
①求小张在第二关被淘汰的概率；
②求小张不能参加决赛的概率．
解 记“小张能过第一关”为事件A，“直接去闯第二关能通过”为事件B，“直接闯第三关能通过”为事件C，则P（A）＝0.8，P（B）＝0.75，P（C）＝0.5.
①小张在第二关被淘汰的概率为
P（A
）＝P（A）[1－P（B）]＝0.8×
（1－0.75）＝0.2.
②小张不能参加决赛的概率为1－P（ABC）＝1－P（A）·
P（B）P（C）＝1－0.8×
0.75×
0.5＝0.7.
反思与感悟
（1）要正确理解条件概率公式的意义，P（AB）为事件A，B同时发生的概率，P（A|B）表示在B发生的前提下，A发生的概率．
（2）在解决互斥事件、对立事件与独立事件的综合问题时，一般先利用独立事件的定义求出各互斥事件发生的概率，然后利用概率加法公式求概率．
（3）“至多”“至少”类题目可考虑利用对立事件的概率公式求解，以简化计算．
跟踪训练2 若某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一只20岁的这种动物，则它能活到25岁的概率是________．
答案 0.5
解析 设“动物活到20岁”为事件A，“活到25岁”为事件B，则P（A）＝0.8，P（B）＝0.4，由于AB＝B，所以P（AB）＝P（B）＝0.4.
所以20岁的动物活到25岁的概率为
＝0.5.
类型三 独立性检验思想及应用
例3 奥运会期间，为调查某高校学生是否愿意提供志愿者服务，用简单随机抽样方法从该校调查了60人，结果如下：
是否愿意提供志愿者服务
性别
愿意
不愿意
男生
20
女生
（1）用分层抽样的方法在愿意提供志愿者服务的学生中抽取6人，其中男生抽取多少人？
（2）你能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该高校学生是否愿意提供志愿者服务与性别有关？
下面的临界值表供参考：
P（χ2≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
独立性检验统计量χ2＝
，其中n＝a＋b＋c＋d.
考点 独立性检验思想的应用
题点 分类变量与统计、概率的综合性问题
解
（1）由题意，可知男生抽取6×
＝4（人）．
（2）χ2＝
≈6.667，由于6.667＞6.635，所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该高校学生是否愿意提供志愿者服务与性别有关．
反思与感悟 独立性检验问题的求解策略
通过公式χ2＝
先计算χ2的值，再与临界值表作比较，最后得出结论．
跟踪训练3 某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用茎叶图表示30人的饮食指数，如图所示．（说明：
图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；
饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主）．
（1）根据茎叶图，帮助这位同学说明其亲属30人的饮食习惯；
（2）根据以上数据完成下列2×
2列联表；
主食蔬菜
主食肉类
50岁以下
50岁以上
（3）在犯错误的概率不超过0.01的前提下，是否能认为“其亲属的饮食习惯与年龄有关”？
题点 独立性检验在分类变量中的应用
解
（1）30位亲属中50岁以上的人饮食多以蔬菜为主，50岁以下的人饮食多以肉类为主．
（2）2×
2列联表如表所示：
4
2
18
30
（3）χ2＝
＝10>
6.635，
故在犯错误的概率不超过0.01的前提下能够认为“其亲属的饮食习惯与年龄有关”．
1．下列相关系数r对应的变量间的线性相关程度最强的是（ ）
A．r＝0.90B．r＝0.5
C．r＝－0.93D．r＝0
考点 线性相关系数
题点 线性相关系数的应用
答案 C
2．某工程施工在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量X（单位：
mm）对工期延误天数Y的影响及相应的概率P如下表所示：
年降水量X
X<
100
100≤X<
200
200≤X<
300
X≥300
工期延误天数Y
5
15
概率P
0.4
0.2
0.1
0.3
在年降水量X至少是100的条件下，工期延误小于30天的概率为（ ）
A．0.7B．0.5C．0.3D．0.2
考点 条件概率的定义及计算公式
题点 直接利用公式求条件概率
答案 B
解析 设事件A为“年降水量X至少是100”，事件B为“工期延误小于30天”，则P（B|A）＝
＝0.5，故选B.
3．某化妆品公司为了增加其商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用x与销售利润y的统计数据如下表：
广告费用x（万元）
3
销售利润y（万元）
7
9
由表中数据，得线性回归方程l：
y＝bx＋a，则下列结论正确的是（ ）
A．b＜0B．a＜0
C．直线l过点（4,8）D．直线l过点（2,5）
考点 线性回归方程
题点 样本点中心的应用
解析 由表计算可得
＝8，b＝1.4＞0，a＝
＝8－1.
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