中考数学总复习 46 矩形菱形正方形 五年中考荟萃Word格式.docx

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时，平行四边形ABCD是矩形，当AC＝BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项正确；

C．∵四边形ABCD是平行四边形，∴当①AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形，当③AC＝BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项错误；

D．∵四边形ABCD是平行四边形，∴当②∠ABC＝90°

时，平行四边形ABCD是矩形，当④AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形，故此选项错误．

答案　B

3．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连结EF.若EF＝

，BD＝4，则菱形ABCD的周长为（　　）

A．4B．4

C．4

D．28

解析　有三角形的中位线的性质可得AC＝2EF＝2

，再由菱形的性质可得OA＝

，BO＝2，所以AB＝

＝

，所以周长＝4AB＝4

.

答案　C

4．，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4.点E在边AB上，点F在边CD上，点G，H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（　　）

A．2

B．3

C．5D．6

解析　连结EF交AC于O，由四边形EGFH是菱形，得到EF⊥AC，OE＝OF，由于四边形ABCD是矩形，得到∠B＝∠D＝90°

，AB∥CD，通过△CFO≌△AEO，得到AO＝CO，求出AO＝

AC＝2

，根据△AOE∽△ABC，即可得到结果．

5．）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，∠BOC＝60°

，顶点C的坐标为（m，3

），反比例函数y＝

的图象与菱形对角线AO交D点，连结BD，当DB⊥x轴时，k的值是（　　）

A．6

B．－6

C．12

D．－12

解析　首先过点C作CE⊥x轴于点E，由∠BOC＝60°

），可求得OC的长，又由菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，可求得OB的长，且∠AOB＝30°

，继而求得DB的长，则可求得点D的坐标，又由反比例函数y＝

的图象与菱形对角线AO交D点，即可求得答案．

二、填空题

6．）如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E.若∠CBF＝20°

，则∠AED等于________度．

解析　根据正方形的性质得出∠BAE＝∠DAE，再利用SAS证明△ABE与△ADE全等，再利用三角形的内角和解答即可．

答案　65

7．）如图，菱形ABCD的边长为15，sin∠BAC＝

，则对角线AC的长为________．

解析　连结BD，交AC于点O，

∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.在Rt△AOB中，

∵AB＝15，sin∠BAC＝

，

∴sin∠BAC＝

∴BO＝9，∴AB2＝OB2＋AO2，

∴AO＝

＝12，

∴AC＝2AO＝24.

答案　24

8．如图，在菱形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PE⊥AB于点E，若PE＝3，则点P到AD的距离为________．

解析　由菱形的性质：

“菱形的对角线平分每一组对角”得AC平分∠DAB，∵PE⊥AB于点E，若PE＝3，∴点P到AD的距离＝PE＝3.

答案　3

9．）边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC的面积为______．

解析　过点C作CD和CE垂直正方形的两个边或其延长线，垂足分别为D，E，如图，则四边形DBEC是矩形，

∴CE＝DB＝

∴△ABC的面积＝

×

1×

答案　

三、解答题

10．★）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF＝DE，AF和DE相交于点G.

（1）观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角；

（2）选择图中与∠AED相等的任意一个角，并加以证明．

解　

（1）与∠AED相等的角有：

∠BFA，∠GAD，∠CDE；

（2）选∠AED＝∠BFA.

证明：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠DAE＝∠B＝90°

，DA＝AB.

在Rt△DAE与Rt△ABF中，

DA＝AB，AF＝DE，

∴Rt△DAE≌Rt△ABF.

∴∠AED＝∠BFA.

11．）如图1，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处，再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处，如图2.

（1）求证：

EG＝CH；

（2）已知AF＝

，求AD和AB的长．

（1）证明　由折叠知AE＝AD＝EG，BC＝CH.

由矩形ABCD知AD＝BC，

∴EG＝CH.

（2）解　∵∠ADE＝45°

，∠FGE＝∠A＝90°

，AF＝

∴DG＝

，DF＝2，

∴AD＝2＋

由折叠知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，

∴∠2＋∠4＝90°

，∠1＋∠3＝90°

∵∠1＋∠AFE＝90°

∴∠3＝∠AFE.

又∵∠A＝∠B＝90°

由

（1）知，AE＝BC，

∴△EFA≌△CEB，

∴AF＝BE，

∴AB＝AE＋BE＝2＋

＋

＝2＋2

.

B组　

1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°

，则∠AOB的大小为（　　）

A．30°

　　　　　　B．60°

C．90°

D．120°

解析　由矩形的性质可得∠ABC＝90°

，AO＝OB，又∵∠ACB＝30°

∴∠BAC＝60°

，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60°

.故选B.

2．菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是（　　）

A．10B．8C．6D．5

解析　∵菱形的两条对角线长分别是6和8，对角线互相垂直平分，∴菱形的边长为

＝5，故选D.

3．）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3.H是AF的中点，那么CH的长是（　　）

A．2.5B.

C.

D．2

解析　法一　取BE的中点M，连结HM，∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形，BC＝1，CE＝3，

∴AB⊥BE，FE⊥BE，∴AB∥FE，∵H是AF的中点，∴HM＝

（AB＋EF）＝

（1＋3）＝2，HM∥FE，∴HM⊥BE.∵BM＝

（BC＋CE）＝2，∴CM＝BM－BC＝2－1＝1，在Rt△HMC中，HC＝

，故选B.

法二　连结AC，CF，则∠ACB＝∠FCE＝45°

∴∠ACF＝90°

.∵AC＝

，CF＝3

∴AF＝

＝2

∵H是AF的中点，

∴HC＝

AF＝

4．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上，若AB＝6，BC＝9，则BF的长为（　　）

A．4　　　　　　　　　B．3

C．4.5D．5

解析　设BF＝x，则C′F＝CF＝9－x.∵C′是AB的中点，AB＝6，∴BC′＝3.在Rt△BFC′中，BF2＋C′B2＝C′F2，

∴32＋x2＝（9－x）2，解得x＝4.故选A.

答案　A

5．）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°

，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（　　）　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．1　　　B.

C．4－2

　　　D．3

－4

解析　由∠BAE＝22.5°

，∠ADB＝45°

，易知△ADE是等腰三角形，△BEF是等腰直角三角形，所以DE＝AD＝4，BE＝4

－4，设EF＝x，则2x2＝（4

－4）2，解得x＝4－2

，故选C.

6．）如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α是________度时，两条对角线长度相等．

解析　当∠α是90°

时，平行四边形框架是矩形，由矩形的性质可知，对角线长度相等．

答案　90

7．）如图，矩形ABCD中，AB＝8，点E是AD上的一点，有AE＝4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G，若G是CD的中点，则BC的长是________．

解析　因为G是CD的中点，所以DG＝CG＝4.在△DGE与△CGF中，

所以△DGE≌△CGF.所以CF＝DE，FG＝EG.令BC＝AD＝x，则CF＝DE＝x－4，所以BF＝2x－4，在Rt△DGE中，根据勾股定理可得EG＝

.又因为HF垂直平分BE，所以EF＝BF，BF2＝（2EG）2，所以（2x－4）2＝4[（x－4）2＋42]，解得x＝7，故答案为7.

答案　7

8．）如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝BF＝1，小球P从点E出发沿直线向点F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球P第一次碰到点E时，小球P所经过的路程为________．

解析　依题意，得到右图．易发现小球是沿着E→F→G→H→M→N→E的轨迹来运动的，故需分别求出线段EF，FG，GH，HM，MN，NE的长度，同时通过观察图形，易得到EF＝HM＝

，GH＝EN＝

，FG＝MN＝

，∴当小球P第一次碰到点E时，小球P所经过的路程为6

答案　6

9．）如图，四边形ABCD与四边形AEFG都是菱形，其中点C在AF上，点E，G分别在BC，CD上，若∠BAD＝135°

，∠EAG＝75°

，则

＝________．

解析　作EH⊥AB于H，由对称性知，图形关于AF对称，

∴∠BAE＝∠DAG＝

（∠BAD－∠EAG）＝30°

，∠B＝180°

－∠BAD＝45°

.在Rt△BHE中，∠B＝∠BEH＝45°

，设BH＝x，则EH＝BH＝x，在Rt△EHA中，∠BAE＝30°

，则AE＝2HE＝2x，AH＝

x.∴AB＝BH＋AH＝x＋

x，故

10．）已知：

如图，在▱ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF.

△DOE≌△BOF；

（2）当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？

请说明理由．

（1）证明　∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BO＝DO，AD∥BC.

∴∠EDB＝∠FBO.

∵O为BD中点，

∴BO＝DO.

在△EOD和△FOB中，