新人教版必修二高中数学1示范教案211平面Word文件下载.docx

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2.2.1

直线与平面平行的判定

2.2.3

直线与平面平行的性质

2.2.2

2.2.4

平面与平面平行的判定平面与平面平行的性质

2.3.1

直线与平面垂直的判定

2.3.2

平面与平面垂直的判定

2.3.3

直线与平面垂直的性质

2.3.4

平面与平面垂直的性质

本章复习

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系

2.1.1平面

整体设计

教学分析

平面是最基本的几何概念,教科书以课桌面、黑板面、海平面等为例,对它只是加以描述而不定义.立体几何中的平面又不同于上面的例子,是上面例子的抽象和概括,它的特征是无限延展性.为了更准确地理解平面,教材重点介绍了平面的基本性质,即教科书中的三个公理,这也是本节的重点.另外,本节还应充分展现三种数学语言的转换与翻译,特别注意图形语言与符号语言的转换.

三维目标

1.正确理解平面的几何概念,掌握平面的基本性质.

2.熟练掌握三种数学语言的转换与翻译,结合三个公理的应用会证明共点、共线、共面问题.

3.通过三种语言的学习让学生感知数学语言的美,培养学生学习数学的兴趣.

重点难点

三种数学语言的转换与翻译,利用三个公理证明共点、共线、共面问题.

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.（情境导入）

大家都看过电视剧《西游记》吧，如来佛对孙悟空说：

“你一个跟头虽有十万八千里，但不会跑出我的手掌心”.结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心，孙悟空可以看作是一个点，他的运动成为一条直线，大家说如来佛的手掌像什么？

对，像一个平面，今天我们开始认识数学中的平面.

思路2.（事例导入）

观察长方体（图1），你能发现长方体的顶点、棱所在的直线，以及侧面、底面之间的关系吗？

图1

长方体由上、下、前、后、左、右六个面围成.有些面是平行的，有些面是相交的；

有些棱所在的直线与面平行，有些棱所在的直线与面相交；

每条棱所在的直线都可以看成是某个面内的直线等等.空间中的点、直线、平面之间有哪些位置关系呢？

本节我们将讨论这个问题.

推进新课

新知探究

提出问题

①怎样理解平面这一最基本的几何概念;

②平面的画法与表示方法;

③如何描述点与直线、平面的位置关系？

④直线与平面有一个公共点，直线是否在平面内？

直线与平面至少有几个公共点才能判断直线在平面内？

⑤根据自己的生活经验，几个点能确定一个平面？

⑥如果两个不重合的平面有一个公共点，它们的位置关系如何？

请画图表示;

⑦描述点、直线、平面的位置关系常用几种语言？

⑧自己总结三个公理的有关内容.

活动：

让学生先思考或讨论，然后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.对有困难的学生可提示如下：

①回忆我们学过的最基本的概念（原始概念），如点、直线、集合等.

②我们的桌面看起来像什么图形？

表示平面和表示点、直线一样，通常用英文字母或希腊字母表示.

③点在直线上和点在直线外；

点在平面内和点在平面外.

④确定一条直线需要几个点？

⑤引导学生观察教室的门由几个点确定.

⑥两个平面不可能仅有一个公共点，因为平面有无限延展性.

⑦文字语言、图形语言、符号语言.

⑧平面的基本性质小结.

讨论结果：

①平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是最基本的概念（不加定义的原始概念），只能通过对它描述加以理解，可以用它定义其他概念，不能用其他概念来定义它，因为它是不加定义的.平面的基本特征是无限延展性，很像如来佛的手掌（吴承恩的立体几何一定不错）.

②我们的桌面看起来像平行四边形，因此平面通常画成平行四边形，有些时候我们也可以用圆或三角形等图形来表示平面，如图2.平行四边形的锐角通常画成45°

，且横边长等于其邻边长的2倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把它遮挡的部分用虚线画出来，如图3.

图2图3

平面的表示法有如下几种：

（1）在一个希腊字母α、β、γ的前面加“平面”二字，如平面α、平面β、平面γ等，且字母通常写在平行四边形的一个锐角内（图4）；

（2）用平行四边形的四个字母表示，如平面ABCD（图5）；

（3）用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如平面AC（图5）.

图4图5

③下面我们总结点与直线、平面的位置关系如下表：

点A在直线a上（或直线a经过点A）

A∈a

元素与集合间的关系

点A在直线a外（或直线a不经过点A）

A

a

点A在平面α内（或平面α经过点A）

A∈α

点A在平面α外（或平面α不经过点A）

α

④直线上有一个点在平面内，直线没有全部落在平面内（图7），直线上有两个点在平面内，则直线全部落在平面内.例如用直尺紧贴着玻璃黑板，则直尺落在平面内.

公理1：

如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.

这是用文字语言描述，我们也可以用符号语言和图形语言（图6）描述.

空间图形的基本元素是点、直线、平面.从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来表示.规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示，点用一个大写的英文字母表示，而平面则用一个小写的希腊字母表示.公理1也可以用符号语言表示：

若A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则a

α.

图6图7

请同学们用符号语言和图形语言描述直线与平面相交.

若A∈a,B∈a,且A

α,B∈α,则a

α.如图（图7）.

⑤在生活中，我们常常可以看到这样的现象：

三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等.

上述事实和类似的经验可以归纳为下面的公理.

公理2：

经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.

如图（图8）.

图8

公理2刻画了平面特有的性质，它是确定一个平面位置的依据之一.

⑥我们用平行四边形来表示平面，那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢？

不是，因为平面是无限延展的.直线是可以落在平面内的，因为直线是无限延伸的，如果平面是有限的，那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢？

所以平面具有无限延展的特征.

现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象（课件演示给学生看）.

问：

两个平面会不会只有一个公共点？

不会，因为平面是无限延展的，应当有很多公共点.正因为平面是无限延展的，所以有一个公共点，必有无数个公共点.那么这无数个公共点在什么位置呢？

可见，这无数个公共点在一条直线上.

这说明，如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理3.如图（图9），用符号语言表示为：

P∈α,且P∈β

α∩β=l,且P∈l.

图9

公理3告诉我们，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交，且其交线一定过这个公共点.也就是说，如果两个平面有一个公共点，那么它们必定还有另外一个公共点，只要找出这两个平面的两个公共点，就找出了它们的交线.

由此看出公理3不仅给出了两个平面相交的依据，还告诉我们所有交点在同一条直线上，并给出了找这条交线的方法.

⑦描述点、直线、平面的位置关系常用3种语言:

文字语言、图形语言、符号语言.

⑧“平面的基本性质”小结：

名称

作用

公理1

判定直线在平面内的依据

公理2

确定一个平面的依据

公理3

两平面相交的依据

应用示例

思路1

例1如图10，用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.

图10

学生自己思考或讨论，再写出（最好用实物投影仪展示写的正确的答案）.教师在学生中巡视，发现问题及时纠正，并及时评价.

解：

在

（1）中，α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.

在

（2）中，α∩β=l,a

α,b

β,a∩l=P,b∩l=P.

变式训练

1.画图表示下列由集合符号给出的关系：

（1）A∈α,B

α,A∈l,B∈l;

（2）a

β,a∥c,b∩c=P,α∩β=c.

如图11.

图11

2.根据下列条件，画出图形.

（1）平面α∩平面β=l，直线AB

α，AB∥l，E∈AB，直线EF∩β=F，F

l;

（2）平面α∩平面β=a，△ABC的三个顶点满足条件:

A∈a，B∈α，B

a，C∈β，C

a.

答案：

如图12.

图12

点评：

图形语言与符号语言的转换是本节的重点，主要有两种题型：

（1）根据图形，先判断点、直线、平面的位置关系，然后用符号表示出来.

（2）根据符号，想象出点、直线、平面的位置关系，然后用图形表示出来.

例2已知直线a和直线b相交于点A.求证：

过直线a和直线b有且只有一个平面.

图13

证明：

如图13,点A是直线a和直线b的交点,在a上取一点B，b上取一点C，

根据公理2经过不在同一直线上的三点A、B、C有一个平面α，

因为A、B在平面α内，根据公理1，直线a在平面α内,

同理直线b在平面α内，即平面α是经过直线a和直线b的平面.

又因为A、B在a上，A、C在b上，所以经过直线a和直线b的平面一定经过点A、B、C.

于是根据公理2，经过不共线的三点A、B、C的平面有且只有一个，

所以经过直线a和直线b的平面有且只有一个.

求证：

两两相交且不共点的四条直线在同一平面内.

如图14，直线a、b、c、d两两相交，交点分别为A、B、C、D、E、F,

图14

∵直线a∩直线b=A,∴直线a和直线b确定平面设为α，即a,b

∵B、C∈a，E、F∈b,∴B、C、E、F∈α.

而B、F∈c，C、E∈d,∴c、d

α,

即a、b、c、d在同一平面内.

在今后的学习中经常遇到证明点和直线共面问题，除公理2外，确定平面的依据还有：

（1）直线与直线外一点.

（2）