最新人教版高中数学选修11《圆锥曲线与方程》单元检测8文档格式.docx

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B.不重合，但关于x轴对称

C.不重合，但关于y轴对称

D.不重合，但关于直线y=x对称

双曲线

=1的渐近线方程为y=±

x，双曲线

x.

y=

x与y=

x关于直线y=x对称，y=-

x与y=-

x关于直线y=x对称.

因此，选项D正确.

3.（2005全国高考Ⅱ，文5）抛物线x2=4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为（　　）

A.2B.3C.4D.5

由x2=4y知其准线方程为y=-1，据抛物线定义，点A与焦点的距离等于A与准线的距离，显然A的纵坐标为4.其距离为5.

4.（2005福建高考，文9）已知定点A、B，且｜AB｜=4，动点P满足｜PA｜-｜PB｜=3，则｜PA｜的最小值是（　　）

A.

B.

C.

D.5

由题作出示意图.

分析得出P在P′点处｜PA｜最小.

∴｜AO｜=2,｜OP′｜=

.

∴｜PA｜min=2+

=

C

5.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1,y1）、B（x2,y2）两点，若x1+x2=4,那么｜AB｜等于（　　）

A.10B.8C.6D.4

｜AB｜=x1+

+x2+

=x1+x2+p=4+2=6.

6.设F1和F2是双曲线

-y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°

，则△F1PF2的面积是（　　）

A.1B.

C.2D.

由

得

∴｜PF1｜·

｜PF2｜=2.

∴△F1PF2的面积为

｜PF1｜·

｜PF2｜=1.

A

7.动圆的圆心在抛物线y2=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则动圆必过点（　　）

A.（4，0）B.（2，0）

C.（0，2）D.（0，-2）

直线x+2=0为抛物线y2=8x的准线，由于动圆恒与直线x+2=0相切，所以圆心到直线的距离等于圆心到所过定点的距离，由抛物线的定义可知，定点为抛物线的焦点（2，0）.

B

8.（2006安徽高考，5）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆

=1的右焦点重合，则p的值为…（　　）

A.-2B.2C.-4D.4

椭圆

=1的右焦点为（2，0），所以抛物线y2=2px的焦点为（2，0），则p=4,故选D.

9.（2006湖南高考，7）过双曲线M：

x2-

=1的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且｜AB｜=｜BC｜，则双曲线M的离心率是（　　）

D.

据题意如图

设lAB:

y=x+1,

lOC:

y=bx,

lOB:

y=-bx,

得C点纵坐标是

B点纵坐标是

∵｜AB｜=｜BC｜,

∴

∴b=3,

∴e=

10.探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处.已知灯口的直径为60cm,灯深40cm，则抛物线的标准方程可能是（　　）

A.y2=

xB.y2=

x

C.x2=-

yD.x2=-

y

如果设抛物线的方程为y2=2px（p>

0），则抛物线过点（40，30），302=2p×

40,2p=

所以所求抛物线方程应为y2=

所给选项中没有y2=

x，但方程x2=-

y中的“2p”值为452，所以C选项符合题意.

11.（2006江苏高考，6）已知两点M（-2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足｜

｜·

｜

｜+

·

=0，则动点P（x,y）的轨迹方程为（　　）

A.y2=8xB.y2=-8x

C.y2=4xD.y2=-4x

解：

依题意可知P（x,y）,

则｜

=0

+（4,0）·

（x-2,y）=0

+4（x-2）=0

化简整理得,y2=-8x.

12.（2006全国高考Ⅰ，理8，文11）抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是（　　）

D.3

设（x0,y0）为抛物线y=-x2上任意一点，

∴y0=-x

∴d=

∴dmm=

二、填空题（本小题共4小题，每小题4分，共16分）

13.双曲线的渐近线方程为y=±

x,则双曲线的离心率为___________.

∵双曲线的渐近线方程为y=±

x,

14.抛物线y=

x2的焦点坐标是___________.

x2=4y,p=2，其焦点为（0，1）.

（0，1）

15.点P（6，1）平分双曲线x2-4y2=1的一条弦，则这条弦所在直线方程是___________.

设弦的两端点分别为A（x1,y1）、B（x2,y2），则x21-4y21=1,x22-4y22=1.

两式相减得（x1+x2）（x1-x2）-4（y1+y2）（y1-y2）=0.

∵AB的中点为P（6，1），

∴x1+x2=12,y1+y2=2.∴

∴直线AB的方程为y-1=

（x-6）,即3x-2y-16=0.

3x-2y-16=0

16.有一系列中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆，它们的离心率en=（

）n（n∈N），且都以x=1为准线，则所有椭圆的长轴之和为___________.

因

故所有椭圆的长轴之和为

三、解答题（本大题共6小题，满分74分）

17.（12分）已知直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于点A、B，求证：

OA⊥OB.

证法一：

将y=x-2代入y2=2x中，得（x-2）2=2x,

化简得x2-6x+4=0,∴x=3±

∴x=3+

时，y=1+5,x=3-

时，y=1-

∴kOA·

kOB=

=-1.∴OA⊥OB.

证法二：

同证法一得方程x2-6x+4=0.

∴x1+x2=6,x1·

x2=4.

∴y1·

y2=（x1-2）（x2-2）=x1·

x2-2（x1+x2）+4=-4.

18.（12分）A、B为椭圆x2+

y2=a2（a＞0）上的两点，F2为右焦点，若｜AF2｜+｜BF2｜=

a,且AB的中点P的横坐标为

，求该椭圆的方程.

设A、B、P三点到椭圆右准线的距离分别为d1、d2、d,则由椭圆的第二定义及几何性质得

｜AF2｜=ed1=

d1,｜BF2｜=

d2,

d=

又2d=d1+d2,

a-3=2d,

a=|AF2|+|BF2|=

（d1+d2）,

∴d1+d2=2a,∴

a-3=2a,

∴a=6,

∴该椭圆的方程为x2+

y2=36.

19.（12分）已知双曲线x2-

=1与点P（1，2），过P点作直线l与双曲线交于A、B两点，若P为AB的中点.

（1）求直线AB的方程；

（2）若Q（1，1），证明不存在以Q为中点的弦.

（1）解：

设过点P（1，2）的直线AB的方程为y-2=k（x-1）,

代入双曲线方程并整理得（2-k2）x2+（2k2-4k）x-（k2-4k+6）=0.

设A（x1,y1）,B（x2,y2），则有x1+x2=-

由已知

=1,

=2,解得k=1.

又k=1时，Δ=（2k2-4k）2+4（2-k2）（k2-4k+6）=16>

0,从而直线AB的方程为x-y+1=0.

（2）证明：

设过Q（1，1）点的直线方程为y-1=k（x-1）,

代入双曲线方程并整理，得（2-k2）x2-2k（1-k）x-（k2-2k+3）=0.

由题知

=2,解得k=2.

而当k=2时，Δ=［-2k（1-k）］2+4（2-k2）（k2-2k+3）=-8<

0.

∴这样的直线不存在.

20.（12分）（2006江苏扬州中学模拟，23）已知倾斜角为45°

的直线l过点A（1，-2）和点B，其中B在第一象限，且｜AB｜=3

（1）求点B的坐标；

（2）若直线l与双曲线C：

-y2-1（a＞0）相交于不同的两点E、F，且线段EF的中点坐标为（4，1），求实数a的值.

（1）直线AB方程为y=x-3,设点B（x,y）,

及x>

0，y>

0,得x=4,y=1,∴点B的坐标为（4，1）.

（2）由

（

-1）x2+6x-10=0.

设E（x1,y1）,F（x2,y2）,则x1+x2=

=8,得a=2,此时，Δ>

0,∴a=2.

21.（12分）（2006上海高考，20）过抛物线y2=4x的准线与对称轴的交点作直线，交抛物线于M、N两点，问直线的倾斜角多大时，以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点？

抛物线y2=4x的准线与对称轴的交点为（-1，0）.设直线MN的方程为y=k（x+1）.

得k2x2+2（k2-2）x+k2=0.

∵直线与抛物线交于M、N两点，∴Δ=4（k2-2）2-4k4>

0,即k2<

|k2-2|,k2<

1,-1<

k<

1.

设M（x1,y1）,N（x2,y2），抛物线焦点为F（1，0）.

∵以线段MN为直径的圆经过抛物线焦点，

∴MF⊥NF.

即y1y2+x1x2-（x1+x2）+1=0.

∴k=±

即直线的倾斜角为arctan

或π-arctan

时，以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点.

22.（14分）（2006四川高考，文22）已知两定点F1（-

，0）、F2（

，0），满足条件｜

｜-｜

｜=2的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点.

（1）求k的取值范围；

（2）如果｜AB｜=6

，且曲线E上存在点C，使

+

=m

求m的值和△ABC的面积S.

（1）由双曲线的定义可知，曲线E是以F1（-

，0）为焦点的双曲线的左支，且c=2,a=1,易知b=1.

故曲线E的方程为x2-y2=1（x<

0）.

设A（x1,y1），B（x2,y2）,由题意建立方程组

消去y,得（1-k2）x2+2kx-2=0.

又已知直线与双曲线左支交于A、B两点，有

解得-

<

-1.

（2）因为|AB|=

|x1-x2|

依题意得

=63.

整理后得28k4-55k2+25=0.

∴k2=

或k2=

但-

-1,∴k=-

故直线AB的方程为

x+y+1=0.

设C（xc,yc），由已知

得（x1,y1）+（x2,y2）=（mxC,myC）,

∴（xC,yC）=

（m≠0）.

又x1+x2=

=-4

y1+y2=k（x1+x2）-2=

-2=

=8,

∴点C（

将点C的坐标代入曲线E