变式问题教学的一些思考Word文件下载.docx

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变式方法1，往特殊的状态以及简单的方向变式，加强条件．

问题1-2：

如图1-1，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC，∠ACB，若∠ABC=40°

，∠ACB=80°

，求：

∠BOC的度数．

问题1-3：

如图1-1，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC，∠ACB，若∠BAC=60°

从这两个特殊值入手，有助于学生过渡到一般情况，也就是问题1-1．

变式方法2，往改变图形的位置的方向变式，改变特征条件的位置．

问题1-4：

如图1-2，在△ABC中，AO、BO分别平分∠BAC、∠ABC，求证：

∠BOA－（1/2）∠BCA的值是定值．

问题1-5：

如图1-2，在△ABC中，AO、CO分别平分∠BAC、∠ACB，求：

∠COA－（1/2）∠ABC的值．

这两个问题还改变了问题设置的提问方式．

变式方法3，往逆命题的方向变式，对调原题的条件与结论的位置．

问题1-6：

如图1-1，在△ABC中，BO平分∠ABC，∠BOC=90°

求证：

CO平分∠ACB

变式方法4，运用类比与对称思维变式，改变内角平分线的条件为外角平分线．

问题1-7：

如图1-3，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，求：

∠BPC：

∠BAC的值．

问题1-8：

如图1-4，在△ABC中，BQ平分∠DBC，CQ平分∠BCF，

求：

∠BQC与∠BAC的数量关系

这两个问题，最好需要增加一个知识储备：

三角形的外角等于不相邻的两个内角和．使用这个定理证明的思路更快．

如果把这两个变式问题的图形和原来的图形画在一起，更容易发现这些问题的关联．

如图1-5，CO，CP分别平分一对邻补角∠ACB，∠ACE，易证∠OCP=90°

．同理∠PBQ=90°

．

CP，CQ分别平分一对对顶角∠ECB，∠ACE，易证P、C、Q三点共线．

∠BOC是Rt△OCP的外角，所以∠BOC=90°

+∠BPC

∠BQC是Rt△BQP的内角，所以∠BQC=90°

-∠BPC

因此这个题组的探究有助于学生发现数学知识的重要关联,而不是孤立的学习数学知识与数学问题．

变式方法5，往改变研究的着眼点入手，从研究角的数量问题，研究三角平分线共点．

问题1-9：

如图1-2，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC，∠ACB，求证：

AO平分∠BAC．

问题1-10：

如图1-6，在△ABC中，BQ、CQ分别平分∠DBC，∠FCB，求证：

AQ平分∠BAC．

问题1-11：

如图1-7，在△ABC中，BP、CP分别平分∠ABC，∠ACE，求证：

AP平分∠GAC．

这三个问题需要新增知识储备：

角平分线的性质定理（角的平分线上的点到角两边的距离相等）与判定定理（角的内部，到角两边的距离相等的点在角的平分线上）

变式方法5-2，还可以研究面积问题．

问题1-12：

如图1-1，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC，∠ACB，若△ABC的周长为20，O到BC的距离为4，求：

△ABC的面积．

问题1-13：

如图1-6，在△ABC中，在△ABC中，BQ、CQ分别平分∠DBC，∠FCB，若△ABC的周长为20，△ABC的面积为30，Q到BC的距离为4，求：

BC的长．

变式方法6，增加图形条件，加入其它模型结构，研究一些周长问题或者线段的数量关系。

问题1-14：

如图1-8，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC，∠ACB，过O的直线NM∥BC，M，N分别在边AB，AC上，求证：

△ABC与△AMN的周长之差=BC．

问题1-15：

条件同问题1-14，求证：

△AMN与△ABC的周长之比+△BOC与△ABC的面积之比=1．

变式方法7，重复使用模型特征构造新问题，甚至构造一般化的n等分线模型．

如图1-9，在△ABC中，BK、BJ三等分∠ABC，CK、CJ三等分∠ACB，若∠BAC=80°

∠BKC，∠BKJ的度数．

问题1-16：

如图1-10，在△ABC中，BH、BP、BT四等分∠ABC，CH、CP、CT四等分∠ACE，若∠BAC=80°

∠BHC、∠BTC的度数．

问题1-17（莫莱定理）：

如图1-11，在△ABC中，BU、BJ三等分∠ABC，CV、CJ三等分∠ACB，AU、AV三等分∠BAC，求证：

△UVJ是等边三角形．（这个问题属于高联难度的问题，只适合介绍给学生了解有关数学文化背景即可）

变式方法7，条件强化为特殊角，探究更丰富的内涵．

问题1-18：

如图1-12，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC，∠ACB，若∠BAC=60°

，

（1）求证：

OE=OF，BE+CF=BC．

（2）若∠ABC=40°

，求证：

BE=EC，BO+OE=BC．

问题1-19：

去掉部分图形【隐形化变式，常为竞赛题所用】，只余下△BEC，条件为在△BEC中，BE=EC，∠BEC=100°

，BO平分∠EBC，求证：

BO+OE=BC．

【备注：

这个特殊40-60-80°

的△ABC还有许多可以研究的问题，如蕴含的母子型相似，连接AO还有新的结论等等，以后再研究。

比如奥数教程八年级第六版P118例3例4，P125例3】

再举个例子，问题1-20：

（这是来自成都吴小平老师网名两把刷子的分享）

当然，这个双角平分模型问题的变式不仅仅只有这些。

这些难度不一的变式问题不是在一堂课中给学生学习，而是结合教学进度的不同节点，结合学生个体能力水平的不同发展，给学生课内外适当的学习内容。

而教师对这系列问题的研究有助于教师理解数学问题之间的横纵关联，有助于教师对数学难题寻根溯源，有助于教师做到因材施教，找到合适的入手点启发点拨学生的学习。

【以下是2016-10-9补充，并对前面做了一些修改。

】

【广州的苏德杰老师对我的这个小文章做了这样的指导，先附录其中，到时有空再梳理修改这个文章。

】“特殊化寻思路，一般化找规律，类比化觅相似。

老苏总结的教学深入浅出之道：

简化，透化，易化。

从此角度看，其它之变，可舍矣！

”（广州苏德杰语）

我的感悟：

变式要有方法可依，有脉络可循，还需要做到合理有度和有教育教学价值取向。

苏老师在委婉批评我的一些变式的怪异提问方式。

这实在是应试所害，不得已提出些怪异的设问，让学生从核心数学概念出发，理解好问题所求。

这样的题目设计也并非我的喜欢，玩文字游戏过多会削弱数学教育的核心价值。

教学之道，我想补充一点，“关联化”。

设计梳理这些难度不等的系列问题一个目的是为了梳理思考学习过的这些问题之间的内在关联，总结变式的方法技巧与价值取向。

另一个目的是总结该模型的一些解题经验：

1一生二，二生三双平分角导出第三平分，一些题目设计还会设计一些隐性的角平分条件，需要学生慧眼识别，从而应用该模型。

有关题目抽空再补充，比如此题，来自湖北武汉易怀老师的分享[其中A，B，D三点共线]

2导角利用有关特殊角的条件和有关模型，求出图形中的所有特殊角，从中发现图形之间的全等或相似关系，从而转化到更多的角的关系和线段的关系。

例如奥数教程八年级第六版P130的13题

3边角转化利用角平分线的性质或判定定理构造角平分线上的点到角两边的垂线段，从这些垂线段相等出发，可以转化出面积的有关问题。

例如这题可以用等面积法

另外的目的是为了给个体差异化非常突出的学生设计适合的学习内容。

另外苏老师还指出用运动的观点来看变式，我思悟：

运动与函数思想相结合，运动与图形变换相结合。

实际上加入坐标系背景，设计一些坐标轴上的动点，对这个系列问题还可以有新的变式。

暂时就不整理这个问题了。

2016-10-11补充一些题目，作为专题的练习。

刷子几何千题大典第013题参考答案：

武汉方四海老师分享的一些题目，可以用到这里的一些结论：

如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∠B的两条三等分线交AD于E、G，交AC于F、H．求证：

EH∥GC．

变式问题教学的粗浅思考02

多题一法，同模通法”是数学解题与习题教学中非常重要的教学方法，也是学生学习的方法．对各个数学知识模块，进行这三个维度的探究教学，非常有益于学生的数学思维能力的培养．本文主要侧重于思考与研究常见的几何特征模型的一些变式问题的一些结论，并介绍一点对问题变式的改编方法的思考．①②③④⑤⑥←→

主题2：

关于一些常见的含有平分角结构的特征图形的互逆命题组

问题2-1-1：

如图2-1-1，（点D在OA上），有三个命题：

①OB平分∠AOC，②BD∥OC，③OD=DB．

则①②③知二可证其余，即①②→③，②③→①，①③→②．

这三个问题显然互为逆命题，且易证为真命题．可以简单归纳为“平分角”“平行”“等腰”知二可得第三．这三个命题的证明显然都是从角的等量关系来转化．其中

而这三组“角的等量关系”，显然可以从其中任意两个推出第三个．证明思路中可以看出角的等量关系可以与线的位置关系（平行的三线八角结构），线的数量关系（等边对等角及等角对等边）相互转化．而几何证明，线角是核心元素，线角转化是重要方法技巧．

这个问题改变平行的位置特征，可以得到问题2-1-2：

如图2-1-2，（点E在OA反向延长线上），有三个命题：

①OB平分∠AOC，②BO∥EC，③OE=OC．

其证明思路与前一个问题几乎完全相同，稍有一些小区别，需要用到三角形外角定理证明比较简洁点．

问题2-2：

如图2-2，（点D在BC上），有四个命题：

①AB=AC（它等价于∠B=∠C，只写出其中一个），②AD⊥BC于D，③BD=CD，④AD平分∠BAC．

显然这个图形中，①②③④知二可证其余．其中①②→③④，①④→②③，①③→②④，就是三线合一定理．而②③→①是根据线段的垂直平分线的性质定理，于是再用三线合一可以推出④．

第五个真命题：

②④→①③，只需AAS证明△ABD≌△ACD，前面四个命题也是证明这两个三角形全等，只不过前面四个有教材的定理体系，可以直接使用有关结论．第五个命题不是定理．

第六个真命题：

②③→①④本质也是证明这两个三角形全等，只是所给条件满足SSA，不能直接证明，需要添辅助线来构造新的全等，最后转化出所证问题．有常见的几种证明方法．

方法1：

由③AD平分∠BAC的条件，构造角平分线上的点D到角两边的垂线段DH，DG．则DH=DG，接下来HL证明△BDH≌△CDG，从而∠B=∠C，等角对等边推出AB=AC，于是转化为前面的问题．

方法2（等面积法证明角平分线的另一个定理，教材中已经删去）：

辅助线同方法1，得出DH=DG，从而（S[△ABD]/S[△ACD]）=（AB/AC）．又△ABD与△ACD等底同高，得出（S[△ABD]/S[△ACD]）=（BD/DC）．所以（AB/AC）=（BD/DC）．再由②BD=CD知AB=AC，余下证明略．