高考数学专题突破数学方法特殊解法Word下载.docx

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]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。

为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。

如变量x、y适合条件x

＋y

＝r

（r>

0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。

均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝

＋t，y＝

－t等等。

我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。

如上几例中的t>

0和α∈[0,

]。

2．待定系数法

要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f（x）

g（x）的充要条件是：

对于一个任意的a值，都有f（a）

g（a）；

或者两个多项式各同类项的系数对应相等。

待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。

使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。

例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。

使用待定系数法，它解题的基本步骤是：

第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；

第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；

第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。

3．参数法

参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。

直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证。

换元法也是引入参数的典型例子。

辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的，联系的方式是丰富多采的，科学的任务就是要揭示事物之间的内在联系，从而发现事物的变化规律。

参数的作用就是刻画事物的变化状态，揭示变化因素之间的内在联系。

参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支。

运用参数法解题已经比较普遍。

参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题。

4．配方法

配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。

何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。

有时也将其称为“凑配法”。

最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。

它主要适用于：

已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解等问题。

二．命题趋势

配方法、待定系数法、换元法、参数法是几种常用的数学解题方法。

这些方法是数学思想的具体体现，是解决问题的手段，它们不仅有明确的内涵，而且具有可操作性，有实施的步骤和作法，事半功倍是它们共同的效果。

纵观近几年高考命题的趋势，在题目上还是很注意特殊解法应用，应为他起到避繁就简、避免分类讨论、避免转化等作用。

预测的高考命题趋势为：

（1）部分涉及函数性质、三角函数变形及求值、方程不等式的参数最值、解析几何求值等知识点的题目会用到这几种特殊解法；

（2）这些解题方法都对应更一般的解法，它们的规律不太容易把握，但它们在实际的考试中会节省大量的时间，为后面的题目奠定基础；

三．例题点评

1．配方法典例解析

例1．

（1）（07安徽文20）设函数

，

其中

，将

的最小值记为

，求

的表达式；

解析：

。

由于

，故当

时，

达到其最小值

，即

（2）已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为（）

（A）

（B）

（C）5（D）6

分析：

设长方体三条棱长分别为x、y、z，则依条件得：

2（xy+yz+zx）=11，4（x+y+z）=24。

而欲求的对角线长为

，因此需将对称式

写成基本对称式x+y+z及xy+yz+zx的组合形式，完成这种组合的常用手段是配方法，故

=62－11=25。

∴

，应选C。

点评：

本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。

这也是我们使用配方法的一种解题模式。

例2．

（1）设F1和F2为双曲线

的两个焦点,点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°

，则ΔF1PF2的面积是（）

（A）1（B）

（C）2（D）

欲求

（1），而由已知能得到什么呢？

由∠F1PF2=90°

，得

（2），

又根据双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=4（3），那么

（2）、（3）两式与要求的三角形面积有何联系呢？

我们发现将（3）式完全平方，即可找到三个式子之间的关系.即

故

，∴选（A）。

配方法实现了“平方和”与“和的平方”的相互转化。

（2）设方程x

＋kx＋2=0的两实根为p、q，若（

）

+（

≤7成立，求实数k的取值范围。

方程x

＋kx＋2=0的两实根为p、q，由韦达定理得：

p＋q＝－k，pq＝2，

（

＝

≤7，解得k≤－

或k≥

又∵p、q为方程x

＋kx＋2=0的两实根，∴△＝k

－8≥0即k≥2

或k≤－2

综合起来，k的取值范围是：

－

≤k≤－

或者

≤k≤

关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“Δ”；

已知方程有两根时，可以恰当运用韦达定理。

本题由韦达定理得到p＋q、pq后，观察已知不等式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示成p＋q与pq的组合式。

假如本题不对“△”讨论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“△”的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视。

2．待定系数法典例解析

例3．设双曲线的中心是坐标原点，准线平行于x轴，离心率为

，已知点P（0,5）到该双曲线上的点的最近距离是2，求双曲线方程。

由题意可设双曲线方程为

∵

，∴a=2b,因此所求双曲线方程可写成：

（1）,故只需求出a可求解。

设双曲线上点Q的坐标为（x,y）,则|PQ|=

（2），∵点Q（x,y）在双曲线上,∴（x,y）满足

（1）式,代入

（2）得|PQ|=

（3），此时|PQ|2表示为变量y的二次函数,利用配方法求出其最小值即可求解。

由（3）式有

（y≥a或y≤-a）。

二次曲线的对称轴为y=4,而函数的定义域y≥a或y≤-a,因此,需对a≤4与a>

4分类讨论。

（1）当a≤4时，如图

（1）可知函数在y=4处取得最小值，

∴令

，得a2=4。

∴所求双曲线方程为

（2）当a>

4时，如图

（2）可知函数在y=a处取得最小值，

，得a2=49，

此题是利用待定系数法求解双曲线方程的，其中利用配方法求解二次函数的最值问题，由于二次函数的定义域与参数a有关，因此需对字母a的取值分类讨论，从而得到两个解，同学们在解答数习题时应学会综合运用数学思想方法解题。

例4．是否存在常数a、b、c，使得等式1·

2

＋2·

3

＋…＋n（n＋1）

（an

＋bn＋c）对一切自然数n都成立？

并证明你的结论。

（89年全国高考题）

是否存在，不妨假设存在。

由已知等式对一切自然数n都成立，取特殊值n＝1、2、3列出关于a、b、c的方程组，解方程组求出a、b、c的值，再用数学归纳法证明等式对所有自然数n都成立。

假设存在a、b、c使得等式成立，令：

n＝1，得4＝

（a＋b＋c）；

n＝2，得22＝

（4a＋2b＋c）；

n＝3，得70＝9a＋3b＋c。

整理得：

，解得

于是对n＝1、2、3，等式1·

（3n

＋11n＋10）成立，下面用数学归纳法证明对任意自然数n，该等式都成立：

假设对n＝k时等式成立，即1·

＋…＋k（k＋1）

（3k

＋11k＋10）；

当n＝k＋1时，1·

＋（k＋1）（k＋2）

＋11k＋10）＋（k＋1）（k＋2）

（k＋2）（3k＋5）＋（k＋1）（k＋2）

＋5k＋12k＋24）＝

[3（k＋1）

＋11（k＋1）＋10]，

也就是说，等式对n＝k＋1也成立。

综上所述，当a＝8、b＝11、c＝10时，题设的等式对一切自然数n都成立。

建立关于待定系数的方程组，在于由几个特殊值代入而得到。

此种解法中，也体现了方程思想和特殊值法。

对于是否存在性问题待定系数时，可以按照先试值、再猜想、最后归纳证明的步骤进行。

本题如果记得两个特殊数列1

＋…＋n

、1

求和的公式，也可以抓住通项的拆开，运用数列求和公式而直接求解：

由n（n＋1）

＝n

＋2n

＋n得S

＝1·

＝（1

）＋2（1

）＋（1＋2＋…＋n）＝

＋2×

＋11n＋10），综上所述，当a＝8、b＝11、c＝10时，题设的等式对一切自然数n都成立。

3．换元法典例解析

例5．

（1）（06江苏卷）设a为实数，设函数

的最大值为g（a）。

（Ⅰ）设t＝

，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数m（t）；

（Ⅱ）求g（a）。

（Ⅰ）令

要使有t意义，必须1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1，

∴

t≥0①

t的取值范围是

由①得

∴m（t）=a（

）+t=

（Ⅱ）由题意知g（a）即为函数

的最大值。

注意到直线

是抛物线

的对称轴，分以下几种情况讨论。

（1）当a>

0时，函数y=m（t）,

的图象是开口向上的抛物线的一段，

由

<

0知m（t）在

上单调递增，∴g（a）=m

（2）=a+2

（2）当a=0时，m（t）=t