高考数学总复习经典测试题解析版88 立体几何中的向量方法ⅱ求空间角距离文档格式.docx
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，
∴（x－a，y，z）＝
（－x，a－y，a－z）
∴x＝
a，y＝
，z＝
.得M
∴|
|＝
a.
答案 A
3．在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈
〉的值为（ ）．
A.
B.
C.
D.
解析 设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，
DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角
坐标
系（如图），可知
＝（2，－2,1），
＝（2,2，－1），
cos〈
〉＝－
，sin〈
〉＝
答案 B
4．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A（2,1,1），且两平面的一个法向量n＝（－1,0,1），则两平
面间的距离是（ ）
B.
C.
D．3
解析两平面的一个单位法向量n0＝
，故两平面间的距离d＝|
n0|＝
5．已知直二面角αlβ，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D
为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD＝（ ）．
A．2B.
D．1
解析 如图，建立直角坐标系Dxyz，由已
知条件B（0,0,1），A（1，t,0）（t＞0），由AB＝2解得t＝
6．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BB1中点，G是DD1中点，F是BC上一点且FB＝
BC，则GB与EF所成的角为（ ）．
A．30°
B．120°
C．60°
D．90°
解析 如图建立直角坐标系Dxyz，
设DA＝1，由已知条件
G
，B
，E
，F
＝0，则
⊥
答案 D
7．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°
，2AC＝AA1＝BC＝2.若二面角B1－DC－C1的大小为60°
，则AD的长为（ ）
B.
C．2D.
解析如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则C（0,0,0），A（1,0,0），B1（0,2,2），C1（0,0,2），D（1,0,1）
设AD＝a，则
D点坐标为（1,0，a），
＝（1,0，a），
＝（0,2,2），
设平面B1CD的一个法向量为m＝（x，y，z）．
则
⇒
，令z＝－1，
得m＝（a,1，－1），又平面C1DC的一个法向量为n（0,1,0），
则由cos60°
，得
，即a＝
，故AD＝
答案：
A
二、填空题
8．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点P在线段BD1上．当∠APC最大时，三棱锥P－ABC的体积为________．
解析以B为坐标原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴建立空间直角坐
标系（如图），设
＝λ
，可得P（λ，λ，λ），
再由cos∠APC＝
可求得当λ＝
时，∠APC最大，
故VP－ABC＝
×
1×
答案
9．如图，在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1，点M是线段DC
1上的动点，则点M到直线AD1距离的最小值为________．
解析设M（
0，m，m）（0≤m≤a），
＝（－a,0，a），直线AD1的一个单位方向向量s0＝
，由
＝（0，－m，a－m），故点M到直线AD1的距离d＝
，根式内的二次函数当m＝－
时取最小值
2－a×
＋
a2＝
a2，故d的最小值为
答案
a
10．若向量a＝（1，λ，2），b＝（2，－1,2）且a与b的夹角的余弦值为
，则λ＝________.
解析 由已知得
∴8
＝3（6－λ），解得λ＝－2或λ＝
答案 －2或
11．正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC的夹角的大小为________．
解析 如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.
设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，
则A（a,0,0），B（0，a,0），C（－a,0,0），P
＝（2a,0,0），
＝（a，a,0）．
设平面PAC的法向量为n，可求得n＝（0,1,1），
则cos〈
，n〉＝
.∴〈
，n〉＝60°
∴直线BC与平面PAC的夹角为90°
－60°
＝30°
答案 30°
12．已知点E、F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值为________．
解析 如图，建立直角坐标系Dxyz，
设DA＝1由已知条件A（1,0,0），E
设平面AEF的法向量为n＝（x，y，z），面AEF与面ABC所成的二面角为θ，
由
得
令y＝1，z＝－3，x＝－1，则n＝（－1,1，－3）,平面ABC的法向量为m＝（0,0，－1）,cosθ＝cos〈n，m〉＝
，tanθ＝
答案
三、解答题
13.如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD.四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＋AD＝4，CD＝
，∠CDA＝45°
（1）求证：
平面PAB⊥平面PAD；
（2）设AB＝AP.若直线PB与平面PCD所成的角为30°
，求线段AB的长．
解析：
（1）证明：
因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PA⊥AB.
又AB⊥AD，PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD.
又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.
（2）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A－xyz（如图）．
在平面ABCD内，作CE∥AB交AD于点E，则CE⊥AD.
在Rt△CDE中，DE＝CD·
cos45°
＝1，CE＝CD·
sin45°
＝1.
设AB＝AP＝t，则B（t,0,0），P（0,0，t）．
由AB＋AD＝4得AD＝4－t，
所以E（0,3－t,0），C（1,3－t,0），D（0,4－t,0），
＝（－1,1,0），
＝（0,4－t，－t）．
设平面PCD的一个法向量为n＝（x，y，z），
由n⊥
，n⊥
取x＝t，得平面PCD的一个法向量n＝（t，t,4－t）．
又
＝（t,0，－t），故由直线PB与平面PCD所成的角为30°
cos60°
＝|
|，即
解得t＝
或t＝4（舍去，因为AD＝4－t>
0），所以AB＝
14．如图所示，四棱锥ABCDE中，底面BCDE为矩形，侧面
ABC⊥底面BCDE，BC＝2，CD＝
，AB＝AC.
AD⊥CE；
（2）设侧面ABC为等边三角形，求二面角CADE的大小．
解析
（1）证明 取BC中点O，连接AO，则AO⊥BC,由已知条件AO⊥平面BCDE，
如图，建立直角坐标系Oxyz，
则A（0,0，t），D（1，
，0），
C（1,0,0），E（－1，
＝（1，
，－t），
＝（－2，
，0），则
＝0，因此AD⊥CE.
（2）作CF⊥AD垂足为F，连接EF，由AD⊥平面CEF知EF⊥AD，
则∠CFE为二面角CADE的平面角．
在Rt△ACD中，CF＝
，在等腰△ADE中EF＝
cos∠CFE＝
＝－
∴二面角CADE的余弦值为－
15．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB＝90°
，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，AB＝2EF.
（1）若M是线段AD的中点，求证：
GM∥平面ABFE；
（2）若AC＝BC＝2AE，求二面角ABFC的大小．
解析
（1）证明 法一 因为EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，∠ACB＝90°
所以∠EGF＝90°
，△ABC∽△EFG.
由于AB＝2EF，因此BC＝2FG.连接AF，由于FG∥BC，FG＝
BC，
在▱ABCD中，M是线段AD的中点，则AM∥BC，且AM＝
BC，因此FG∥AM且FG＝AM，所以四边形AFGM为平行四边形，因此GM∥FA.
又FA⊂平面ABFE，GM⊄平面ABFE，所以GM∥平面ABFE.
法二 因为EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，∠ACB＝90°
，△ABC∽△EFG，由于AB＝2EF，所以BC＝2FG.
取BC的中点N，连接GN，
因此四边形BNGF为平行四边形，所以GN∥FB.
在▱ABCD中，M是线段AD的中点，连接MN，则MN∥AB.
因为MN∩GN＝N，AB∩FB＝B，所以平面GMN∥平面ABFE.
又GM⊂平面GMN，所以GM∥平面ABFE.
（2
）法一 因为∠ACB＝90°
，所以∠CAD＝90°
，又EA⊥平面ABCD，
所以AC，AD，AE两两垂直．
分别以AC，AD，AE所在直线为x轴、y轴和z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AC＝BC＝2AE＝2，则由题意得
A（0,0,0），B（2，－2,0），C（2,0,0），
E（0,0,1），所以
＝（2，－2,0），
＝（0,2,0）．又EF＝
AB，
所以F（1，－1,1），
＝（－1,1,1）．
设平面BFC的法向量为m＝（x1，y1，z1），则m·
＝0，m·
＝0，
所以
取z1＝1，得x1＝1，所以m＝（1,0,1）．
设平面ABF的法向量为n＝（x2，y2，z2），则n·
＝0，n·
取y2＝1，得x2＝1，则n＝（1,1,0），
所以cos〈m，n〉＝
.因此二面角ABFC的大小为60°
法二 由题意知，平面ABFE⊥平面ABCD，
取AB的中点H，连接CH，因为AC＝BC，所以CH⊥AB，
则CH⊥平面ABFE.
过H向B
F引垂线交BF于R，连接CR，
则CR⊥BF，
所以∠HRC为二面角ABFC的平面角．
由题意，不妨设AC＝BC＝2AE＝2.在直角梯形ABFE中，连接FH，
则FH⊥AB，又AB＝2
，所以HF＝AE＝1，BH＝
因此在Rt△BHF中，HR＝
由于CH＝
AB＝
，所以在Rt△CHR中，tan∠HRC＝
因此二面角ABFC的大小为60°
16．如图，已知
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