届天一大联考顶尖计划高中毕业班第二次考试理数Word文档下载推荐.docx
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粒米后,发现落在正方形花纹上的米共有
粒,据此估计圆周率
的值为（）（精确到
）
5.将
个黑球、
个白球和
个红球排成一排,各小球除了颜色以外其他属性均相同,则相同颜色的小球不相邻的排法共有（）
种B.
种
种D.
6.已知三棱锥
的外接球半径为
且球心为线段
的中点,则三棱锥
的体积的最大值为（）
7.已知
分别为圆
与
的直径,则
的取值范围为（）
8.如图所示的“数字塔”有以下规律:
每一层最左与最右的数字均为
除此之外每个数字均为其两肩的数字之积,则该“数字塔”前
层的所有数字之积最接近（）（
9.过抛物线
的焦点
作直线与抛物线在第一象限交于点
与准线在第三象限交于点
过点
作准线的垂线,垂足为
.若
10.已知双曲线
的左、右焦点分别为
过
作一条直线与双曲线右支交于
两点,坐标原点为
若
则该双曲线的离心率为（）
11.记
个两两无交集的区间的并集为
阶区间,如
为
阶区间.设函数
则不等式
的解集为（）
阶区间B.
阶区间
阶区间D.
12.在正方体
中,球
同时与以
为公共顶点的三个面相切,球
为公共顶点的三个面相切,且两球相切于点
.若以
为焦点,
为准线的抛物线经过
设球
半径分别为
二、填空题（每小题5分,共20分）
13.已知
是偶函数,则
的最小值为__________.
14.在直角坐标系中,某等腰直角三角形的两个顶点坐标分别为
函数
（
）的图象经过该三角形的三个顶点,则
的解析式为
__________.
15.数列
满足递推公式
且
16.若存在实数
使得不等式
在某区间上恒成立,则称
为该区间上的一对“分离函数”,下列各组函数中是对应区间上的"
分离函数"
的有__________（填上所有正确答案的序号）.①
;
②
③
④
三、解答题（每小题12分,共60分）
17.如图,在
中,角
的对边分别是
且满足
线段
的中点为
.
（1）求角
的大小;
（2）已知
求
的大小.
18.如图,在直三棱柱
中,
点
分别为
和
的中点.（I）棱
上是否存在点
使得平面
平面
?
若存在,写出
的长并证明你的结论;
若不存在,请说明理由;
（Ⅱ）求二面角
的余弦值.
19.某生物研究小组准备探究某地区蜻蜓的翼长分布规律,据统计该地区蜻蜓有
两种,且这两种的个体数量大致相等.记
种蜻蜓和
种蜻蜓的翼长（单位:
）分别为随机变量
其中
服从正态分布
.（Ⅰ）从该地区的蜻蜓中随机捕捉一只,求这只蜻蜓的翼长在区间
的概率;
（Ⅱ）记该地区蜻蜓的翼长为随机变量
若用正态分布
来近似描述
的分布,请你根据（Ⅰ）中的结果,求参数
的值（精确到
）;
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,从该地区的蜻蜓中随机捕捉
只,记这
只中翼长在区间
的个数为
的分布列及数学期望（分布列写出计算表达式即可）.注:
若
20.已知圆
上有一动点
的坐标为
四边形
为平行四边形,线段
的垂直平分线交
于点
.（Ⅰ）求点
的轨迹
的方程;
（II）过点
作直线与曲线
交于
两点,点
直线
轴分别交于
两点,求证:
线段
的中点为定点,并求出
面积的最大值.
21.已知
（I）若
在区间
上单调递增,求
的值;
（Ⅱ）若
恒成立,求
的最大值.（参考数据:
四、选做题（每小题10分,共20分）
22A.在直角坐标系
中,直线
的参数方程为
为参数）,直线
为参数）,以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.（I）求
的极坐标方程和
的直角坐标方程;
（Ⅱ）设
分别交
于
两点（与原点
不重合）,求
的最小值.
22B.已知
（Ⅰ）当
时,解不等式
﹔（Ⅱ）若
的最小值为
2020届天一大联考顶尖计划高中毕业班第二次考试（4月）理数答案和解析
第1题：
【答案】A
【解析】由题意知,则.
第2题：
【答案】B
【解析】设,则.由题意有,所以.
第3题：
【答案】C
【解析】程序的运行过程为:
时,时,,此时输出.
第4题：
【解析】.
第5题：
【答案】D
【解析】首先将黑球和白球排列好,再插入红球.情况1:
黑球和白球按照黑白相间排列（“黑白黑白黑白”或“白黑白黑白黑”）,此时将红球插入个球组成的个空中即可,因此共有种;
情况2:
黑球或白球中仅有两个相同颜色的排在一起（“黑白白黑白黑”、“黑白黑白白黑”、“白黑黑白黑白”、“白黑白黑黑白”）,此时红球只能插入两个相同的颜色的球之中,共种,综上所述,共有种.
第6题：
【解析】由已知可得,和都是直角三角形,则当它们都是等腰直角三角形且平面平面,三棱锥的体积最大,最大值为:
.
第7题：
【解析】如图,,其中,所以.
第8题：
【解析】如图,将数字塔中的数写成指数形式,可发现其指数恰好构成“杨辉三角”,前层的指数之和为,所以原数字塔中前层的所有数字之积为.
第9题：
【解析】如图,设准线与轴的交点为,过点作.由抛物线定义知,所以,,,所以.
第10题：
【解析】如图,因为,所以,因为,所以.在中,,即,得,则.在中,由得:
第11题：
【解析】当且时,.令得,可得和的变化情况如下表:
令,则原不等式变为,由图象知的解集为,再次由图象得到的解集由段分离的部分组成,所以解集为阶区间.
第12题：
【解析】根据抛物线的定义,点到点的距离与到直线的距离相等,其中点到点的距离即半径,也即点到面的距离,点到直线的距离即点到面的距离,因此球内切于正方体.不妨设,两个球心,和两球的切点均在体对角线上,两个球在平面处的截面如图所示.则,,所以,又因为,因此,得,所以.
第13题：
【答案】
【解析】令得,所以,当且仅当时取等号.
第14题：
【解析】等腰直角三角形的第三个顶点可能的位置如下图中的点,,,,,,其中点,,,与已有的两个顶点横坐标重复,舍去;
若为点,则点与点的中间位置的点的纵坐标必然大于或小于,不可能为,因此点也舍去;
只有点满足题意.此时点为最大值点,所以,又,则,所以点,之间的图象单调,将,代入的表达式有,由知,因此.
第15题：
【解析】左右两端乘以有,从而,,…,,将以上式子累加得.由得.令,有.
第16题：
【答案】①②④
【解析】①,令,则单调递增,,即.令,则单调递减,,即,因此,满足题意.②时,易知,满足题意.③注意到,因此如果存在直线,只有可能是（或）在处的切线,,因此切线为,易知,因此不存在直线满足题意.④时,注意到,因此如果存在直线,只有可能是（或）在处的切线,,因此切线为.令,则,易知在上单调递增,在上单调递减,所以,即.令,则,易知在上单调递减,在上单调递增,所以,即.因此,满足题意.
第17题：
【答案】见解析.
【解析】
（1）由正弦定理得:
.而.由以上两式得:
即.由于,所以,又由于,得;
（2）设,在中,由正弦定理得:
.由余弦定理有:
整理得,由于,所以.在中,由余弦定理有:
所以,所以.
第18题：
（I）存在点满足题意,且.证明如下:
取的中点,连接,则,所以平面.因为,是的中点,所以.在直三棱柱中,平面平面,且交线为,所以平面,所以.在平面内,,所以,从而可得.又因为,所以平面.因为平面,所以平面平面;
（Ⅱ）如图所示,以为坐标原点,以分别为,,轴建立空间直角坐标系.
易知,所以.设平面的法向量为,则有:
取,得.同理可求得平面的法向量为.则.由图可知二面角为锐角,所以其余弦值为.
第19题：
（Ⅰ）记这只蜻蜓的翼长为.因为种蜻蜓和种蜻蜓的个体数量大致相等,所以这只蜻蜓是种还是种的可能性是相等的.所以;
（Ⅱ）由于两种蜻蜓的个体数量相等,的方差也相等,根据正态曲线的对称性,可知,由（Ⅰ）可知,得;
（Ⅲ）设蜻蜓的翼长为,则.由题有,所以.因此的分布列为:
第20题：
（Ⅰ）,所以点的轨迹是一个椭圆,且长轴长,半焦距,所以,轨迹的方程为
（II）当直线的斜率为时,与曲线无交点.当直线的斜率不为时,设过点的直线方程为,点坐标分别为.直线与椭圆方程联立得,消去,得.则.直线的方程为.令得.同理可得.所以,所以的中点为,不妨设在点的上方,则.
第21题：
（I）的定义域.易知单调递增,由题意有.令,则.令得.所以当时,单调递增;
当时,单调递减.所以,而又有,因此,所以;
（Ⅱ）由知,又由于则.下面证明符合条件.若,所以,易知单调递增,而,因此必存在使得,即.且当时,单调递减;
当时,单调递增,则.综上,的最大值为.
第22A题：
（I）直线的极坐标方程为,直线的极坐标方程为,由曲线的极坐标方程为,所以的直角坐标方程为;
（Ⅱ）与的极坐标方程联立得,所以.与的极坐标方程联立得,所以.所以.所以当时,取最小值.
第22B题：
（Ⅰ）,令,作出它们的大致图像如下:
由或（舍）,得点的横坐标为,有对称性知,点的横坐标为,因此不
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