高考第一轮复习数学54解斜三角形Word文档下载推荐.docx
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两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把三角形和三角函数联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的实例.另外，解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”.
●点击双基
1.（2002年上海）在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是
A.等腰直角三角形B.直角三角形
C.等腰三角形D.等边三角形
解析：
由2cosBsinA=sinC得
×
a=c，∴a=b.
答案：
C
2.下列条件中，△ABC是锐角三角形的是
A.sinA+cosA=
B.
·
＞0
C.tanA+tanB+tanC＞0D.b=3，c=3
，B=30°
由sinA+cosA=
得2sinAcosA=－
＜0，∴A为钝角.
由
＞0，得
＜0，∴cos〈
，
〉＜0.∴B为钝角.
由tanA+tanB+tanC＞0，得tan（A+B）·
（1－tanAtanB）+tanC＞0.
∴tanAtanBtanC＞0，A、B、C都为锐角.
，得sinC=
，∴C=
或
3.（2004年全国Ⅳ，理11）△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B=30°
，△ABC的面积为
，那么b等于
A.
B.1+
C.
D.2+
∵a、b、c成等差数列，∴2b=a+c.平方得a2+c2=4b2－2ac.又△ABC的面积为
，且∠B=30°
，故由S△ABC=
acsinB=
acsin30°
ac=
，得ac=6.∴a2+c2=4b2－12.由余弦定理，得cosB=
，解得b2=4+2
.又b为边长，∴b=1+
B
4.已知（a+b+c）（b+c－a）=3bc，则∠A=_______.
由已知得（b+c）2－a2=3bc，∴b2+c2－a2=bc.∴
.∴∠A=
5.在锐角△ABC中，边长a=1，b=2，则边长c的取值范围是_______.
若c是最大边，则cosC＞0.∴
＞0，∴c＜
.又c＞b－a=1，
∴1＜c＜
（1，
）
●典例剖析
【例1】△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，如果a2=b（b+c），求证：
A=2B.
剖析：
研究三角形问题一般有两种思路.一是边化角，二是角化边.
证明：
用正弦定理，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入a2=b（b+c）中，得sin2A=sinB（sinB+sinC）
sin2A－sin2B=sinBsinC
－
=sinBsin（A+B）
（cos2B－cos2A）=sinBsin（A+B）
sin（A+B）sin（A－B）=sinBsin（A+B），
因为A、B、C为三角形的三内角，所以sin（A+B）≠0.所以sin（A－B）=sinB.所以只能有A－B=B，即A=2B.
评述：
利用正弦定理，将命题中边的关系转化为角间关系，从而全部利用三角公式变换求解.
思考讨论
（1）该题若用余弦定理如何解决?
解：
利用余弦定理，由a2=b（b+c），得cosA=
，cos2B=2cos2B－1=2（
）2－1=
－1=
所以cosA=cos2B.因为A、B是△ABC的内角，所以A=2B.
（2）该题根据命题特征，能否构造一个符合条件的三角形，利用几何知识解决?
由题设a2=b（b+c），得
①，
作出△ABC，延长CA到D，使AD=AB=c，连结BD.①式表示的即是
，所以△BCD∽△ABC.所以∠1=∠D.
又AB=AD，可知∠2=∠D，所以∠1=∠2.
因为∠BAC=∠2+∠D=2∠2=2∠1，
所以A=2B.
近几年的高考题中，涉及到三角形的题目，重点考查正弦、余弦定理，考查的侧重点还在于三角转换.这是命题者的初衷.
【例2】（2004年全国Ⅱ，17）已知锐角△ABC中，sin（A+B）=
，sin（A－B）=
（1）求证：
tanA=2tanB；
（2）设AB=3，求AB边上的高.
有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式，结合图形，以
（1）为铺垫，解决
（2）.
（1）证明：
∵sin（A+B）=
∴
=2.
∴tanA=2tanB.
（2）解：
＜A+B＜π，∴sin（A+B）=
∴tan（A+B）=－
即
=－
.将tanA=2tanB代入上式整理得2tan2B－4tanB－1=0，解得tanB=
（负值舍去）.得tanB=
，∴tanA=2tanB=2+
设AB边上的高为CD，则AB=AD+DB=
+
.由AB=3得CD=2+
，所以AB边上的高为2+
本题主要考查三角函数概念，两角和与差的公式以及应用，分析和计算能力.
【例3】（2004年春季北京）在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及
的值.
因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求∠A，需找∠A与三边的关系，故可用余弦定理.由b2=ac可变形为
=a，再用正弦定理可求
解法一：
∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac.
又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc.
在△ABC中，由余弦定理得
，∴∠A=60°
在△ABC中，由正弦定理得sinB=
∵b2=ac，∠A=60°
=sin60°
解法二：
在△ABC中，
由面积公式得
bcsinA=
acsinB.
，∴bcsinA=b2sinB.
=sinA=
解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理.
●闯关训练
夯实基础
1.（2004年浙江，8）在△ABC中，“A＞30°
”是“sinA＞
”的
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
在△ABC中，A＞30°
0＜sinA＜1sinA＞
sinA＞
30°
＜A＜150°
A＞30°
2.如图，△ABC是简易遮阳棚，A、B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°
角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角为
A.75°
B.60°
C.50°
D.45°
作CE⊥平面ABD于E，则∠CDE是太阳光线与地面所成的角，即∠CDE=40°
，延长DE交直线AB于F，连结CF，则∠CFD是遮阳棚与地面所成的角，设为α.要使S△ABD最大，只需DF最大.在△CFD中，
=
∴DF=
∵CF为定值，∴当α=50°
时，DF最大.
3.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若三角形的面积S=
（a2+b2－c2），则∠C的度数是_______.
由S=
（a2+b2－c2）得
absinC=
2abcosC.∴tanC=1.∴C=
45°
4.在△ABC中，若∠C=60°
，则
=_______.
.（*）
∵∠C=60°
，∴a2+b2－c2=2abcosC=ab.
∴a2+b2=ab+c2.
代入（*）式得
=1.
1
5.在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是
A.b=20，A=45°
，C=80°
B.a=30，c=28，B=60°
C.a=14，b=16，A=45°
D.a=12，c=15，A=120°
由a=14，b=16，A=45°
及正弦定理，得
，所以sinB=
.因而B有两值.
培养能力
6.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，依次成等比数列，求y=
的取值范围.
∵b2=ac，∴cosB=
（
）－
≥
∴0＜B≤
y=
=sinB+cosB=
sin（B+
）.∵
＜B+
≤
＜sin（B+
）≤1.故1＜y≤
7.已知△ABC中，2
（sin2A－sin2C）=（a－b）sinB，外接圆半径为
（1）求∠C；
（2）求△ABC面积的最大值.
（1）由2
（sin2A－sin2C）=（a－b）·
sinB得2
）=（a－b）
又∵R=
∴a2－c2=ab－b2.∴a2+b2－c2=ab.
∴cosC=
又∵0°
＜C＜180°
，∴C=60°
（2）S=
ab
=2
sinAsinB=2
sinAsin（120°
－A）
sinA（sin120°
cosA－cos120°
sinA）
=3sinAcosA+
sin2A
sin2A－
sin2Acos2A+
sin（2A－30°
）+
∴当2A=120°
，即A=60°
时，Smax=
8.在△ABC中，BC=a，顶点A在平行于BC且与BC相距为a的直线上滑动，求
令AB=kx，AC=x（k＞0，x＞0），则总有sinB=
，sinC=
（图略），且由正弦定理得sinB=
sinA，所以a2=kx2·
sinBsinC=kx2sinA，由余弦定理，可得cosA=
（k+
－sinA），所以k+
=sinA+2cosA≤
.所以k2－
k+1≤0，所以
≤k≤
所以
的取值范围为［
］.
探究创新
9.某城市有一条公路，自西向东经过A点到市中心O点后转向东北方向OB，现要修建一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，现要求市中心O与AB的距离为10km，问把A、B分别设在公路上离中心O多远处才能使|AB|最短?
并求其最短距离.（不要求作近似计算）
在△AOB中，设O
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