《离散数学》方世昌 的期末复习知识点总结含例题文档格式.docx
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。
解
于就是
例2设
试求:
（1）
;
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
。
解
（1）
（4）
例3试证明
证明
第二章二元关系
1、关系、关系矩阵与关系图
2、复合关系与逆关系
3、关系的性质（自反性、对称性、反对称性、传递性）
4、关系的闭包（自反闭包、对称闭包、传递闭包）
5、等价关系与等价类
6、偏序关系与哈斯图（Hasse）、极大/小元、最大/小元、上/下界、最小上界、最大下界
7、函数及其性质（单射、满射、双射）
8、复合函数与反函数
二元关系的概念、关系的性质、关系的闭包、等价关系、半序关系、映射的概念
[复习要求]
1、理解关系的概念:
二元关系、空关系、全关系、恒等关系;
掌握关系的集合表示、关系矩阵与关系图、关系的运算。
2、掌握求复合关系与逆关系的方法。
3、理解关系的性质（自反性、对称性、反对称性、传递性）,掌握其判别方法（定义、矩阵、图）。
4、掌握求关系的闭包（自反闭包、对称闭包、传递闭包）的方法。
5、理解等价关系与偏序关系的概念,掌握等价类的求法与偏序关系做哈斯图的方法,极大/小元、最大/小元、上/下界、最小上界、最大下界的求法。
6、理解函数概念:
函数、函数相等、复合函数与反函数。
7、理解单射、满射、双射等概念,掌握其判别方法。
[本章重点习题]
P25,1;
P32~33,4,8,10;
P43,2,3,5;
P51~52,5,6;
P59,1,2;
P64,3;
P74~75,2,4,6,7;
P81,5,7;
P86,1,2。
1、关系的概念
关系的概念就是第二章全章的基础,又就是第一章集合概念的应用。
因此,学生应该真正理解并熟练掌握二元关系的概念及关系矩阵、关系图表示。
2、关系的性质及其判定
关系的性质既就是对关系概念的加深理解与掌握,又就是关系的闭包、等价关系、半序关系的基础。
对于四种性质的判定,可以依据教材中P49上总结的规律。
这其中对传递性的判定,难度稍大一点,这里要提及两点:
一就是不破坏传递性定义,可认为具有传递性。
如空关系具有传递性,同时空关系具有对称性与反对称性,但就是不具有自反性。
另一点就是介绍一种判定传递性的“跟踪法”,即若
则
如若
则有
且
３、关系的闭包
在理解掌握关系闭包概念的基础上,主要掌握闭包的求法。
关键就是熟记三个定理的结论:
定理2,
定理3,
定理4,推论
４、半序关系及半序集中特殊元素的确定
理解与掌握半序关系与半序集概念的关键就是哈斯图。
哈斯图画法掌握了,对于确定任一子集的最大（小）元,极大（小）元也就容易了。
这里要注意,最大（小）元与极大（小）元只能在子集内确定,而上界与下界可在子集之外的全集中确定,最小上界为所有上界中最小者,最小上界再小也不小于子集中的任一元素,可以与某一元素相等,最大下界也同样。
５、映射的概念与映射种类的判定
映射的种类主要指单射、满射、双射与非单非满射。
判定的方法除定义外,可借助于关系图,而实数集的子集上的映射也可以利用直角坐标系表示进行,尤其就是对各种初等函数。
例1设集合
判定下列关系,哪些就是自反的,对称的,反对称的与传递的:
解:
均不就是自反的;
R4就是对称的;
R1,R2,R3,R4,R5就是反对称的;
R1,R2,R3,R4,R5就是传递的。
例2设集合
A上的二元关系R为
（１）写出R的关系矩阵,画出R的关系图;
（２）证明R就是A上的半序关系,画出其哈斯图;
（３）若
求B的最大元,最小元,极大元,极小元,最小上界与最大下界。
解
（1）R的关系矩阵为
R的关系图略
（2）因为R就是自反的,反对称的与传递的,所以R就是A上的半序关系。
（A,R）为半序集,（A,R）的哈斯图如下
4
1
3
2
5
（3）当
B的极大元为2,4;
极小元为2,5;
B无最大元与最小元;
B也无上界与下界,更无最小上界与最大下界。
第三章 命题逻辑
１、命题与联结词（否定、析取、合取、蕴涵、等价）,复合命题
２、命题公式与解释,真值表,公式分类（恒真、恒假、可满足）,公式的等价
３、析取范式、合取范式,极小（大）项,主析取范式、主合取范式
４、公式类别的判别方法（真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法）
５、公式的蕴涵与逻辑结果
６、形式演绎
命题与联结词、公式与解释、析取范式与合取范式、公式恒真性的判定、形式演绎
１、理解命题的概念;
了解命题联结词的概念;
理解用联结词产生复合命题的方法。
２、理解公式与解释的概念;
掌握求给定公式真值表的方法,用基本等价式化简其她公式,公式在解释下的真值。
３、了解析取（合取）范式的概念;
理解极大（小）项的概念与主析取（合取）范式的概念;
掌握用基本等价式或真值表将公式化为主析取（合取）范式的方法。
４、掌握利用真值表、等值演算法与主析取/合取范式的唯一性判别公式类型与公式等价的方法。
５、理解公式蕴涵与逻辑结果的概念,掌握基本蕴涵式。
6、掌握形式演绎的证明方法。
P93,1;
P98,2,3;
P104,2,3;
P107,1,3;
P112,5;
P115,1,2,3。
1、公式恒真性的判定
判定公式的恒真性,包括判定公式就是恒真的或就是恒假的。
具体方法有两种,一就是真值表法,对于任给一个公式,主要列出该公式的真值表,观察真值表的最后一列就是否全为1（或全为0）,就可以判定该公式就是否恒真（或恒假）,若不全为0,则为可满足的。
二就是推导法,即利用基本等价式推导出结果为1,或者利用恒真（恒假）判定定理:
公式G就是恒真的（恒假的）当且仅当等价于它的合取范式（析取范式）中,每个子句（短语）均至少包含一个原子及其否定。
这里要求的析取范式中所含有的每个短语不就是极小项,一定要与求主析取范式相区别,对于合取范式也同样。
2、范式
求范式,包括求析取范式、合取范式、主析取范式与主合取范式。
关键有两点:
一就是准确理解掌握定义;
另一就是巧妙使用基本等价式中的分配律、同一律与互补律,结果的前一步适当使用等幂律,使相同的短语（或子句）只保留一个。
另外,由已经得到的主析取（合取）范式,根据
原理,参阅《离散数学学习指导书》P71例15,可以求得主合取（析取）范式。
3、形式演绎法
掌握形式演绎进行逻辑推理时,一就是要理解并掌握14个基本蕴涵式,二就是会使用三个规则:
规则P、规则Q与规则D,需要进行一定的练习。
例1求
的主析取范式与主合取范式。
解
（1）求主析取范式,
方法1:
利用真值表求解
G
000
001
010
011
100
101
110
111
因此
方法2:
推导法
（2）求主合取范式
方法1:
利用上面的真值表
为0的有两行,它们对应的极大项分别为
因此,
方法2:
利用已求出的主析取范式求主合取范式
已用去6个极小项,尚有2个极小项,即
与
于就是
例2试证明公式
为恒真公式。
证法一:
见〈离散数学学习指导书〉P60例6（4）的解答。
（真值表法）
证法二:
G=⌝（（⌝P∨Q）∧（⌝Q∨R））∨（⌝P∨R）
=（P∧⌝Q）∨（Q∧⌝R）∨⌝P∨R
=（（（P∨Q）∧（P∨⌝R）∧（⌝Q∨Q）∧（⌝Q∨⌝R））∨⌝P）∨R
=（（P∨Q∨⌝P）∧（P∨⌝R∨⌝P）∧（⌝Q∨⌝R∨⌝P））∨R
=（1∧（⌝Q∨⌝R∨⌝P））∨R
=⌝Q∨⌝R∨⌝P∨R
=1
故G为恒真公式。
例3利用形式演绎法证明{P→（Q→R）,⌝S∨P,Q}蕴涵S→R。
证明:
（1）⌝S∨P规则P
（2）S规则D
（3）P规则Q,根据
（1）,
（2）
（4）P→（Q→R）规则P
（5）Q→R规则Q,根据（3）,（4）
（6）Q规则P
（7）R规则Q,根据（5）,（6）
（8）S→R规则D,根据
（2）,（7）
第四章谓词逻辑
[复习知识点]
1、谓词、量词、个体词、个体域、变元（约束变元与自由变元）
2、谓词公式与解释,谓词公式的类型（恒真、恒假、可满足）
3、谓词公式的等价与蕴涵
4、前束范式
谓词与量词、公式与解释、前束范式
1、理解谓词、量词、个体词、个体域、变元的概念;
理解用谓词、量词、逻辑联结词描述一个简单命题;
了解命题符号化。
2、理解公式与解释的概念;
掌握在有限个体域下消去公式量词,求公式在给定解释下真值的方法;
了解谓词公式的类型。
3、理解用解释的方法证明等价式与蕴涵式。
4、掌握求公式前束范式的方法。
P120,1,2;
P125~126,1,3;
P137,1。
1、谓词与量词
反复理解谓词与量词引入的意义,概念的含义及在谓词与量词作用下变量的自由性、约束性与改名规则。
2、公式与解释
能将一阶逻辑公式表达式中的量词消除,写成与之等价的公式,然后将解释I中的数值代入公式,求出真值。
3、前束范式
在充分理解掌握前束范式概念的基础上,利用改名规则、基本等价式与蕴涵式（一阶逻辑中）,将给定公式中量词提到母式之前称为首标。
[典型例题]
例1设I就是如下一个解释:
F
（2）F（3）P
（2）P（3）Q（2,2）Q（2,3）Q（3,2）Q（3,3）
32011101
求
的真值。
例2试将一阶逻辑公式化成前束范式。
解
第五章图论
1、图、完全图、子图、母图、支撑子图、图的同构
2、关联矩阵、相邻矩阵
3、权图、路、最短路径
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