《离散数学》方世昌 的期末复习知识点总结含例题文档格式.docx

1、 。解 于就是例2 设,试求: （1）; （2） （3） （4） （5） （6）。解 （1） （4）例3 试证明 证明 第二章 二元关系1、关系、关系矩阵与关系图2、复合关系与逆关系 3、关系的性质（自反性、对称性、反对称性、传递性） 4、关系的闭包（自反闭包、对称闭包、传递闭包）5、等价关系与等价类6、偏序关系与哈斯图（Hasse）、极大/小元、最大/小元、上/下界、最小上界、最大下界7、函数及其性质（单射、满射、双射）8、复合函数与反函数二元关系的概念、关系的性质、关系的闭包、等价关系、半序关系、映射的概念复习要求1、理解关系的概念:二元关系、空关系、全关系、恒等关系;掌握关系的集合表示、

2、关系矩阵与关系图、关系的运算。2、掌握求复合关系与逆关系的方法。3、理解关系的性质（自反性、对称性、反对称性、传递性）,掌握其判别方法（定义、矩阵、图）。4、掌握求关系的闭包 （自反闭包、对称闭包、传递闭包）的方法。5、理解等价关系与偏序关系的概念,掌握等价类的求法与偏序关系做哈斯图的方法,极大/小元、最大/小元、上/下界、最小上界、最大下界的求法。6、理解函数概念:函数、函数相等、复合函数与反函数。7、理解单射、满射、双射等概念,掌握其判别方法。本章重点习题P25,1;P3233,4,8,10; P43,2,3,5; P5152,5,6; P59,1,2; P64,3; P7475,2,4,

3、6,7; P81,5,7; P86,1,2。 1、关系的概念关系的概念就是第二章全章的基础,又就是第一章集合概念的应用。因此,学生应该真正理解并熟练掌握二元关系的概念及关系矩阵、关系图表示。 2、关系的性质及其判定关系的性质既就是对关系概念的加深理解与掌握,又就是关系的闭包、等价关系、半序关系的基础。对于四种性质的判定,可以依据教材中P49上总结的规律。这其中对传递性的判定,难度稍大一点,这里要提及两点:一就是不破坏传递性定义,可认为具有传递性。如空关系具有传递性,同时空关系具有对称性与反对称性,但就是不具有自反性。另一点就是介绍一种判定传递性的“跟踪法”,即若,则如若,则有,且、关系的闭包在

4、理解掌握关系闭包概念的基础上,主要掌握闭包的求法。关键就是熟记三个定理的结论:定理2, 定理3, 定理4,推论 、半序关系及半序集中特殊元素的确定理解与掌握半序关系与半序集概念的关键就是哈斯图。哈斯图画法掌握了,对于确定任一子集的最大（小）元,极大（小）元也就容易了。这里要注意,最大（小）元与极大（小）元只能在子集内确定,而上界与下界可在子集之外的全集中确定,最小上界为所有上界中最小者,最小上界再小也不小于子集中的任一元素,可以与某一元素相等,最大下界也同样。、映射的概念与映射种类的判定映射的种类主要指单射、满射、双射与非单非满射。判定的方法除定义外,可借助于关系图,而实数集的子集上的映射也可

5、以利用直角坐标系表示进行,尤其就是对各种初等函数。例1 设集合,判定下列关系,哪些就是自反的,对称的,反对称的与传递的:解:均不就是自反的;R4就是对称的;R1 ,R2 ,R3 , R4 ,R5就是反对称的;R1 ,R2 ,R3 , R4 ,R5就是传递的。例2 设集合,A上的二元关系R为（）写出R的关系矩阵,画出R的关系图;（）证明R就是A上的半序关系,画出其哈斯图;（）若,求B的最大元,最小元,极大元,极小元,最小上界与最大下界。解 （1）R的关系矩阵为 R的关系图略 （2）因为R就是自反的,反对称的与传递的,所以R就是A上的半序关系。（A,R）为半序集, （A,R）的哈斯图如下41325

6、 （3） 当,B的极大元为2,4;极小元为2,5;B无最大元与最小元;B也无上界与下界,更无最小上界与最大下界。 第三章命题逻辑、命题与联结词（否定、析取、合取、蕴涵、等价）,复合命题、命题公式与解释,真值表,公式分类（恒真、恒假、可满足）,公式的等价、析取范式、合取范式,极小（大）项,主析取范式、主合取范式 、公式类别的判别方法（真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法）、公式的蕴涵与逻辑结果、形式演绎命题与联结词、公式与解释、析取范式与合取范式、公式恒真性的判定、形式演绎、理解命题的概念;了解命题联结词的概念;理解用联结词产生复合命题的方法。、理解公式与解释的概念;掌握求给定公式真值表的方

7、法,用基本等价式化简其她公式,公式在解释下的真值。、了解析取（合取）范式的概念;理解极大（小）项的概念与主析取（合取）范式的概念;掌握用基本等价式或真值表将公式化为主析取（合取）范式的方法。、掌握利用真值表、等值演算法与主析取/合取范式的唯一性判别公式类型与公式等价的方法。、理解公式蕴涵与逻辑结果的概念,掌握基本蕴涵式。6、掌握形式演绎的证明方法。P93,1; P98,2,3; P104,2,3; P107,1,3; P112,5; P115,1,2,3。1、公式恒真性的判定判定公式的恒真性,包括判定公式就是恒真的或就是恒假的。具体方法有两种,一就是真值表法,对于任给一个公式,主要列出该公式的

8、真值表,观察真值表的最后一列就是否全为1（或全为0）,就可以判定该公式就是否恒真（或恒假）,若不全为0,则为可满足的。二就是推导法,即利用基本等价式推导出结果为1,或者利用恒真（恒假）判定定理:公式G就是恒真的（恒假的）当且仅当等价于它的合取范式（析取范式）中,每个子句（短语）均至少包含一个原子及其否定。这里要求的析取范式中所含有的每个短语不就是极小项,一定要与求主析取范式相区别,对于合取范式也同样。2、范式求范式,包括求析取范式、合取范式、主析取范式与主合取范式。关键有两点:一就是准确理解掌握定义;另一就是巧妙使用基本等价式中的分配律、同一律与互补律,结果的前一步适当使用等幂律,使相同的短语

9、（或子句）只保留一个。另外,由已经得到的主析取（合取）范式,根据原理,参阅离散数学学习指导书P71例15,可以求得主合取（析取）范式。3、形式演绎法掌握形式演绎进行逻辑推理时,一就是要理解并掌握14个基本蕴涵式,二就是会使用三个规则:规则P、规则Q与规则D,需要进行一定的练习。例1 求的主析取范式与主合取范式。解 （1）求主析取范式, 方法1:利用真值表求解G0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1因此 方法2:推导法（2）求主合取范式方法1:利用上面的真值表为0的有两行,它们对应的极大项分别为因此,方法2:利用已求出的主析取范式求主合取范式已用去6个极

10、小项,尚有2个极小项,即与 于就是例2 试证明公式为恒真公式。证法一: 见离散数学学习指导书P60例6（4）的解答。（真值表法）证法二 : G=（PQ）（QR）（PR） =（PQ）（QR）PR =（PQ）（PR）（QQ）（QR）P）R =（PQP）（PRP）（QRP）R =（1（QRP）R =QRPR =1故G为恒真公式。例3 利用形式演绎法证明 P（QR）,SP,Q蕴涵SR。证明:（1）SP 规则P（2）S 规则D（3）P 规则Q,根据（1）,（2） （4）P（QR） 规则P （5）QR 规则Q,根据（3）,（4） （6）Q 规则P （7）R 规则 Q,根据（5）,（6） （8）SR 规则D

11、,根据（2）,（7）第四章 谓词逻辑复习知识点 1、谓词、量词、个体词、个体域、变元（约束变元与自由变元）2、谓词公式与解释,谓词公式的类型（恒真、恒假、可满足）3、谓词公式的等价与蕴涵4、前束范式谓词与量词、公式与解释、前束范式1、理解谓词、量词、个体词、个体域、变元的概念;理解用谓词、量词、逻辑联结词描述一个简单命题;了解命题符号化。2、理解公式与解释的概念;掌握在有限个体域下消去公式量词,求公式在给定解释下真值的方法;了解谓词公式的类型。3、理解用解释的方法证明等价式与蕴涵式。4、掌握求公式前束范式的方法。P120,1,2; P125126,1,3; P137,1。1、谓词与量词反复理解

12、谓词与量词引入的意义,概念的含义及在谓词与量词作用下变量的自由性、约束性与改名规则。2、公式与解释能将一阶逻辑公式表达式中的量词消除,写成与之等价的公式,然后将解释I中的数值代入公式,求出真值。3、前束范式在充分理解掌握前束范式概念的基础上,利用改名规则、基本等价式与蕴涵式（一阶逻辑中）,将给定公式中量词提到母式之前称为首标。典型例题例1 设I就是如下一个解释: F（2） F（3） P（2） P（3） Q（2,2） Q（2,3） Q（3,2） Q（3,3） 3 2 0 1 1 1 0 1求的真值。例2 试将一阶逻辑公式化成前束范式。解第五章 图论1、图、完全图、子图、母图、支撑子图、图的同构2、关联矩阵、相邻矩阵3、权图、路、最短路径