最新北师大版学年高中数学必修一综合测试题一Word格式.docx
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1B．x<
1
C．0<
x<
2D．1<
2
7．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝（
）－1.5，则（ ）
A．y3>
y1>
y2B．y2>
y3
C．y1>
y2>
y3D．y1>
y3>
y2
8．（2012·
德阳高一检测）已知log32＝a,3b＝5，则log3
由a，b表示为（ ）
A.
（a＋b＋1）B.
（a＋b）＋1
C.
（a＋b＋1）D.
a＋b＋1
9．若a>
0且a≠1，f（x）是偶函数，则g（x）＝f（x）·
loga（x＋
）是（ ）
A．奇函数B．偶函数
C．非奇非偶函数D．奇偶性与a的具体值有关
10．定义两种运算：
a⊕b＝
，a⊗b＝
，则函数f（x）＝
的解析式为（ ）
A．f（x）＝
，x∈[－2,0）∪（0,2）
B．f（x）＝
，x∈（－∞，2]∪[2，＋∞）
C．f（x）＝－
D．f（x）＝－
，x∈[－2,0）∪（0,2]
第Ⅱ
二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上）
11．幂函数f（x）的图像过点（3，
）．则f（x）的解析式是________．
12．（2011·
安徽文）函数y＝
的定义域是________．
13．设函数f（x）＝x（ex＋ae－x）（x∈R）是偶函数，则实数a的值为________．
14．已知f（x6）＝log2x，则f（8）＝________.
15．已知函数f（x）＝x2＋
（x≠0，常数a∈R），若函数f（x）在x∈[2，＋∞）上为增函数，则a的取值范围为________．
三、解答题（本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（本小题满分12分）设全集U为R，A＝{x|x2＋px＋12＝0}，B＝{x|x2－5x＋q＝0}，若（∁UA）∩B＝{2}，A∩（∁UB）＝{4}，求A∪B.
17．（本小题满分12分）（2012·
广州高一检测）
（1）不用计算器计算：
log3
＋lg25＋lg4＋7log72＋（－9.8）0
（2）如果f（x－
）＝（x＋
）2，求f（x＋1）．
18．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝
，
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）求证：
f（x）>
0.
19．（本小题满分12分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，并且当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝2x.
（1）求f（log2
）的值；
（2）求f（x）的解析式．
20．（本小题满分13分）已知二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）和一次函数g（x）＝－bx（b≠0），其中a，b，c满足a>
b>
c，a＋b＋c＝0（a，b，c∈R）．
（1）求证：
两函数的图像交于不同的两点；
（2）求证：
方程f（x）－g（x）＝0的两个实数根都小于2.
21．（本小题满分14分）一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的
，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的
（1）求每年砍伐面积的百分比；
（2）至今年为止，该森林已砍伐了多少年？
（3）今后最多还能砍伐多少年？
1[答案] B
[解析] 本题考查了集合运算、子集等，含有n个元素的集合的所有子集个数是2n.
∵M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，∴M∩N＝{1,3}，
所以P的子集个数为22＝4个．
2[答案] B
[解析] ∵f（x）＝logax在（0，＋∞）上单调递增，
∴a>
1，∴a＋1>
2，
∴f（a＋1）>
f
（2），故选B.
3[答案] A
[解析] 函数y＝
的定义域为（0，＋∞），故选A.
4[答案] D
[解析] 本题考主要考查集合的运算与解不等式问题．
P＝{x|x2≤1}＝{x|－1≤x≤1}，
所以∁UP＝（－∞，－1）∪（1，＋∞）．
5[答案] B
[解析] 令f（x）＝lnx＋2x－6，设f（x0）＝0，
∵f
（1）＝－4<
0，f（3）＝ln3>
0，
又f
（2）＝ln2－2<
0，f
（2）·
f（3）<
∴x0∈（2,3）．
6[答案] D
[解析] 由已知得
⇒
∴x∈（1,2），故选D.
7[答案] D
[解析] ∵y1＝40.9＝21.8，
y2＝80.48＝（23）0.48＝21.44，y3＝21.5，
又∵函数y＝2x是增函数，且1.8>
1.5>
1.44.
∴y1>
y2.
8[答案] A
[解析] 3b＝5，b＝log35，
＝
log330＝
log3（3×
10）
（1＋log310）
（1＋log32＋log35）＝
（a＋b＋1）．
9[答案] A
[解析] g（－x）＝f（－x）·
loga（－x＋
）＝f（x）·
loga
＝－f（x）·
）＝－g（x）．
则g（x）是奇函数．
10[答案] D
[解析] ∵a⊕b＝
∴f（x）＝
.
∵－2≤x≤2且|x－2|－2≠0，即x≠0，
＝－
，x∈[－2,0）∪（0,2]．
11[答案] f（x）＝x
[解析] 设f（x）＝xα，将（3，
）代入，
得3α＝
＝3
，则α＝
.∴f（x）＝x
12[答案] {x|－3<
2}
[解析] 该题考查函数的定义域，考查一元二次不等式的解法，注意填定义域（集合）．
由6－x－x2>
得x2＋x－6<
即{x|－3<
2}．
13[答案] －1
[解析] ∵f（－x）＝f（x）对任意x均成立，∴（－x）·
（e－x＋aex）＝x（ex＋ae－x）对任意x恒成立，
∴x（－aex－e－x）＝x（ex＋ae－x），∴a＝－1.
14[答案]
[解析] ∵f（x6）＝log2x＝
log2x6，
log2x，
∴f（8）＝
log28＝
log223＝
15[答案] （－∞，16]
[解析] 任取x1，x2∈[2，＋∞），且x1<
x2，
则f（x1）－f（x2）＝x
＋
－x
－
[x1x2（x1＋x2）－a]，
要使函数f（x）在x∈[2，＋∞）上为增函数，需使f（x1）－f（x2）<
0恒成立．
∵x1－x2<
0，x1x2>
4>
0，∴a<
x1x2（x1＋x2）恒成立．
又∵x1＋x2>
4，∴x1x2（x1＋x2）>
16，∴a≤16，
即a的取值范围是（－∞，16]．
16[解析] ∵（∁UA）∩B＝{2}，A∩（∁UB）＝{4}，
∴2∈B,2∉A,4∈A,4∉B，根据元素与集合的关系，
可得
，解得
∴A＝{x|x2－7x＋12＝0}＝{3,4}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，经检验符合题意．
∴A∪B＝{2,3,4}．
17[解析]
（1）原式＝log33
＋lg（25×
4）＋2＋1
＋2＋3＝
（2）∵f（x－
）2
＝x2＋
＋2＝（x2＋
－2）＋4
＝（x－
）2＋4
∴f（x）＝x2＋4
∴f（x＋1）＝（x＋1）2＋4
＝x2＋2x＋5.
18[解析]
（1）由2x－1≠0，即2x≠1，得x≠0，
所以函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）．
（2）因为f
（1）＝1，f（－1）＝2，所以f（－1）≠f
（1），且f（－1）≠－f
（1），所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数．
（3）由于函数的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），
因为当x>
0时，2x>
1,2x－1>
0，x3>
0，所以f（x）>
0；
当x<
0时，0<
2x<
1,2x－1<
0，x3<
综上知f（x）>
0.本题得证．
19[解析]
（1）因为f（x）为奇函数，且当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝2x，
所以f（log2
）＝f（－log23）＝－f（log23）
＝－2log23＝－3.
（2）设任意的x∈（－∞，0），则－x∈（0，＋∞），
因为当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝2x，所以f（－x）＝2－x，
又因为f（x）是定义在R上的奇函数，则f（－x）＝－f（x），
所以f（x）＝－f（－x）＝－2－x，即当x∈（－∞，0）时，f（x）＝－2－x；
又因为f（0）＝－f（0），所以f（0）＝0，
综上可知，f（x）＝
20[解析]
（1）若f（x）－g（x）＝0，则ax2＋2bx＋c＝0，
∵Δ＝4b2－4ac＝4（－a－c）2－4ac
＝4[（a－
）2＋
c2]>
故两函数的图像交于不同的两点．
（2）设h（x）＝f（x）－g（x）＝ax2＋2bx＋c，令h（x）＝0可得ax2＋2bx＋c＝0.由
（1）可知，Δ>
∵a>
c，a＋b＋c＝0（a，b，c∈R），∴a>
0，c<
∴h
（2）＝4a＋4b＋c＝4（－b－c）＋4b＋c＝－3c>
＝1＋
<
即有
，结合二次函数的图像可知，
21[解析]
（1）设每年砍伐的百分比为x（0<
1）．
则a（1－x）10＝
a，即（1－x）10＝
解得x＝1－（
）
（2）设经过m年剩余面积为原来的
则a（1－x）m＝
a，
即（
＝（
解得m＝5，故到今年为止，已砍伐了5年．
（3）设从今年开始，以后砍了n年，
则n年后剩余面积为
a（1－x）n，
令
a（1－x）n≥
a，即（1－x）n≥
（
≥（
≤
，解得n≤15.
故今后最多还能砍伐15年．
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