新人教版九年级数学的上圆地概念与垂径定理Word下载.docx
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“圆”指的是“圆周”，即一条封闭的曲线，而不是圆面。
确定一个圆取决于两个因素：
圆心和半径。
例题1：
下列说法错误的有（）
经过P点的圆有无数个；
以P为圆心的圆有无数个；
半径为3cm且经过P点的圆有无数个；
以p为圆心，以3cm为半径的圆有无数个。
A、1个B、2个C、3个D、4个
知识点二、圆的有关概念
1．弦：
连结圆上任意两点间的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径．并且直径是同一圆中最长的弦．
2.弧：
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，以A，C为端点的弧记作
，
读作圆弧AC或弧AC．
3．圆的直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
4．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧；
（如图所示
叫做优弧）
小于半圆的弧叫做劣弧．（如图所示）
或
叫做劣弧．
5．半径相等的两个圆叫做等圆．反过来，等圆的半径相等；
在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧。
例题2：
下列命题中，正确的个数是（）。
直径是圆中最长的弦；
弧是半圆；
过圆心的直线是直径；
半圆不是弧。
例题3：
下列几个命题中，正确的是（）
A．两条弧的长度相等，那么他们是等弧
B.等弧只有在同圆中存在
C.度数相等的弧的长度相等
D.等弧的长度相等
巩固练习．
如下图，
（1）若点O为⊙O的圆心，则线段__________是圆O的半径；
线段________是圆O的弦，其中最长的弦是______；
______是劣弧；
______是半圆．
（2）若∠A=40°
，则∠ABO=______，∠C=______，∠ABC=______．
综合讲练．
讲练1：
如图，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．
（1）求证：
∠AOC=∠BOD；
（2）试确定AC与BD两线段之间的大小关系，并证明你的结论．
讲练2：
如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E，若AB=2DE，∠E=18°
，求∠C及∠AOC的度数．
知识点三、垂直于弦的直径（垂径定理）
1．圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．
说明：
①圆的对称轴是直径所在的直线，而不是直径本身．
②圆有无数条对称轴．
2．垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
用符号语言描述：
∵⊙O中CD是直径、AB是弦，且CD⊥AB于M，
∴AM＝BM，
．
你能试着证明吗？
说明：
①垂径定理中的直径可以是过圆心的的直线或线段；
②在有关计算直径或半径、弦长以及圆心到弦的距离等问题中，垂径定理常常和勾股定理结合使用，
即：
（弦的一半）2＋（圆心到弦的距离）2＝（半径）2．
例1如图，直线与两个同心圆分别交于图示的各点，则正确的是
A．MP与RN的大小关系不定B.MP=RN
C.MP＜RND.MP＞RN
例2如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于D点，且AB＝6cm，OD＝4cm，求DC的长
【课堂操练】
1．如图，⊙O的直径CD⊥AB，∠AOC=50°
，则∠CDB大小为（ ）
A、25°
B、30°
C、40°
D、50°
2．如图，在直径AB＝12的⊙O中，弦CD⊥AB于M，且M是半径OB的中点，求弦CD的长（结果保留根号）.
3．如图，⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB
CD，垂足为M，OM：
OC＝3：
5，求AB的长
知识点四、垂径定理的推论
推论1：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：
平分弦所对的一条弧的直径垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论3：
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
问：
你能分别用符号语言描述吗？
请试着表示！
概念理解：
1．下面四个命题中正确的一个是（）
A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心
2．下列命题中，正确的是（ ）．
A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B．过弦的中点的直线必过圆心
C．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D．弦的垂线平分弦所对的弧
跟踪练习：
1、．如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD于E，DE=8cm，CE=2cm，则AB=______cm．
1题图
2．如图，⊙O的半径OC为6cm，弦AB垂直平分OC，则AB=______cm，∠AOB=______．
2题图
3．如图，AB为⊙O的弦，∠AOB=90°
，AB=a，则OA=______，O点到AB的距离=______．
3题图
4．如图，⊙O的弦AB垂直于CD，E为垂足，AE=3，BE=7，且AB=CD，则圆心O到CD的距离是______．
4题图
5．如图，P为⊙O的弦AB上的点，PA=6，PB=2，⊙O的半径为5，则OP=______．
5题图
6．如图，⊙O的弦AB垂直于AC，AB=6cm，AC=4cm，则⊙O的半径等于______cm．
6题图
综合讲练：
讲练1．已知：
如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE=1，AE=5，∠AEC=30°
，求CD的长．
讲练2．已知：
如图
，试用尺规将它四等分．
讲练3．已知：
⊙O的半径为25cm，弦AB=40cm，弦CD=48cm，AB∥CD．求这两条平行弦AB，CD之间的距离．
讲练4．已知：
如图，A，B是半圆O上的两点，CD是⊙O的直径，∠AOD=80°
，B是
的中点．
（1）在CD上求作一点P，使得AP＋PB最短；
（2）若CD=4cm，求AP＋PB的最小值．
随堂练习：
1．如图所示，⊙O的直径AB和弦CD交于E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°
，求CD的长．
2、如图，AB、AC为⊙O的两条弦，D、E分别为
、
中点，求证：
AM=AN.
3、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E，求AB和AD的长。
4、如图，已知：
在⊙
中，
是直径，
是弦，
交
于
．求证：
O
A
P
B
C
5、如图所示，P为弦AB上一点，CP⊥OP交⊙O于点C，AB＝8，AP:
PB＝1:
3，求PC的长。
6．如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D。
已知：
AB=24cm，CD=8cm
（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求
（1）中所作圆的半径.
7、如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为多少？
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