学年高中数学人教A版必修四 章末综合测评2 Word版含答案Word文档下载推荐.docx
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，则
·
a2B．－
a2
a2D．
【解析】 由已知条件得
a·
acos30°
a2，故选D．
【答案】 D
4．（2015·
陕西高考）对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是（ ）
A．|a·
b|≤|a||b|
B．|a－b|≤||a|－|b||
C．（a＋b）2＝|a＋b|2
D．（a＋b）·
（a－b）＝a2－b2
【解析】 根据a·
b＝|a||b|cosθ，又cosθ≤1，知|a·
b|≤|a||b|，A恒成立．当向量a和b方向不相同时，|a－b|>
||a|－|b||，B不恒成立．根据|a＋b|2＝a2＋2a·
b＋b2＝（a＋b）2，C恒成立．根据向量的运算性质得（a＋b）·
（a－b）＝a2－b2，D恒成立．
【答案】 B
5．（2015·
重庆高考）已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥（2a＋b），则a与b的夹角为（ ）
A．
B．
【解析】 ∵a⊥（2a＋b），∴a·
（2a＋b）＝0，
∴2|a|2＋a·
b＝0，
即2|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉＝0.
∵|b|＝4|a|，∴2|a|2＋4|a|2cos〈a，b〉＝0，
∴cos〈a，b〉＝－
，∴〈a，b〉＝
π.
【答案】 C
6．（2015·
安徽高考）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足
＝2a，
＝2a＋b，则下列结论正确的是（ ）
A．|b|＝1B．a⊥b
C．a·
b＝1D．（4a＋b）⊥
【解析】 在△ABC中，由
＝2a＋b－2a＝b，得|b|＝2.又|a|＝1，所以a·
b＝|a||b|cos120°
＝－1，所以（4a＋b）·
＝（4a＋b）·
b＝4a·
b＋|b|2＝4×
（－1）＋4＝0，所以（4a＋b）⊥
，故选D．
7．（2016·
锦州高一检测）已知向量a＝（2，1），a·
b＝10，|a＋b|＝
，则|b|＝（ ）
A．0B．2
C．5D．25
【解析】 因为a＝（2，1），则有|a|＝
，又a·
b＝10，
又由|a＋b|＝
，
∴|a|2＋2a·
b＋|b|2＝50，
即5＋2×
10＋|b|2＝50，
所以|b|＝5.
8.已知AD、BE分别为△ABC的边BC、AC上的中线，设
＝a，
＝b，则
等于（ ）
图1
【导学号：
00680065】
a＋
b
B．
a－
D．－
【解析】
＝2
＋
a＋
b.
9．（2016·
景德镇期末）设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a、b的夹角为（ ）
A．150°
B．120°
C．60°
D．30°
【解析】 设向量a、b夹角为θ，
|c|2＝|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cosθ，
则cosθ＝－
又θ∈[0°
，180°
]，∴θ＝120°
.故选B．
10．（2016·
西城高一检测）在矩形ABCD中，AB＝
，BC＝1，E是CD上一点，且
＝1，则
的值为（ ）
A．3B．2
【解析】 设
与
的夹角为θ，则
的夹角为
－θ，
又
∥
，故有
夹角为
－θ，如图：
∵
＝|
|·
|
cosθ＝
cosθ＝1，
∴|
∴
|cos
|sinθ＝1，
（
）＝
＝1＋1＝2.
11．（2016·
济南高一检测）已知向量
＝（2，2），
＝（4，1），在x轴上有一点P，使
有最小值，则P点坐标为（ ）
A．（－3，0）B．（3，0）
C．（2，0）D．（4，0）
【解析】 设P（x，0），则有
＝（x－2，0－2）·
（x－4，0－1）
＝（x－2）（x－4）＋2
＝x2－6x＋10
＝（x－3）2＋1，
当x＝3时，（
）min＝1，
此时P点坐标为（3，0）．
12．（2014·
天津高考）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°
，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC．若
＝1，
＝－
，则λ＋μ＝（ ）
【解析】 如图：
∠BAD＝120°
，|
|＝|
|＝2.
＝（
）（
）
＋μ
＋λ
＝λ
2＋μ
2＋（λμ＋1）
＝4（λ＋μ）＋（λμ＋1）×
4×
cos120°
＝4（λ＋μ）－2（λμ＋1）＝1，
即2λμ－4（λ＋μ）＋3＝0，①
由
）＝（λ－1）·
（μ－1）·
＝－2（λ－1）（μ－1）＝－
所以有λμ＝λ＋μ－
，代入①得
2
－4（λ＋μ）＋3＝0，
解得λ＋μ＝
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）
13．（2014·
湖北高考）若向量
＝（1，－3），|
|，
＝0，则|
|＝________.
【解析】 因为
＝（1，－3），
又|
|＝
＝0，
所以∠AOB＝90°
，所以△AOB为等腰直角三角形，且|
|＝2
【答案】 2
14．（2015·
江苏高考）已知向量a＝（2，1），b＝（1，－2），若ma＋nb＝（9，－8）（m，n∈R），则m－n的值为________．
【解析】 ∵ma＋nb＝（2m＋n，m－2n）
＝（9，－8），
∴m－n＝2－5＝－3.
【答案】 －3
15．（2015·
湖北高考）已知向量
⊥
|＝3，则
＝________．
，所以
＝0，所以
|2＝9，即
＝9.
【答案】 9
16．（2015·
北京高考）在△ABC中，点M，N满足
.若
＝x
＋y
，则x＝________；
y＝________．
【解析】 ∵
，∴
），
）－
，∴x＝
，y＝－
【答案】
－
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）不共线向量a，b的夹角为小于120°
的角，且|a|＝1，|b|＝2，已知向量c＝a＋2b，求|c|的取值范围．
【解】 |c|2＝|a＋2b|2＝|a|2＋4a·
b＋4|b|2＝17＋8cosθ（其中θ为a与b的夹角）．
因为0°
<
θ<
120°
所以－
cosθ<
1，
|c|<
5，
所以|c|的取值范围为（
，5）．
18．（本小题满分12分）（2016·
无锡高一检测）设
＝（2，－1），
＝（3，0），
＝（m，3）．
（1）当m＝8时，将
用
和
表示；
（2）若A，B，C三点能构成三角形，求实数m应满足的条件．
【解】
（1）m＝8时，
＝（8，3），
设
＝λ1
＋λ2
∴（8，3）＝λ1（2，－1）＋λ2（3，0）
＝（2λ1＋3λ2，－λ1），
解得
＝－3
（2）若A，B，C三点能构成三角形，
则有
不共线，
＝（3，0）－（2，－1）＝（1，1），
＝（m，3）－（2，－1）＝（m－2，4），
则有1×
4－（m－2）×
1≠0，
∴m≠6.
19．（本小题满分12分）设i，j是平面直角坐标系中x轴和y轴正方向上的单位向量，
＝4i－2j，
＝7i＋4j，
＝3i＋6j，求四边形ABCD的面积．
【解】 因为
＝（4i－2j）·
（3i＋6j）＝3×
4－2×
6＝0，
又因为
＝7i＋4j＝4i－2j＋3i＋6j
所以四边形ABCD为平行四边形，
，所以四边形ABCD为矩形．
所以S四边形ABCD＝|
|×
×
＝30.
20．（本小题满分12分）设e1，e2是正交单位向量，如果
＝2e1＋me2，
＝ne1－e2，
＝5e1－e2，若A，B，C三点在一条直线上，且m＝2n，求m，n的值．
【解】 以O为原点，e1，e2的方向分别为x，y轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy，
＝（2，m），
＝（n，－1），
＝（5，－1），
＝（3，－1－m），
＝（5－n，0），
又因为A，B，C三点在一条直线上，所以
所以3×
0－（－1－m）·
（5－n）＝0，与m＝2n构成方程组
或
21．（本小题满分12分）已知a＝（cosα，sinα），b＝（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π.
（1）若|a－b|＝
，求证：
a⊥b；
（2）设c＝（0，1），若a＋b＝c，求α，β的值．
【解】
（1）证明：
由题意得|a－b|2＝2，
即（a－b）2＝a2－2a·
b＋b2＝2.
又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，
所以2－2a·
b＝2，即a·
b＝0，故a⊥b.
（2）因为a＋b＝（cosα＋cosβ，sinα＋sinβ）＝（0，1），
由①得，cosα＝cos（π－β），
由0＜β＜π，得0＜π－β＜π.
又0＜α＜π，故α＝π－β.
代入sinα＋sinβ＝1，得sinα＝sinβ＝
，而α＞β，所以α＝
，β＝
22．（本小题满分12分）已知向量a，b满足|a|＝|b|＝1，|ka＋b|＝
|a－kb|（k>
0，k
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