高考数学理一轮复习讲练测专题81 空间几何体的结构及其三视图和直观图讲答案解析Word下载.docx

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5.有下列四个命题：

①底面是矩形的平行六面体是长方体；

②棱长相等的直四棱柱是正方体；

③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；

④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．

其中真命题的个数是（　　）

A．1B．2C．3D．4

【考点深度剖析】

三视图是高考重点考查的内容，考查内容有三视图的识别；

三视图与直观图的联系与转化；

求与三视图对应的几何体的表面积与体积．命题形式为用客观题考查识读图形和面积体积计算，或将三视图作为大题的背景，以几何体为载体考查空间想象能力和推理运算能力．

【经典例题精析】

考点1：

空间几何体的结构特征

【1-1】如图几何体中是棱柱的有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】C

【解析】由图可知，①、③、⑤是棱柱．

【1-2】下列结论正确的是（　　）

A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥

B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥

C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥

D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线

【答案】D

【课本回眸】

一、多面体的结构特征

多面体

结构特征

棱柱

有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个面的交线都平行且相等

棱锥

有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形

棱台

棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分

二、旋转体的形成

几何体

旋转图形

旋转轴

圆柱

矩形

任一边所在的直线

圆锥

直角三角形

一条直角边所在的直线

圆台

直角梯形

垂直于底边的腰所在的直线

球

半圆

直径所在的直线

三、简单组合体

简单组合体的构成有两种基本形式：

一种是由简单几何体拼接而成；

一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体．

【方法规律技巧】

熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，可变换模型中线面的位置关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．

三棱柱、四棱柱、正方体、长方体、三棱锥、四棱锥是常见的空间几何体，也是重要的几何模型，有些问题可用上述几何体举特例解决．

【新题变式探究】

【变式1】一个棱柱是正四棱柱的条件是（　　）．

A．底面是正方形，有两个侧面是矩形

B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面

C．底面是菱形，具有一个顶点处的三条棱两两垂直

D．每个侧面都是全等矩形的四棱柱

【解析】　A，B两选项中侧棱与底面不一定垂直，D选项中底面四边形不一定为正方形，故选C.

【变式2】用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是（　　）

A．圆柱B．圆锥C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体

【解析】当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．

考点2空间几何体的直观图

【2-1】利用斜二测画法得到的以下结论，正确的是________（写出所有正确的序号）．

①三角形的直观图是三角形；

②平行四边形的直观图是平行四边形；

③正方形的直观图是正方形；

④圆的直观图是椭圆；

⑤菱形的直观图是菱形．

【答案】①②④

【2-2】在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2cm，则在xOy坐标系中，四边形ABCO为________，面积为________cm2.

【答案】矩形　8

简单几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：

（1）画几何体的底面

在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°

或135°

，已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平行于x′轴、y′轴．已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．

（2）画几何体的高

在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变．

按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：

S直观图＝

S原图形，S原图形＝

S直观图．

【变式1】如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°

，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（　　）

　　　　　　　B.

C.

　D．

【解析】由题意画出斜二测直观图及还原后原图，由直观图中底角均为45°

，腰和上底长度均为1，得下底长为

，所以原图上、下底分别为1,

，高为2的直角梯形．

所以面积S＝

（

＋1）×

2＝

.故选A.

【变式2】如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，则原图形是（　　）

A．正方形B．矩形C．菱形D．一般的平行四边形

综合点评：

解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系.

考点3　空间几何体的三视图

【3-1】【广东省广州六中等六校2016届高三第一次联考】某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形,左视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（）

A．

B．4

C．

D．

【3-2】【江西卷】将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（　　）

【答案】　

（1）D　

（2）D

【解析】

（1）球、正方体的三视图形状都相同，大小均相等，首先排除选项A和C.对于如图所示三棱锥OABC,当OA、OB、OC两两垂直且OA＝OB＝OC时，其三视图的形状都相同，大小均相等，故排除选项B.不论圆柱如何放置，其三视图的形状都不会完全相同，故答案选D.

（2）如图所示，点D1的投影为C1，点D的投影为C，点A的投影为B，故选D.

【3-3】一个几何体的主视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________（填入所有可

能的几何体前的编号）．

①三棱锥；

②四棱锥；

③三棱柱；

④四棱柱；

⑤圆锥；

⑥圆柱．

【答案】①②③⑤

三视图

几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．

三视图中的数据与原几何体中的数据不一定一一对应，识图要注意甄别.揭示空间几何体的结构特征，包括几何体的形状，平行垂直等结构特征，这些正是数据运算的依据.还原几何体的基本要素是“长对齐，高平直，宽相等”.

简单几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．

在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．

【变式1】一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为（　　）

【变式2】如图，多面体ABCD－EFG的底面ABCD为正方形，FC＝GD＝2EA，其俯视图如下，则其正视图和侧视图正确的是（　　）．

【解析】注意BE，BG在平面CDGF上的投影为实线，且由已知长度关系确定投影位置，排除A，C选项，观察B，D选项，侧视图是指光线从几何体的左面向右面正投影，则BG，BF的投影为虚线，故选D.

【变式3】【武汉市部分学校2016届高三调研】）一个简单几何体的正视图、侧视图如右图所示，则其俯视图不可能为（）

方形；

②正方形；

③圆；

④椭圆.

中的

A.①②B.②③

C.③④D.①④

三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽.即“长对正，宽相等，高平齐”.

【易错试题常警惕】

易错典例：

一个几何体的主视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________（填入所有可能的几何体前的编号）．

②四棱锥；

③三棱柱；

④四棱柱；

⑤圆锥；

⑥圆柱．

【错解】①②⑤

【错因】忽视几何体的不同放置对三视图的影响，漏选③.

【正解】①三棱锥的主视图是三角形；

②当四棱锥的底面是四边形放置时，其主视图是三角形；

③把三棱柱某一侧面当作底面放置，其底面正对着我们的视线时，它的主视图是三角形；

④对于四棱柱，不论怎样放置，其主视图都不可能是三角形；

⑤当圆锥的底面水平放置时，其主视图是三角形；

⑥圆柱不论怎样放置，其主视图也不可能是三角形．

故正确答案为①②③⑤.

【学科素养提升之思想方法篇】

数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想

数形结合是一种重要的数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：

或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；

或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质. 

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：

第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；

第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；

第三是正确确定参数的取值范围.

在解答三视图、直观图问题中，主要是通过图形的恰当转化，明确几何元素的数量关系，进行准确的计算．如：

【典例】【2016河南新乡名校联盟押题】已知三棱锥

外接球的表面积为

，

，三棱锥

的三视图如图所示，则其侧视图的面积的最大值为（）