新课标精品卷最新北师大版高中数学必修一《函数》章末综合测评及解析Word格式文档下载.docx

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4．幂函数f（x）过点

，则f（x）的单调递减区间是（　　）

A．（0，＋∞）B．（－∞，0）

C．（－∞，0）∪（0，＋∞）D．（－∞，0），（0，＋∞）

【解析】　设幂函数f（x）＝xα，则f

（2）＝

，即2α＝

，

∴α＝－1，故f（x）＝x－1＝

.

∴函数f（x）的单调递减区间是（－∞，0），（0，＋∞）．

5．已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（－1）＋g

（1）＝2，f

（1）＋g（－1）＝4，则g

（1）等于（　　）

A．4B．3

C．2D．1

【解析】　∵f（x）为奇函数，g（x）为偶函数．

∴－f

（1）＋g

（1）＝2，f

（1）＋g

（1）＝4，

∴2g

（1）＝6，∴g

（1）＝3.

6．已知函数f（x）＝x2－4x，x∈[1,5]，则函数f（x）的值域是（　　）

A．[－4，＋∞）B．[－3,5]

C．[－4,5]D．（－4,5]

【解析】　f（x）＝x2－4x＝（x－2）2－4，

当x＝2时，f（x）取到最小值－4；

当x＝5时，f（x）取得最大值5，

故函数f（x）的值域为[－4,5]．

【答案】　C

7．（2016·

河南郑州外国语学校高一月考）若函数y＝f（x）的定义域是[0,3]，则函数g（x）＝

的定义域是（　　）

A．[－1,2）B．[0,2）

C．[－1,2]D．[0,2）∪（2,3]

【解析】　由

解得－1≤x＜2，故选A.

【答案】　A

8．定义在R上的偶函数f（x），对任意x1，x2∈[0，＋∞）（x1≠x2），有

<

0，则（　　）

A．f（3）<

f（－2）<

f

（1）

B．f

（1）<

f（3）

C．f（－2）<

f

（1）<

D．f（3）<

f（－2）

【解析】　∵对任意x1，x2∈[0，＋∞）（x1≠x2），有

0，

∴f（x）在[0，＋∞）上是减少的，

∵1<

2<

3，且f（x）为偶函数，∴f（3）<

f

（2）<

f

（1），

∵f（－2）＝f

（2），∴f（3）<

f

（1）．

9．用min{a，b}表示a，b两个数中的较小值，设f（x）＝min

（x>

0），则f（x）的最大值为（　　）

A．－1B．1

C．0D．不存在

【解析】　作出f（x）＝min

0）的图像，

如图所示：

所以f（x）的最大值为1.

10．函数f（x）＝x5＋ax3＋bx－8，且f（－2）＝10，则f

（2）＝（　　）

A．－26B．26

C．18D．－18

【解析】　f（－2）＝（－2）5＋a（－2）3＋b（－2）－8＝－25－a·

23－2b－8＝10，

∴25＋a·

23＋2b＝－18，

∴f

（2）＝25＋a·

23＋2b－8＝－18－8＝－26.

11．（2016·

辽宁沈阳铁路实验中学高一月考）若函数f（x）＝

在区间（－∞，4）上是增函数，则有（　　）

A．a＞b≥4B．a≥4＞b

C．4≤a＜bD．a≤4＜b

【解析】　∵f（x）＝

＝

＝1＋

，如果a＞b，则f（x）在（－∞，a）上单调递减，在（a，＋∞）上也单调递减；

如果a＜b，则f（x）在（－∞，a）上单调递增，在（a，＋∞）上也单调递增．因为f（x）在区间（－∞，4）上是增函数，所以a＜b，且（－∞，4）为（－∞，a）的一个子区间，所以a≥4，所以4≤a＜b.

12．已知x∈[－1,1]时，f（x）＝x2－ax＋

>

0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）【导学号：

04100038】

A．（0,2）B．（2，＋∞）

C．（0，＋∞）D．（0,4）

【解析】　由题意知二次函数f（x）＝x2－ax＋

的图像开口向上，对称轴方程为x＝

，x∈[－1,1]时，f（x）＝x2－ax＋

0恒成立，即f（x）最小值>

0.

当

≤－1，即a≤－2时，f（x）最小值＝f（－1）＝1＋a＋

0，解得a>

－

，与a≤－2矛盾；

≥1，即a≥2时，f（x）最小值＝f

（1）＝1－a＋

0，解得a<

2，与a≥2矛盾；

当－1<

1，即－2<

a<

2时，f（x）最小值＝f

，要使f（x）最小值>

0，则Δ＝（－a）2－4·

0，解得0<

2.

综上，实数a的取值范围（0,2），选A.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上）

13．将二次函数y＝x2＋1的图像向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得二次函数的解析式是________．

【解析】　y＝（x＋2）2＋1－3＝（x＋2）2－2＝x2＋4x＋2.

【答案】　y＝x2＋4x＋2

14．（2016·

河南南阳市五校高一联考）函数f（x）＝

＋

的定义域是________．（要求用区间表示）

【解析】　要使原函数有意义，需要：

解得x＜－1或－1＜x≤2，

所以原函数的定义域为（－∞，－1）∪（－1,2]．

【答案】　（－∞，－1）∪（－1,2]

15．设函数f（x）＝

为奇函数，则a＝________.

【解析】　f（－x）＝

，又f（x）为奇函数，故f（x）＝－f（－x），即

，所以

，从而有a＋1＝－（a＋1），即a＝－1.

【答案】　－1

16．已知函数y＝f（x）是R上的偶函数，且在[0，＋∞）上是增函数，若f（a）≥f

（2），则实数a的取值范围是________．

【解析】　由已知f（x）在[0，＋∞）上为增函数，且f（a）＝f（|a|），∴f（a）≥f

（2）⇒f（|a|）≥f

（2），∴|a|≥2，即a≥2或a≤－2.

【答案】　{a|a≥2或a≤－2}

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）f（x）＝

（1）在如图1给定的直角坐标系内画出f（x）的草图；

（不用列表描点）

图1

（2）根据图像写出f（x）的单调区间；

（3）根据图像求f（x）的最小值．

【解】　

（1）

（2）单调增区间为[－1,0），（2,5]，单调减区间为[0,2]．

（3）最小值为－1.

18．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝ax2－2ax＋2＋b（a≠0），若f（x）在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.

（1）求a，b的值；

（2）若b＜1，g（x）＝f（x）－mx在[2,4]上为单调函数，求实数m的取值范围．

【解】　

（1）f（x）＝a（x－1）2＋2＋b－a，

①当a＞0时，f（x）在区间[2,3]是增函数，故

即

得

②当a＜0时，f（x）在区间[2,3]是减函数，

故

可得

所以：

或

（2）∵b＜1，∴a＝1，b＝0，即f（x）＝x2－2x＋2，g（x）＝x2－（m＋2）x＋2

由题意知

≤2或

≥4，可得m≤2或m≥6.

故m的取值范围是（－∞，2]∪[6，＋∞）．

19．（本小题满分12分）对任意的a，b∈R，都有f（a＋b）＝f（a）＋f（b）－1，并且当x＞0时，f（x）＞1，f（3）＝4.

（1）求证：

f（x）是R上的增函数；

（2）求函数f（x）在区间[1,2]上的最大值与最小值．

【解】　

（1）证明：

设x1，x2∈R，且x1＜x2，

则x2－x1＞0，

∴f（x2－x1）＞1.

f（x2）－f（x1）＝f[（x2－x1）＋x1]－f（x1）

＝f（x2－x1）＋f（x1）－1－f（x1）

＝f（x2－x1）－1＞0.

∴f（x1）＜f（x2），即f（x）是R上的增函数．

（2）令x＝y＝1，则f

（2）＝2f

（1）－1，f（3）＝f

（2）＋f

（1）－1＝3f

（1）－2.

又∵f（3）＝4，∴3f

（1）－2＝4，

∴f

（1）＝2，f

（2）＝2f

（1）－1＝3，

由

（1）知f（x）是R上的增函数，

∴f（x）在[1,2]上是增函数，

∴f（x）的最小值为f

（1）＝2，最大值为f

（2）＝3.

20．（本小题满分12分）（2016·

河南联考）已知函数f（x）＝

（1）若a＝－2，试证：

f（x）在（－∞，－2）上单调递减；

（2）函数f（x）在（－∞，－1）上单调递减，求实数a的取值范围．

设x1＜x2＜－2，

则f（x1）－f（x2）＝

＝－

∵（x1＋1）（x2＋1）＞0，x1－x2＜0，

∴f（x1）－f（x2）＞0，

∴f（x1）＞f（x2），

∴f（x）在（－∞，－2）上单调递减．

（2）f（x）＝

＝a－

设x1＜x2＜－1，

又函数f（x）在（－∞，－1）上是减函数，

所以f（x1）－f（x2）＞0.

由于x1＜x2＜－1，

∴x1－x2＜0，x1＋1＜0，x2＋1＜0，

∴a＋1＜0，即a＜－1.

故a的取值范围是（－∞，－1）．

21．（本小题满分12分）f（x）＝

是定义在（－1,1）上的奇函数．

（1）用定义证明f（x）在（－1,1）上是增加的；

（2）解不等式f（t－1）＋f（t）<

任取x1，x2∈（－1,1），且x1<

x2，

∴f（x1）－f（x2）＝

∵x1，x2∈（－1,1），x1<

∴x1－x2<

0，－1<

x1x2<

1，∴1－x1·

x2>

又（1＋x

）（1＋x

）>

∴f（x1）－f（x2）<

0，∴f（x1）<

f（x2），

∴f（x）在（－1,1）上是增加的．

（2）不等式需满足定义域

∴0<

t<

1，

∵f（t－1）＋f（t）<

0，∴f（t－1）<

－f（t），

∵f（x）为奇函数，∴f（t－1）<

f（－t）．

∵f（x）在（0,1）上是增加的，

∴t－1<

－t，即t<

综上可知不等式的解为0<

22．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝－x2＋mx－m.

（1）若函数f（x）为偶函数，求实数m的值；

（2）若函数f（x）在[－1,0]上是减少的，求实数m的取值范围；

（3）是否存在实数m，使得f（x）在[2,3]上的值域恰好是[2,3]？

若存在，求出实数m的值；

若不存在，请说明理由．

【解】　

（1）∵函数f（x）为偶函数，

∴f（－x）＝f（x），即－x2－mx－m＝－x2＋mx－m，

则2mx＝0，且对任意x∈R恒成立，故m＝0.

（2）因函数f（x）图像的对称轴是x＝

，要使f（x）在