解答不等式组问题的常见的数学思想方法Word文档格式.docx
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二、分类讨论思想
例2
如果不等式组
的解集是x>
－1，那么m的值是（
）
A.3
B.1
C.－1
D.－3
因为m的值不确定，所以2m+1与m+2的大小无法比较，因此需从解集为x>
－1入手将原题进行分类讨论.
若2m+1=－1，即m=－1时，m+2=1，这时不等式组的解集是x>
1，与题设矛盾，故m≠－1；
若m+2=－1，即m=－3时，2m+1=－5，这时不等式组的解集是x>
－1，与题设相符，因此m=－3，故应选D.
当问题存在多种不同情况时，要特别注意分类加以讨论，否则易出错而漏接.
三、整体思想
例3
已知
且－1<
x－y<
0，则k的取值范围是________.
要求k的取值范围，需要根据已知条件构造关于k的不等式组，观察方程组可知，将方程组中的两个方程左右两边直接相减，可得到x－y=－2k+1，然后整体代入不等式组－1<
0，即可得到关于k的不等式组，解关于k的不等式组即可.
将方程组中的两个方程组相减，得x－y=－2k+1.将其整体代入－1<
x+y<
0，得－1<
－2k+1<
0.解不等式组，得
<
k<
本题在求解过程中，两次运用了整体思想，一次是将方程组中的两个方程相减；
一次是将－2k+1整体代入，这样比求出方程组的解后再代入要简捷.在解决类似问题时，应注意整体思想的灵魂运用.
四、建模思想
例4
初中毕业了，孔明同学准备利用暑假卖报纸赚取140～200元钱，买一份礼物送给父母．已知：
在暑假期间，如果卖出的报纸不超过1000份，则每卖出一份报纸可得0.1元；
如果卖出的报纸超过1000份，则超过部分每份可得0.2元．
（1）请说明：
孔明同学要达到目的，卖出报纸的份数必须超过1000份．
（2）孔明同学要通过卖报纸赚取140～200元，请计算他卖出报纸的份数在哪个范围内．
孔明同学准备卖报纸赚取140～200元钱，但是如果卖出的报纸不超过1000份，每份只得0.1元，卖1000分最多得
元，因此孔明同学要达到目的，卖出报纸的份数必须超过1000份。
设孔明同学利用暑假卖出报纸的份数
，可以赚取
元，又因为赚取的钱在140～200内，可列不等式组解决。
（1）因为
，所以因此孔明同学要达到目的，卖出报纸的份数必须超过1000份。
（2）设孔明同学暑假期间卖出报纸
份，由
（1）可知
，依题意得：
，解得
.
答：
孔明同学暑假期间卖出报纸的份数在1200～1500份之间.点评：
当实际问题中存在不等关系时，可根据不等关系建立不等式（组）模型，通过解不等式（组）来解决问题.
应用一元一次不等式的判定求值
一元一次不等式就是含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式.其判定标准为：
（1）是整式不等式；
（2）只含有一个未知数；
（3）未知数的次数是1；
（4）未知数的系数不为0；
一、根据指数求值
例：
若
是关于
的一元一次不等式，试求
的值？
此不等式是一元一次不等式，所以
的指数必须是１，即：
根据题意，
得：
解得：
的值为
二、根据系数求值
此不等式是一元一次不等式，所以未知数
的系数必不为0，即：
的值为不等于5任意有理数.
三、根据复合条件求值
例1：
因为此不等式是一元一次不等式，所以
的系数必不为0，指数必须是１，即：
的值为不等于
任意有理数，
的值为7.
例2：
因为一元一次不等式中未知数
的系数必不为0，指数必须是１，所以可得：
所以：
四、综合利用一元一次不等式的定义求值
本题从多个方面考察学生对一元一次不等式的理解，不等式中出现了二次项，所以要使不等式是一元一次不等式，此二次项必须不能存在，即：
；
这样就可以解决了，再根据上述的经验“一元一次不等式中未知数
的系数必不为0，指数必须是１”，即可解得此题.
的值应满足：
的值与不等式的解集？
本题的不等式中出现了二次项，所以要使不等式是一元一次不等式，此二次项必须不能存在，即：
这样就可以求得
的值，再把
的值代入原不等式，就会得到一个不含其它字母的关于
的一元一次不等式，进一步可以求得不等式的解.
把
代入原不等式，得：
，不等式的解为
聚焦不等式组的整数解问题
有关不等式组的整数解问题，是本章的一类重要题型，也是中考的热点.下面举例说明.
一、求不等式组的整数解
例1不等式组
的所有整数解的和是
．
解析：
解不等式①，得
，解不等式②，得x≥1.
所以原不等式组的解集为1≤x＜
所以整数解为1，2，其和为3.故填3.
温馨提示：
解决此类问题的一般思路是先解不等式组，求出其解集，再从这个解集中找出相应的整数解.为了直观还可借助数轴来找整数解.
二、利用整数解求字母系数的值
例2已知关于
的不等式组
只有四个整数解，则
的取值范围是
由①，得x≥a，由②，得x＜2.因为原不等式组有整数解，即有解，
所以a≤x＜2.又它有四个整数解，所以其整数解应是1，0，－1，－2.结合如图所示的数轴分析，知
可在－3与－2之间取值，因为解集中包含a，所以a的值可以取－2，但不能取－3，否则整数解就多余4个了，所以a的取值范围是－3＜
≤－2.
解答此类问题，一般是先求出含字母系数的不等式组的解集，再确定出整数解，从而确定字母系数的值，但要注意字母系数的取值与不等式组的解集不要混淆了，同时还应注意临界值的确定，如本题中的－3与－2等.
三、利用整数解解决实际问题
例3为响应“家电下乡”的惠农政策，某商场决定从厂家购进甲、乙、丙三种不同型号的电冰箱80台，其中甲种电冰箱的台数是乙种电冰箱台数的2倍，购买三种电冰箱的总金额不超过132000元．已知甲、乙、丙三种电冰箱的出厂价格分别为：
1200元/台、1600元/台、2000元/台，若要求甲种电冰箱的台数不超过丙种电冰箱的台数，则有哪些购买方案？
本题要抓住题目中的两个关键语句“总金额不超过132000元”、“甲种电冰箱的台数不超过丙种电冰箱的台数”找出不等关系：
购买三种电冰箱的总金额≤132000元；
甲种电冰箱数≤丙种电冰箱数，据此列出不等式组，根据其整数解的个数就可确定购买方案.
设购买乙种电冰箱x台，则购买甲种电冰箱2x台，丙种电冰箱（80－3x）台.根据题意，得
解得14≤x≤16.因为x是整数，所以x可取14，15，16，相应地2x为28，30，32，80－3x为38，35，32，所以共有三种方案：
方案一：
购买甲、乙、丙三种电冰箱各28台、14台、38台；
方案二：
购买甲、乙、丙三种电冰箱各30台、15台、35台；
方案三：
购买甲、乙、丙三种电冰箱各32台、16台、32台.
解决方案设计问题，一般是设出未知数，根据题意找出不等关系，列出不等式组，求出不等式组的所有正整数解后，即可确定方案.
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