数值计算标准答案 石瑞民Word格式.docx
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即
的近似值取4位有效数字
近似值
6、在机器数系下
中取三个数
，试按
和
两种算法计算
的值，并将结果与精确结果比较。
比
精确，且
与
相同；
因此，在做三个以上的数相加时，需要考虑相加的两个同号数的阶数尽量接近。
8、对于有效数
，估计下列算式的相对误差限。
，m=1;
所以
同理
或
综合得：
9、试改变下列表达式，使其结果比较精确（其中
表示x充分接近0，
表示
充分大）。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
答案：
；
（4）法一：
用
得出结果为：
法二：
12、试给出一种计算积分
近似值的稳定性递推算法
显然，In>
0,n=1,2,…
当n=1时，得，
当n≥2时，由分部积分可得：
，n=2,3,…
另外，还有：
由递推关系In=1-nIn-1，可得计算积分序列{
}的两种算法：
①
n=2,3…
②
下面比较两种算法的稳定性
①若已知
的一个近似值
，则实际算得的
的近似值为
由此可以看出
的误差放大n倍传到了
，误差传播速度逐步放大
②由
计算
若已知
的一个近似值是
，则实际计算的
的误差将缩小n倍传到了
，误差传播速度逐步衰减。
综上可看出，计算积分
的一种稳定性算法为
习题二
1、利用二分法求方程
[3，4]内的根，精确到
，即误差不超过
令
，说明在[3，4]内有根，
利用二分法计算步骤
得出
满足精度要求
，共用二分法迭代11次。
2、证明
在[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不大于
的根。
证明：
由零点定理知，
在[0,1]内有一根
根据计算得出：
，此时共迭代15次。
4、将一元非线性方程
写成收敛的迭代公式，并求其在
附近的根，精确到
=0，得到两种迭代格式
，不满足收敛定理。
，满足收敛定理
由方程写出收敛的迭代公式为
取初值为
，得出近似根为：
5、为方程
在
附近的一个根，设方程改写为下列等价形式，并建立相应的迭代公式：
，迭代公式
（1）利用局部收敛定理判断收敛性，判断初值
附近的局部收敛
（2）局部收敛
（3）不满足局部收敛条件
但由于
，所以
收敛的慢
取第二种迭代格式
取初值
，迭代9次得
7、用牛顿法求解
在初始值
临近的一个正根，要求
由牛顿迭代法知：
迭代结果为：
1
2
3
1.88889
1.87945
1.87939
满足了精度要求，
8、用牛顿法解方程
，导出计算C的倒数而不用除法的一种简单迭代公式，用此公式求0.324的倒数，设初始值
，要求计算结果有5位有效数字。
，由牛顿迭代公式
3.084
3.086418
3.086420
所以，0.324的倒数为3.0864
11、用快速弦截法求方程
附近的实根，（取
=1.9，要求精度到
）。
迭代结果：
4
1.9
1.881094
1.87941160
12、分别用下列方式求方程
附近的根，要求有三位有效数字
（1）用牛顿法，取
（2）用弦截法，取
（3）用快速弦截法，取
求出的解分别为：
习题三
1、用高斯消元法解下列方程组
（2）
（1）等价的三角形方程组为
，回代求解为
（2）等价的三角形方程组为
2、将矩阵
作
分解。
3、用
紧凑格式分解法解方程组
.
4、用列主元的三角分解法求解
方程组
5、用追赶法解三角方程组
，其中
6．用改进的Cholesky分解法解方程组
，
7、用改进的cholesky分解法解方程组
8、设
求
9、设
10、设
，计算
及
，并比较
的大小。
=10，
=9
11、给定方程
（1）写出Jacobi和Gauss-Seidel迭代格式；
（2）证明Jacobi迭代法收敛而Gauss-Seidel迭代法发散；
（3）给定
，用迭代法求出该方程的解，精确到
（1）Jacobi迭代公式
Gauss-Seidel迭代公式
（3）用Jacobi迭代得，
13、已知
，考察Jacobi迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式的收敛性。
14、方程组
利用迭代收敛的充分必要条件确定使Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法均收敛的a的取值范围。
解:
Jacobi迭代矩阵为
当
得，
Gauss-Seidel迭代矩阵为：
15、设方程组
分别用Gauss-Seidel迭代法和w=1.25的SOR法求解此方程，准确到4位有效数字（取
）
Gauss-Seidel迭代法共迭代17次，此时近似解为
SOR法w=1.25时，迭代11次，此时的近似解为
16、用SOR方法解方程组（分别取松弛因子w=1.03，w=1，w=1.1）
精确解
，要求当
时，终止迭代，并且对每一个w值确定迭代次数。
当w=1.03时，迭代5次，
当w=1时，迭代6次，
当w=1.1时，迭代6次，
习题四
1、设
，写出
的一次插值多项式
，并估计插值误差。
2、给定函数表
-0.1
0.3
0.7
1.1
0.995
0.765
0.454
选用合适的三次插值多项式来近似计算
⑴、求
，选用插值节点为
，用lagrange插值多项式为：
解得
⑵、求
，选用插值节点
，，
解得：
4、给定数据（
2.0
2.1
2.2
2.4
1.14214
1.449138
1.48320
1.54917
（1）试用线性插值计算
的近似值，并估计误差。
（2）试用二次Newton插值多项式计算
（1）取
（2）写出二次Newton插值差商表
一阶差商
二阶差商
0.34924
0.34062
-0.0431
5、给出函数值
x
y
16
46
88
试求各阶差商，并写出Newton插值多项式和差值余项。
三阶差商
四阶差商
30
7
21
-3
-5/2
-88
-109/3
-25/2
-7/6
6、给定数据表
0.125
0.25
0.375
0.500
0.625
0.750
0.79618
0.77334
0.74371
0.70413
0.65632
0.60228
试用三次牛顿差分插值公式计算
，取
，h=0.125
差分表为
一阶差分
二阶差分
三阶差分
-0.02284
-0.02963
-0.00679
0.5
-0.03958
-0.00995
-0.00316
由公式
由牛顿插值公式有
-0.04781
-0.00823
0.75
-0.05404
-0.00623
0.002
求解得
9、给出sinx在[0,pi]的等距节点函数表，用线性插值计算sinx的近似值，使其截断误差为
，问该函数表的步长h应取多少才能满足要求？
设插值节点为
，（i=0,1……h）,
F（x）=sinx，
所以
步长h应取为0.02才能满足要求。
14、已知实验数据如下
19
25
31
38
44
19.0
32.3
49.0
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